高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第一节 随机事件的概率课件 文.ppt

第一节随机事件的概率 总纲目录 教材研读 1 事件的分类 考点突破 2 频率和概率 3 事件的关系与运算 考点二随机事件的频率与概率 考点一随机事件的关系 考点三互斥事件 对立事件的概率 4 概率的几个基本性质 1 事件的分类 教材研读 2 频率和概率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的 次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 随着试验次数的增加 事件a发生的 频率fn a 稳定在某个常数上 把这个常数记作p a 称为事件a的概率 简称为a的概率 3 事件的关系与运算 4 概率的几个基本性质 1 概率的范围为 0 1 2 必然事件的概率为1 3 不可能事件的概率为0 4 概率的加法公式如果事件a与事件b互斥 则p a b p a p b 概率加法公式的推广 1 当一个事件包含多个结果时 要用到概率加法公式的推广 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 2 p 1 p a1 a2 an 1 p a1 p a2 p an 注意涉及的各事件要彼此互斥 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b 1 p a 1 p b 1 下列事件中 随机事件的个数为 物体在只受重力的作用下会自由下落 方程x2 2x 8 0有两个实根 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次 下周六会下雨 a 1b 2c 3d 4 b 答案b 为必然事件 为不可能事件 为随机事件 2 甲 a1 a2是互斥事件 乙 a1 a2是对立事件 那么 a 甲是乙的充分但不必要条件b 甲是乙的必要但不充分条件c 甲是乙的充要条件d 甲既不是乙的充分条件 也不是乙的必要条件 b 答案b两个事件是对立事件 则它们一定互斥 反之不一定成立 3 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 事件 至少有一名女生 与事件 全是男生 a 是互斥事件 不是对立事件b 是对立事件 不是互斥事件c 既是互斥事件 也是对立事件d 既不是互斥事件也不是对立事件 c 答案c 至少有一名女生 包括 一男一女 和 两名女生 两种情况 这两种情况再加上 全是男生 构成全集 且不能同时发生 故 至少有一名女生 与 全是男生 既是互斥事件 也是对立事件 故选c 4 给出下面三个命题 设有一大批产品 已知其次品率为0 1 则从中任取100件 必有10件是次品 做7次抛硬币的试验 结果3次出现正面 因此 出现正面的概率是 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 其中真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 a 答案a 从中任取100件 可能有10件次品 并不是必有10件次品 故 是假命题 抛硬币时出现正面的概率是 不是 故 是假命题 频率和概率不是一回事 故 是假命题 故选a 5 从某班学生中任意找出一人 如果该同学的身高小于160cm的概率为0 2 该同学的身高在 160 175 单位 cm 的概率为0 5 那么该同学的身高超过175cm的概率为 0 3 答案0 3 解析由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175cm的概率为1 0 2 0 5 0 3 6 甲 乙两人下棋 两人和棋的概率是 乙获胜的概率是 则乙不输的概率是 答案 解析乙不输即为两人和棋或乙获胜 因此乙不输的概率为 考点一随机事件的关系 考点突破 解析 1 至少有一个是奇数 即 两个都是奇数或一奇一偶 而从1 2 3 7这7个数中任取两个数 根据取到数的奇偶性知共有三种情况 两个都是奇数 一奇一偶 两个都是偶数 故 至少有一个是奇数 与 两个都是偶数 是对立事件 易知其余都不是对立事件 2 至多有1张移动卡 包含 1张是移动卡 1张是联通卡 2张全是联通卡 两种情况 它是 2张全是移动卡 的对立事件 故选a 答案 1 c 2 a 方法技巧判断互斥 对立事件的方法 1 定义法判断互斥事件 对立事件一般用定义判断 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 两个事件 若有且仅有一个发生 则这两事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 2 集合法 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 则事件互斥 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 1 1设条件甲 事件a与事件b是对立事件 结论乙 概率满足p a p b 1 则甲是乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 a 答案a若事件a与事件b是对立事件 则a b为必然事件 再由概率的加法公式得p a p b 1 投掷一枚硬币3次 事件a 至少出现一次正面 事件b 3次出现正面 则p a p b 满足p a p b 1 但a b不是对立事件 1 2袋中装有3个白球 4个黑球 从中任取3个球 则 恰有1个白球和全是白球 至少有1个白球和全是黑球 至少有1个白球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个黑球 在上述事件中 是互斥事件但不是对立事件的为 a b c d a 答案a由题意可知 事件 均不是互斥事件 为互斥事件 但 又是对立事件 满足题意的只有 故选a 典例2 2017课标全国 18 12分 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 考点二随机事件的频率与概率 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 1 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时 写出y的所有可能值 并估计y大于零的概率 解析 1 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶 当且仅当最高气温低于25 由表格数据知 最高气温低于25 的频率为 0 6 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0 6 2 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时 若最高气温不低于25 则y 6 450 4 450 900 若最高气温位于区间 20 25 则y 6 300 2 450 300 4 450 300 若最高气温低于20 则y 6 200 2 450 200 4 450 100 所以 y的所有可能值为900 300 100 y大于零当且仅当最高气温不低于20 由表格数据知 最高气温不低于20 的频率为 0 8 因此y大于零的概率的估计值为0 8 规律总结 1 概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 2 1 2016课标全国 18 12分 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 3 求续保人本年度平均保费的估计值 解析 1 事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2 由所给数据知 一年内出险次数小于2的频率为 0 55 故p a 的估计值为0 55 2 事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4 由所给数据知 一年内出险次数大于1且小于4的频率为 0 3 故p b 的估计值为0 3 3 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0 85a 0 30 a 0 25 1 25a 0 15 1 5a 0 15 1 75a 0 10 2a 0 05 1 1925a 因此 续保人本年度平均保费的估计值为1 1925a 典例3某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 将频率视为概率 考点三互斥事件 对立事件的概率 解析 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 其估计值为 1 9 分钟 2 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 a1 a2 a3分别表示事件 该顾客一次购物的结算时间为1分钟 该顾客一次购物的结算时间为1 5分钟 该顾客一次购物的结算时间为2分钟 将频率视为概率得p a1 p a2 p a3 因为a a1 a2 a3 且a1 a2 a3是互斥事件 所以p a p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 规律总结求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和 二是间接法 先求该事件的对立事件的概率 再由p a 1 p 求解 当题目涉及 至多 至少 型问题时 多考虑间接法 3 1围棋盒子中有多粒黑子和白子 已知从中取出2粒都是黑子的概率是 都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 a b c d 1 c 答案c设 从中取出2粒都是黑子 为事件a 从中取出2粒都是白子 为事件b 任意取出2粒恰好是同一色 为事件c 则c a b 且事件a与b互斥 所以p c p a p b 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为 3 2某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 p a p b p c 2 1张奖券中奖