金海南三校联考试卷.doc

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学11.已知集合A=1，0，2，B=x|x2n1，nZ，则AB= .2.已知复数z1=12i，z2=a2i(其中i为虚数单位，aR).若z1z2是纯虚数，则a的值为 .3.从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a.从集合2，3，4中随机取一个元素，记为b，则ab的概率为 .4.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30)的为一等品，在区间20，25)和30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 .s0for i From 1to 10step1 ss1/i(i1)end forprint s5.右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 .6.若函数f(x)=sin(x)()在区间上单调递增，在区间上单调递增，则的值为 .7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 .8.已知实数x，y满足，则当2xy取得最小值时，x2y2的值为 .9.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：y=ex上一点，直线l：x2yc=0经过点P，且与曲线C在点P处的切线垂直，则实数c的值为 .10.设x0，y0，向量a=(1x，4)，b=(x，y)，若a/b，则xy的最小值为 .11.已知f(x)是定义在区间1，1上的奇函数，当x0时，f(x)=x(x1).则关于m的不等式f(1m)f(1m2)0的解集为 .12.设Sn为数列an的前n项和，若Sn=nan3n(n1)(nN*)且a2=11，则S20= .13.在ABC中，已知sinA=13sinBsinC，cosA=13cosBcosC，则tanAtanBtanC的值为 .14.在平面直角坐标系xOy中，设A，B为函数f(x)=1x2的图象与x轴的两个交点，C，D为函数f(x)的图象上的两个动点，且C，D在x轴上方(不含x轴)，则的取值范围为 .15.ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.若acosB=1，bsinA=，且AB(1)求a的值；(2)求tanA的值.16.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，ABC=90，点E、F分别为棱AB、AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG/平面BCD.求证：(1)EF=；(2)平面EFD平面ABC.17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计)，易拉罐的体积为108 mL，设圆柱的高度为h cm，底面半径为r cm，且h4r，假设该易拉罐的制造费用仅与前表面积有关.已知易拉罐的侧面制造费为 m 元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用为n 元/cm2 (m，n为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式，请求求定义域；(2)求易拉罐制造费最低时r(cm)的值.18.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：的左焦点为F，左准线为l，P为椭圆上任意一点，直线OQFP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A.(1)若b=1，且bc，直线l的方程为x=求椭圆C的方程；是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(2)设直线FP圆O：x2y2=a2交于M、N两点，求证：直线AM，AN均与圆O相切.19.设函数f(x)=(xa)lnxxa，aR.(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；(2)若a0，试判断函数f(x)在区间(e2，e2)内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x(t,ta)，f(x)a1.20.定义：从一个数列an中抽取若干项(不少于三项)按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差(比)的子数列叫做an的等差(比)子列.(1)求数列的等比子列；(2)设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1.试给出一个an，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；若an存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值.江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学221B.在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=所对应的变换，再将所的曲线矩阵B=所对的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，的值.21C.