高中数学 第四章 函数应用 1.1 利用函数性质判定方程解的存在课件 北师大版必修1.ppt

1函数与方程1 1利用函数性质判定方程解的存在 学习目标1 了解函数的零点与方程的根的关系 2 会判断函数零点的存在性 3 初步理解函数与方程思想 知识点一函数的零点定义 函数y f x 的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点 横坐标 预习评价 1 函数的零点是点吗 提示函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 因此函数的零点不是点 是方程f x 0的解 即函数的零点是一个实数 2 结合所学的基本初等函数 如一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 思考是否所有的函数都有零点 并说明理由 提示不一定 因为函数的零点就是方程的根 但不是所有的方程都有根 所以说不是所有的函数都有零点 如 指数函数 其图像都在x轴的上方 与x轴没有交点 故指数函数没有零点 对数函数有唯一一个零点 知识点二函数的零点 方程的根 函数图像之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与 有交点 函数y f x x轴 有零点 答案d 2 函数f x x2 5x的零点是 解析令x2 5x 0 解得x1 0或x2 5 所以函数f x x2 5x的零点是0和5 答案0和5 知识点三函数零点存在性的判断若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即 则在区间 a b 内 函数y f x 零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 f a f b 0 至少有一个 预习评价 1 若f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内一定没有零点吗 提示不一定 如y x2 1在区间 2 2 上有两个零点 但f 2 f 2 0 2 结合教材p116例3 你认为求函数零点个数的常用方法有哪些 提示方法一利用方程的根 转化为解方程 方程有几个根相对应的函数就有几个零点 方法二利用函数y f x 的图像与x轴的交点的个数 从而判定零点的个数 方法三结合函数的单调性 若函数在区间 a b 上的图像是一条连续不断的曲线 利用f a f b 0 结合单调性可判定y f x 在 a b 上零点的个数 方法四转化成两个函数图像的交点问题 题型一求函数的零点 规律方法求函数零点的两种方法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 训练1 函数y x 1的零点是 a 1 0 b 0c 1d 不存在解析令y x 1 0 得x 1 故函数y x 1的零点为1 答案c 例2 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的区间是 a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 0 1 解析 f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 f 1 f 2 0 此零点一定在 1 2 内 答案c 题型二判断函数零点所在区间 规律方法1 判断零点所在区间有两种方法 一是利用零点存在定理 二是利用函数图像 2 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 若f x 图像在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上不一定没有零点 训练2 函数f x ex x 2的零点所在的区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 f 0 e0 0 2 10 f 0 f 1 0 f x 在 0 1 内有零点 答案c 题型三判断函数零点的个数 例3 判断函数f x lnx x2 3的零点的个数 解方法一函数对应的方程为lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数y lnx与y 3 x2的图像交点个数 在同一直角坐标系下 作出两函数的图像 如图 由图像知 函数y 3 x2与y lnx的图像只有一个交点 从而方程lnx x2 3 0有一个根 即函数y lnx x2 3有一个零点 方法二由于f 1 ln1 12 3 20 所以f 1 f 2 0 又f x lnx x2 3的图像在 1 2 上是不间断的 所以f x 在 1 2 上必有零点 又f x 在 0 上是递增的 所以零点只有一个 规律方法判断函数零点个数的方法 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一直角坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图像 利用图像判定方程根的个数 3 解方程 解得方程根的个数即为函数零点的个数 训练3 函数f x lnx x 2的零点个数为 a 1b 2c 0d 不能确定解析如图所示 分别作出y lnx y x 2的图像 可知两函数有两个交点 即f x 有两个零点 答案b 探究1 关于x的方程x2 2ax 4 0的两根均大于1 求实数a的取值范围 探究2 已知关于x的一元二方程x2 2mx 2m 1 0有两个不相等的实数根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 探究3 若关于x的方程x2 mx m 1 0有一正根和一负根 且负根的绝对值较大 求实数m的取值范围 探究4 关于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 求a为何值时 1 函数f x ax2 2 a 1 x a 1有且仅有一个零点 2 方程的一根大于1 一根小于1 规律方法1 在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面 1 与0的关系 2 对称轴与所给端点值的关系 3 端点的函数值与零的关系 4 开口方向 2 设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根 则x1 x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示 课堂达标 答案d 2 对于函数f x 若f 1 f 3 0 则 a 方程f x 0一定有实数解b 方程f x 0一定无实数解c 方程f x 0一定有两实数解d 方程f x 0可能无实数解解析 函数f x 的图像在 1 3 上未必连续 故尽管f 1 f 3 0 但未必函数y f x 在 1 3 上有实数解 答案d 3 方程2x x2 0的解的个数是 解析在同一直角坐标系中画出函数y 2x及y x2的图像 可看出两图像有三个交点 故2x x2 0的解的个数为3 答案34 已知函数f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比0大 一个零点比0小 则实数a的取值范围为 解析由题意可知f 0 a 2 0 解得a 2 答案 2 1 在函数零点存在定理中 要注意三点 1 函数是连续的 2 定理不可逆 3