高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

第二章 2 3双曲线 2 3 1双曲线及其标准方程 学习目标1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一双曲线的定义 思考 若取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点f1 f2上 把笔尖放在点m处 拉开或闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 那么曲线上的点应满足怎样的几何条件 如图 曲线上的点满足条件 mf1 mf2 常数 如果改变一下笔尖位置 使 mf2 mf1 常数 可得到另一条曲线 答案 梳理 1 平面内与两个定点f1 f2的距离的差的等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的 2 关于 小于 f1f2 若将 小于 f1f2 改为 等于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹是以f1 f2为端点的 包括端点 若将 小于 f1f2 改为 大于 f1f2 其余条件不变 则动点轨迹不存在 3 若将 绝对值 去掉 其余条件不变 则动点的轨迹只有双曲线的 4 若常数为零 其余条件不变 则点的轨迹是 线段f1f2的中垂线 绝对值 这两个定点 焦距 两条射线 一支 知识点二双曲线的标准方程 思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么 答案 1 建系 以直线f1f2为x轴 f1f2的中点为原点建立平面直角坐标系 2 设点 设m x y 是双曲线上任意一点 且双曲线的焦点坐标为f1 c 0 f2 c 0 3 列式 由 mf1 mf2 2a 4 化简 移项 平方后可得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 5 检验 从上述过程可以看到 双曲线上任意一点的坐标都满足方程 以方程 的解 x y 为坐标的点到双曲线两个焦点 c 0 c 0 的距离之差的绝对值为2a 即以方程 的解为坐标的点都在双曲线上 这样 就把方程 叫做双曲线的标准方程 此步骤可省略 思考2 双曲线中a b c的关系如何 与椭圆中a b c的关系有何不同 双曲线标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 即c2 a2 b2 其中c a c b a与b的大小关系不确定 而在椭圆中b2 a2 c2 即a2 b2 c2 其中a b 0 a c c与b大小不确定 答案 梳理 1 两种形式的标准方程 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c a2 b2 c2 2 焦点f1 f2的位置是双曲线定位的条件 它决定了双曲线标准方程的类型 焦点跟着正项走 若x2项的系数为正 则焦点在上 若y2项的系数为正 那么焦点在上 3 双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为ax2 by2 1 ab 0 4 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里的b2 与椭圆中的b2 相区别 a2 c2 x轴 y轴 c2 a2 题型探究 类型一双曲线的定义及应用 命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题 解答 得a 3 b 4 c 5 由定义和余弦定理得 pf1 pf2 6 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 所以102 pf1 pf2 2 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 64 引申探究本例中若 f1pf2 90 其他条件不变 求 f1pf2的面积 解答 由双曲线方程知a 3 b 4 c 5 由双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 6 所以 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 36 在rt f1pf2中 由勾股定理得 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 2c 2 100 将 代入 得 pf1 pf2 32 求双曲线中焦点三角形面积的方法 1 方法一 根据双曲线的定义求出 pf1 pf2 2a 利用余弦定理表示出 pf1 pf2 f1f2 之间满足的关系式 通过配方 利用整体的思想求出 pf1 pf2 的值 反思与感悟 2 方法二 特别提醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 pf1 pf2 2a的变形使用 特别是与 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 间的关系 解答 在 mf1f2中 由余弦定理 得 f1f2 2 mf1 2 mf2 2 2 mf1 mf2 cos f1f2 2 4c2 mf1 2 mf2 2 mf1 mf2 2 2 mf1 mf2 4a2 2 mf1 mf2 式化为4c2 4a2 2 mf1 mf2 1 cos 当 pf1 pf2 3时 pf1 pf2 3 