广东省汕头市澄海凤翔中学高三数学上学期第二次段考试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）若复数z=（m2+2m3）+（m1）i是纯虚数（i是虚数单位），则实数m=（）a3b3c1d1或32（5分）已知集合m=1，2，n=1，a2，若mn=m，则实数a=（）a2bcd3（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（）a三种品牌的手表日走时误差的均值相等b三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙c三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙d三种品牌手表中甲品牌的质量最好4（5分）若如图所示的程序框图输出的s是31，则在判断框中m表示的“条件”应该是（）an3bn4cn5dn65（5分）已知向量=（1，2），=（x，y），则“x=4且y=2”是“”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）acm3b30cm3c40cm3d42cm37（5分）已知实数a0，函数，若f（1a）=f（1+a），则a的值为（）abcd8（5分）若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合x上的拓扑的集合的序号是（）abcd二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）已知等比数列an满足a1+a2=4，a2+a3=8，则a5=10（5分）不等式|x3|2x|0的解集为11（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=2x，那么此双曲线的离心率为12（5分）在（）12的展开式中，x3的系数为13（5分）直角坐标系xoy中，已知两定点a（1，0），b（1，1）动点p（x，y）满足，则点m（x+y，xy）构成的区域的面积等于坐标系与参数方程选做题14（5分）已知c的参数方程为（t为参数），c在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为几何证明选讲选做题15如图，在abc中，ab=bc，圆o是abc的外接圆，过点c的切线交ab的延长线于点d，bd=4，cd=2，则ac的长等于三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值17（12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数4422该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言（）求这两名队员来自同一学校的概率；（）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望e18（14分）在三棱锥pabc中侧梭长均为4底边ac=4ab=2，bc=2，de分别为pcbc的中点i）求证：平面pac平面abc（）求三棱锥pabc的体积；（）求二面角cade的余弦值19（14分）若正数项数列an的前n项和为sn，首项a1=1，点p（，sn+1）在曲线y=（x+1）2上（1）求a2，a3；（2）求数列an的通项公式an；（3）设bn=，tn表示数列bn的前项和，若tna恒成立，求tn及实数a的取值范围20（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1（1，0）、f2（1，0），且经过定点p（1，），m（x0，y0）为椭圆c上的动点，以点m为圆心，mf2为半径作圆m（1）求椭圆c的方程；（2）若圆m与y轴有两个不同交点，求点m横坐标x0的取值范围；（3）是否存在定圆n，使得圆n与圆m恒相切？若存在，求出定圆n的方程；若不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=+lnx（ar）（1）当a=2时，比较f（x）与1的大小；（2）当a=时，如果函数g（x）=f（x）k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）求证：对于一切正整数n，都有ln（n+1）广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）若复数z=（m2+2m3）+（m1）i是纯虚数（i是虚数单位），则实数m=（）a3b3c1d1或3考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：直接根据复数z=a+bi（ar，br）是纯虚数则a=0，b0，建立方程组，解之即可求出所求解答：解：复数（m2+2m3）+（m1）i（i为虚数单位）是纯虚数，解得m=3故选：a点评：本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键根据z=a+bi是纯虚数可知a=0，b0，属于基础题2（5分）已知集合m=1，2，n=1，a2，若mn=m，则实数a=（）a2bcd考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据题意可得有a2=2，由此求得a的值解答：解：集合m=1，2，n=1，a2，若mn=m，则有a2=2，a=，故选：d点评：本题主要考查两个集合的交集的定义，属于基础题3（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（）a三种品牌的手表日走时误差的均值相等b三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙c三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙d三种品牌手表中甲品牌的质量最好考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据正态曲线的特征进行判断，从图中看出，正态曲线的对称轴相同，最大值不同，从而得出平均数和标准差的大小关系，即可得到选项解答：解：由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙故选：b点评：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4（5分）若如图所示的程序框图输出的s是31，则在判断框中m表示的“条件”应该是（）an3bn4cn5dn6考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：根据框图的流程知：算法的功能是计算s=1+2+22+2n的值，由输出的s是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件解答：解：根据框图的流程得：算法的功能是计算s=1+2+22+2n的值，输出的s是31，s=2n+11=31n=4，退出循环体的n值为5，判断框的条件为n5或n4，故选：c点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能，确定退出循环的n值是关键5（5分）已知向量=（1，2），=（x，y），则“