高三数学精品复习26 数学归纳法.doc

2014届高三数学精品复习之数学归纳法、极限1数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。2能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。举例1已知，则=a+， b+，c- d+-解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即 =+-=+- 故选d。举例2用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+12k+1变形为 解析假设n=k时命题成立.即:5k2k 被3整除.当n=k+1时，5k+12 k+1 =55k22 k=5(5k2k) 52k22k=5(5k2k) 32k巩固1 用数学归纳法证明11)时，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的代数式的个数是_。 a. 2 b. 21 c. 2 d. 21巩固2用数学归纳法证明命题： (n1) (n2) (nn)=2n13(2n1) 3数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对nn0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。4数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。举例1 已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，；解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立举例2设正整数数列满足：，且对于任何，有；（1）求，；（2）求数列的通项（07高考江西理22）解析：（1）据条件得 当时，由，即有，解得因为为正整数，故当时，由，解得，所以（2）由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，巩固1已知数列，；s为其前n项和，求s、s、s、s，推测s，并用数学归纳法证明。巩固2 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证： （07高考重庆理21）5若存在，则=，若=0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若=a、=b，则= ab, =ab, = (b0).举例 .（07高考陕西理13）解析：=，=巩固1 下列四个命题中，不正确的是（ ）a若函数在处连续，则b函数的不连续点是和c若函数，满足，则d （07高考湖南理7）巩固2 _ 6若|1或-1, 则不存在。=(为常数)；“ ”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若=a、=b，则 ()= ab, ()=ab, = (b0).举例1若 .解析：分母有理化举例2已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）a0b1cd （07高考湖北理5）解析：=，选c。巩固1把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）abcd2巩固2. 等于( ) a. 1 b. c. d.0迁移设正数满足，则（） （07高考重庆理8）7无穷数列的前n项和为sn，称为数列的无穷多项和或所有项和。求时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求sn，再求极限。若为等比数列，公比为q且|q|1，则=。举例1若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则 （07高考湖南理2） a b c d p1p2pn-1q1q2qn-1pn-2o解析：数列满足: , 且对任意正整数都有，数列是首项为，公比为的等比数列。，选a.巩固2如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形当时，这些三角形的面积之和的极限为 解析：，；，记的面积为sn，则s1=，s2=，sn-1=; =.巩固1数列的前n项和为sn，则sn_巩固2 如图，等边三角形abc的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三