f1f2 4 满足双曲线定义 p点的轨迹是双曲线 命题角度2利用双曲线定义求其标准方程例2 1 已知定点f1 2 0 f2 2 0 在平面内满足下列条件的动点p的轨迹中为双曲线的是a pf1 pf2 3b pf1 pf2 4c pf1 pf2 5d pf1 2 pf2 2 4 答案 解析 2 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 答案 解析 如图 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b 根据两圆外切的条件 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc1 ac1 mc2 bc2 即 mc2 mc1 2 表明动点m与两定点c2 c1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 其轨迹方程为x2 1 x 1 双曲线定义的两种应用 1 根据双曲线的定义判断动点轨迹时 一定要注意双曲线定义中的各个条件 不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数 就认为其轨迹是双曲线 还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零 否则就不是双曲线 反思与感悟 2 巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程 可以使运算量大大减小 同时提高解题速度和质量 其基本步骤为 寻求动点m与定点f1 f2之间的关系 根据题目的条件计算是否满足 mf1 mf2 2a 常数 a 0 判断 若2a 2c f1f2 满足定义 则动点m的轨迹就是双曲线 且2c f1f2 b2 c2 a2 进而求出相应a b c 根据f1 f2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程 跟踪训练2下列命题是真命题的是 将所有真命题的序号都填上 已知定点f1 1 0 f2 1 0 则满足 pf1 pf2 的点p的轨迹为双曲线 已知定点f1 2 0 f2 2 0 则满足 pf1 pf2 4的点p的轨迹为两条射线 到定点f1 3 0 f2 3 0 距离之差的绝对值等于7的点p的轨迹为双曲线 若点p到定点f1 4 0 f2 4 0 的距离的差的绝对值等于点m 1 2 到点n 3 1 的距离 则点p的轨迹为双曲线 答案 解析 6 故点p的轨迹不存在 点m 1 2 到点n 3 1 的距离为 5 8 故点p的轨迹是以f1 4 0 f2 4 0 为焦点的双曲线 类型二待定系数法求双曲线的标准方程 解答 解答 a2 12 b2 8 待定系数法求方程的步骤 1 定型 即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为ax2 by2 1 ab 0 反思与感悟 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程 1 c 经过点a 5 2 焦点在x轴上 解得a2 5或a2 30 舍 解答 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 解答 类型三双曲线定义的综合运用 证明 如图所示 设 pf1 r1 pf2 r2 f1f2 2c 则在 pf1f2中 对于双曲线有 r2 r1 2m 则在 pf1f2中 对于椭圆有r1 r2 2a 1 结合双曲线的定义 解决综合问题 诸如 实际应用题 焦点三角形问题等 要充分利用双曲线的定义 正弦定理 余弦定理等 利用化归思想 重点考查综合运用能力与求解能力 2 双曲线与椭圆的比较如下表 反思与感悟 利用双曲线与椭圆的关系 可类比椭圆得到双曲线的有关结论 或用类似方法解决双曲线的有关问题 以及双曲线与椭圆的综合问题 解答 解答 类似的性质如下 其证明过程如下 设p x y m m n 则n m n 故kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值 当堂训练 2 3 4 5 1 由双曲线的定义得 pf1 pf2 2a 6 即 3 pf2 6 解得 pf2 9 负值舍去 故选b 答案 解析 a 11b 9c 5d 3 又由 f1f2 10可得 pf1f2是直角三角形 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知圆c x2 y2 6x 4y 8 0 以圆c与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 则所得双曲线的标准方程为 令x 0 得y2 4y 8 0 方程无解 即该圆与y轴无交点 令y 0 得x2 6x 8 0 解得x 2或x 4 则符合条件的双曲线中a 2 c 4 b2 c2 a2 16 4 12 且焦点在x轴上 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知双曲线2x2 y2 k k 0 的焦距为6 则k的值为 2 3 4 5 1 6或6 答案 解析 由题易知 k 0 综上 k 6或k 6 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1 双曲线定义的理解 1 定义中距离的差要加绝对值 否则只为双曲线的一支 设f1 f2表示双曲线的左 右焦点 若 mf1 mf2 2a 则点m在右支上 若 mf2 mf1 2a 则点m在左支上 2 双曲线定义的双向运用