在极坐标系中，已知A，B，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及ABC的面积.22.如图，在四棱锥PABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若(R)，且向量与夹角的余弦值为.(1)求的值；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.23.设数列an的通项公式，nN*，记Sn=(1)求S1，S2的值；(2)求所有正整数n，使得Sn能被8整除. 数学参考答案及评分标准 2015.05说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 11 24 3 4100 56 7y3x 85 94ln2 109110，1) 121240 13196 14(4，【解析】：1答案：12因为z1z2(12i)(a2i)a4(22a)i，所以a40，a43ab的取法只有一种：a3，b2，所以ab的概率是，ab的概率是14根据频率分布直方图可知，三等品的数量是(0.01250.0250.0125)5400100(件)Oxyxy10xy303xy30A5S0(1)()()16由已知条件得f(x)sin(wx)的周期T为，所以w7因为()21()210，所以3，所以渐近线方程为y3x8令z2xy，如图，则当直线z2xy经过直线xy10和直线 xy30的交点A时，z取得最小值此时A的坐标为(1，2)，x2y259由题意yex，所求切线的斜率为2，设切点为(x0，y0)，则e2，所以x0ln2，y0eln22所以直线x2yc0经过点A(ln2，2)，所以c4ln210因为ab，所以4x(1x)y0，又x0，y0，所以1，故xy()(xy)59当，1同时成立，即x3，y6时，等号成立(xy)min911由题意，奇函数f(x)是定义在1，1上的减函数，不等式f(1m)f(1m2)0，即f(1m)f(m21)，所以解得m0，1)12由S2a1a22a232(21)和a211，可得a15解法1：当n2时，由anSnSn1，得annan3n(n1)(n1)an13(n1)(n2)，所以(n1)an(n1)an16(n1)，即anan16(n2，nN*)，所以数列an是首项a15，公差为6的等差数列，所以S2020561240解法2：当n2时，由Snnan3n(n1)n(SnSn1)3n(n1)，可得(n1)SnnSn13n(n1)，所以3，所以数列是首项5,公差为3的等差数列，所以531962，即S20124013由题意cosA，cosB，cosC均不为0，由sinA13sinBsinC，cosA13cosBcosC，两式相减得tanAtanBtanC， 又由cosA13cosBcosC，且cosAcos(BC)sinAsinBcosAcosB，所以sinAsinB14cosAcosB，所以tanBtanC14又tanBtanCtan(BC)(1tanBtanC)tanA(1tanBtanC)，所以tanAtanBtanCtanAtanBtanC19614由题意A(1，0)，B(1，0)，设C(x1，1x12)，D(x1，1x12)，1x1，x21，则(x11)(x21)(1x12)(1x22)(x21)(x21)x12x1x2记f(x)(x21)x2xx2，1x1（1）当1x2时，则02(x21)1，1，又x210，所以f(x)在(1，1)上单调递增，因为f(1)0，f(1)2，所以0f(x)2又x210，所以2(x21)0根据1x2，则40（2）当x21时，则12(x21)1，1又x210，所以f(x)在(1，1)上先减后增，x时取的最小值f()x2，又f(1)2，所以x2f(x)2又x210，所以2(x21)x2(1x2)令g(x)x(1x)，则g(x)x2x，g(x)12x，当x时，g(x)0；x1时g(x)0；所以g(x)在(，1)上先增后减，所以g(x)maxg()又2(x21)3，所以3综上，的取值范围是(4，二、解答题：本大题共6小题，共90分15解：（1）由正弦定理知，bsinAasinB， 2分又acosB1， ，两式平方相加，得(asinB)2(acosB)23， 4分 因为sin2Bcos2B1， 所以a（负值已舍）； 6分 （2），两式相除，得,即tanB,8分 因为AB， 所以tanAtan(B) 12分 3214分16证明：（1）因为平面EFG平面BCD， 平面ABD平面EFGEG，平面ABD平面BCDBD， 所以EG/BD， 4分ABCDEFG 又G为AD的中点， 故E为AB的中点， 同理可得，F为AC的中点， 所以EFBC 7分 （2）因为ADBD， 由（1）知，E为AB的中点， 所以ABDE， 又ABC90，即ABBC， 由（1）知，EF/BC，所以ABEF， 又DEEFE，DE，EF平面EFD， 所以AB平面EFD， 12分 又AB平面ABC， 故平面EFD平面ABC14分17解：（1）由题意，体积Vpr2h，得h y2prhm2pr2n2p (nr2)4分 因为h4r，即4r，所以r3，即所求函数定义域为(0，36分h2r （2）令f(r)nr2，则f(r)2nr 由f(r)0，解得r3 若1，当n2m时，3(0，3，由R(0，3)3(3，3f(r)0f(r)减增 得，当r3时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低10分 