x=4且y=2”是“”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据向量平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若“”，则x+2y=0，当x=4且y=2时，满足x+2y=0，“x=4且y=2”是“”的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量垂直的坐标公式是解决本题的关键6（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）acm3b30cm3c40cm3d42cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体为长方体消去一个三棱锥，根据三视图判断长方体的长、宽、高及消去三棱锥的高与底面三角形的形状，把数据代入长方体与棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知：几何体为长方体消去一个三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为4、3、4；消去三棱锥的高为3，底面是直角边长分别为4、3的直角三角形，几何体的体积v=434433=486=42（cm3）故选：d点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键7（5分）已知实数a0，函数，若f（1a）=f（1+a），则a的值为（）abcd考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：计算题；分类讨论分析：由a0，f（1a）=f（1+a），要求f（1a），与f（1+a），需要判断1a与1+a与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求解答：解：a0，f（1a）=f（1+a）当a0时，1a11+a，则f（1a）=2（1a）+a=2a，f（1+a）=（1+a）2a=13a2a=13a，即a=（舍）当a0时，1+a11a，则f（1a）=（1a）2a=1a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a1a=2+3a即综上可得a=故选a点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把1a与1+a与1的比较，从而确定f（1a）与f（1+a），体现了分类讨论思想的应用8（5分）若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合x上的拓扑的集合的序号是（）abcd考点：进行简单的合情推理 专题：集合；推理和证明分析：根据集合x上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，因此是，从而得到答案解答：解：=，a，c，a，b，c；而ac=a，c，故不是集合x上的拓扑的集合；=，b，c，b，c，a，b，c，满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合x上的拓扑的集合；=，a，a，b，a，c；而a，ba，c=a，b，c，故不是集合x上的拓扑的集合；=，a，c，b，c，c，a，b，c满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合x上的拓扑的集合；故选：d点评：此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）已知等比数列an满足a1+a2=4，a2+a3=8，则a5=考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件利用等比数列的性质推导出，由此求出，q=2，从而能求出a5解答：解：等比数列an满足a1+a2=4，a2+a3=8，解得，q=2，a5=故答案为：点评：本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用10（5分）不等式|x3|2x|0的解集为3，1考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由不等式可得 ，或，或分别求得、的解集，再取并集，即得所求解答：解：由不等式可得 ，或，或解求得3x0，解求得0x1，解求得x综上可得，不等式的解集为3，1，故答案为：3，1点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化及分类讨论的数学思想，属于中档题11（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=2x，那么此双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=2x，知双曲线的标准方程可设为 ，由此能求出此双曲线的离心率解答：解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=2x，设双曲线方程为，0，双曲线的标准方程为 ，a2=，b2=4，c2=5，此双曲线的离心率e=故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题解题时要认真审题，注意双曲线渐近线方程的合理运用12（5分）在（）12的展开式中，x3的系数为考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数解答：解：（）12的展开式的通项公式为tr+1=，令=3，求得 r=2，故x3的系数为=，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题13（5分）直角坐标系xoy中，已知两定点a（1，0），b（1，1）动点p（x，y）满足，则点m（x+y，xy）构成的区域的面积等于4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：利用数量的数量积将不等式组进行化简，设m（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论解答：解：由，得设m（s，t），则，解得，由，得作出不等式组对应的平面区域，则对应平行四边形oabc，则a（0，2），b（2，0），c（2，2），则四边形的面积s=2，故答案为：4点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用向量的数量积将不等式进行转化是解决本题的关键坐标系与参数方程选做题14（5分）已知c的参数方程为（t为参数），c在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为sin=3考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：把c的参数方程化为普通方程，求出曲线c在点（0，3）处的切线l的方程，再化为极坐标方程解答：解：c的参数方程为（t为参数），化为普通方程是x2+y2=9；圆c在点（0，3）处的切线l的方程是y=3；l的极坐标方程为sin=3故答案为：sin=3点评：本题考查了参数方程与极坐标方程和普通方程的互相转化问题，解题时可以先化为普通方程，再解答问题，这样以免出错几何证明选讲选做题15如图，在abc中，ab=bc，圆o是abc的外接圆，过点c的切线交ab的延长线于点d，bd=4，cd=2，则ac的长等于考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：根据弦切角定理发现bcd=a，结合公共角发现bcdcad，利用对应边成比例，即可得出结论解答：解：cd是圆的切线，bcd=a；又d=d，bcdcad，bd=4，cd=2，ad=7，ab=3，ab=bc=3，ac=故答案为：点评：本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值考点：平面向量数量积的运算 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据|=|，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x的值； （2）利用数量积的定义求出函数f（x）=的表达式，利用三角函数的图象和性质求f（x）的最大值解答：解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1及|a|=|b|，得4sin2 x=1又x（0，），从而sin x=，x=（2）f（x）=sin xcos x+sin2x=sin 2xcos 2x+=sin（2x）+，当x=（0，）时，sin（2x）取最大值1f（x）的最大值为点评：本题主要考查空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）是解决本题关键17（12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数4422该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言（）求这两名队员来自同一学校的概率；（）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式 专题：概率与统计分析：（i）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件a，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率（ii）的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量的分布列及数学期望e解答：解：（i）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件a，则（6分）（ii）的所有可能取值为0，1，2（7分）则，的分布列为：012p（10分）（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型18（14分）在三棱锥pabc中侧梭长均为4底边ac=4ab=2，bc=2，d e分别为pcbc的中点i）求证：平面pac平面abc（）求三棱锥pabc的体积；（）求二面角cade的余弦值考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（i）利用等腰三角形的性质即可得到opac，再利用勾股定理的逆定理即可得到opob，利用线面垂直的判定定理即可证明；（ii）由（i）可知op平面abc，故op为三棱锥pabc的高，且op=，直角三角形abc的面积s=，再利用即可得出（iii）过点e 作ehac于h，过点h作hmad于m，连接me，由平面pac平面abc，ehac，eh平面abc，可得eh平面pac，于是mead（三垂线定理），可得emh即为所求的二面角的平面角利用直角三角形的边角关系求出即可解答：证明：（）pa=pb=pc=ac=4，取ac的中点o，连接op，ob，可得：opac，ac2=ab2+bc2，abc为rtob=oc=2，pb2=ob2+op2，opob又acbo=o且ac、ob面abc，op平面abc，又op平面pac，平面pac平面abc）（）由（i）可知：op平面abc，op为三棱锥pabc的高，且op=直角三角形abc的面积s=vpabc=（）方法一：过点e 作ehac于h，过点h作hmad于m，连接me，平面pac平面abc，平面pac平面abc=ac，ehac，eh平面abc，eh平面pac，mead（三垂线定理），emh即为所求的二面角的平面角e，d分别为中点，ehac，在rthec中：，在rthma中，在rthme中，点评：熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式、利用三垂线定理和二面角的定义求得二面角的平面角、通过空间直角坐标系利用两个平面的法向量得到二面角等是解题的关键19（14分）若正数项数列an的前n项和为sn，首项a1=1，点p（，sn+1）在曲线y=（x+1）2上（1）求a2，a3；（2）求数列an的通项公式an；（3）设bn=，tn表示数列bn的前项和，若tna恒成立，求tn及实数a的取值范围考点：数列的求和；数列的函数特性 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由题意可得，分别取n=1和n=2时，可得可求a2，a3（2）由可得=1，结合等差数列的通项公式可求sn，进而可求（3）由=，利用裂项求和即可求解tn，结合单调性可求，tn的最小值，即可求解a的范围解答：解：（1）由题意可得，分别取n=1和n=2时，可得由a1=1可得，a2=3，a3=5（2）由可得=1sn是以为首项，以1为公差的等差数列sn=n2当n2时，=2n1an=2n1（3）=）=显然tn关于n单调递增，当n=1时，tn有最小值tna恒成立点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式及数列的裂项求和方法的应用，数列的单调性在求解最值中的应用，属于数列知识的综合应用20（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1（1，0）、f2（1，0），且经过定点p（1，），m（x0，y0）为椭圆c上的动点，以点m为圆心，mf2为半径作圆m（1）求椭圆c的方程；（2）若圆m与y轴有两个不同交点，求点m横坐标x0的取值范围；（3）是否存在定圆n，使得圆n与圆m恒相切？若存在，求出定圆n的方程；若不存在，请说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题设知及椭圆定义得|pf1|+|pf2|=2a，求出a=2又c=1由此能求出椭圆方程（2）先设m（x0，y0），得到圆m的半径r=，再利用圆心m到y轴距离d=|x0|，结合圆m与y轴有两个交点时，则有rd，即可构造关于x0不等式，从而解得点m横坐标的取值范围（3）存在定圆n：（x+1）2+y2=16与圆m恒相切，利用椭圆的定义，即可得出结论解答：解：（1）由椭圆定义得|pf1|+|pf2|=2a，即2a=4，a=2又c=1，b2=a2c2=3故椭圆方程为（2）设m（x0，y0），则圆m的半径r=，圆心m到y轴距离d=|x0|，若圆m与y轴有两个交点则有rd即|x0|，化简得m为椭圆上的点得，解得4x02x02，2x0（3）存在定圆n：（x+1）2+y2=16与圆m恒相切，其中定圆n的圆心为椭圆的左