若1，即n2m时，由f(r)0知f(r)在(0，3上单调递减，当r3时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低14分18解：（1）（i）由题意，b1，又a2b2c2，所以2c25c20，解得c2，或c(舍去)故a25xyOFlPQMN所求椭圆的方程为y213分（ii）设P(m，n)，则n21，即n21 当m2，或n0时，均不符合题意； 当m2，n0时，直线FP的斜率为，直线FP的方程为y (x2)故直线AO的方程为yx，Q点的纵坐标yQ5分所以| 令，得4m221m270 ，或4m219m230 7分 由4m221m270，解得m3，m，又m，所以方程无解由于19244230，所以方程无解， 故不存在点P使10分 （3）设M(x0，y0)，A(，t)，则(x0c，y0)，(，t)因为OAFM，所以0，即(x0c)()ty00，由题意y00，所以t 所以A(，)12分因为(x0，y0)，(x0，y0)， 所以(x0)x0(y0)y0x02y02x0y0x02y02x0x0a2 x02y02a2 因为M(x0，y0)在圆O上，所以015分 即AMOM，所以直线AM与圆O相切 同理可证直线AN与圆O相切16分19解：（1）当a0时，f(x)xlnxx，f(x)lnx，令f(x)0，x1，列表分析x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)3分（2）f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，其中x0， 令g(x)xlnxa，分析g(x)的零点情况g(x)lnx1,令g(x)0，x，列表分析x(0，)(，)g(x)0g(x)单调递减单调递增g(x)ming()a，5分而f()lnae1ae，f(e2)2ae2(2ae2)，f(e2)2(2e2a)，若a，则f(x)lnx0，故f(x)在(e2，e2)内没有极值点；若a，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有两个零点，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；若a0，则f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有一个零点，f(x)在(e2，e2)内有一个极值点；综上所述，当a(，时，f(x)在(e2，e2)内没有极值点；当a(，)时，f(x)在(e2，e2)内有两个极值点；当a，0)时，f(x)在(e2，e2)内有一个极值点.10分（3）猜想：x(1，1a)，f(x)a1恒成立11分证明如下：由（2）得g(x)在(，)上单调递增，且g(1)a0，g(1a)(1a)ln(1a)a因为当x1时，lnx1(*)，所以g(1a)(1a)(1)a0故g(x)在(1，1a)上存在唯一的零点，设为x0 由x(1，x0)x0(x0，1a)f(x)0f(x)单调递减单调递增 知，x(1，1a)，f(x)maxf(1)，f(1a)13分 又f(1a)ln(1a)1，而x1时，lnxx1(*)， 所以f(1a)(a1)11a1f(1) 即x(1，1a)，f(x)a1 所以对任意的正数a，都存在实数t1，使对任意的x(t，ta)，使 f(x)a1 15分 补充证明（*）： 令F(x)lnx1，x1F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递增 所以x1时，F(x)F(1)0，即lnx1 补充证明（*）令G(x)lnxx1，x1G(x)10，所以G(x)在1，)上单调递减 所以x1时，G(x)G(1)0，即lnxx116分20解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1k3，kN*）， 当k2时， 设，成等比数列，则，即mn2， 当且仅当n1时，mN*，此时m4，所求等比子数列为1，；设，成等比数列，则，即mn12N*； 3分 当k3时，数列1，；，；，均不成等比， 当k1时，显然数列1，不成等比； 综上，所求等比子数列为1，5分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在无穷项 等差子数列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1，7分 （ii）设a(kN*，nkN*)为an的等差子数列，公差为d， 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1qa1q|a1|q|q1|a1|q|(|q|1)|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去；12分 当|q|1时，|q|n1，取nk1log，从而|q|， 故|aa|a1|q|q1|a1|q|q|1|2|a1|q|d|， 这与|aa|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，结合(i)知，q的所有可能值为116分 数学附加题参考答案及评分标准 2015.0521【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分 A选修41：几何证明选讲EF解:延长AOAD，分别交圆O于点EF，连接EFBF因为AE为圆O的直径，所以AFE90，又ADBC，所以EF/BC，所以CBFBFE，又CBFCAF，BAEBFE，所以CAFBAE，CAOBAD在ABC中，AB4，AD2，ADBC，所以BAD60，所以CAO60 10分B选修42：矩阵与变换解：依题意，BA ， 5分从而 因为02，所以 10分C选修44：坐标系与参数方程解：易得线段A