高考数学 专题辅导专题四 第3讲 空间向量与立体几何课时训练提能.doc

专题四 第3讲空间向量与立体几何课时训练提能限时45分钟，满分75分一、选择题(每小题4分，共24分)1已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则平面abc的单位法向量是a(1,1,1)bc d解析设平面abc的法向量n(x，y，z)，则n，n，故n0，n0，即xy0，xz0，取x1，得yz1，即平面abc的一个法向量是(1,1,1)，单位化得.故选c.答案c2直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为a2 bc. d解析线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x220，解得x，故选d.答案d3平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成锐角的余弦值是a. bc. d解析cosn1，n2，故平面，所成角的余弦值是.答案c4点m在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点m的坐标是a(0,0，2) b(0,0，3)c(0,0，) d(0,0，1)解析设m为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0，故点m到直线l的距离d ，解得z3.答案b5(2012抚州一中月考)已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若lb c(，r)，ma，ab，ac且a0，则直线m与直线la共线 b相交c垂直 d不共面解析由ma且a0，可得：mta(tr)，所以mlm(bc)mbmctabtac0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直答案c6正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为a. b.c. d.解析如图建立直角坐标系，设ab1，则(1,1,0)，(0,1,1)，设平面acd1的法向量为n(x，y，z)，则令z1，则y1，x1，n(1，1,1)又(0,0,1)，cos ，n.所以bb1与平面acd1所成角的余弦值为.答案d二、填空题(每小题5分，共15分)7(2012长沙一中月考)已知a(2，1,1)，b(1，4，2)，c(11,5，)，若向量a、b、c共面，则_.解析由向量a、b、c共面可得：cxayb(x，yr)，故有，解得.答案18已知2ab(0，3，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.解析因为(2ab)c01(3)(2)(10)(2)26，而(2ab)c2acbc8bc，故bc18.又|c|3，故cosb，c，所以b，c.答案9如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2，则点a到平面mbc的距离等于_解析取cd的中点o，连接ob、om，则obcd，omcd.又平面mcd平面bcd，则om平面bcd，所以omob.以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得obom，则各点坐标分别为c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)所以(1，0)，(0，)，(0,0,2)设n(x，y，z)是平面mbc的法向量，由n，得xy0；由n，得yz0.令x，则y1，z1，所以n(，1,1)是平面mbc的一个法向量所以点a到平面mbc的距离为.答案三、解答题(每小题12分，共36分)10如图所示，正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直，abe是等腰直角三角形，abae，fafe，aef45.(1)求证：ef平面bce；(2)设线段cd、ae的中点分别为p、m，求证：pm平面bce.证明abe是等腰直角三角形，abae，aeab.又平面abef平面abcd，且平面abef平面abcdab，ae平面abcd，aead，即ad、ab、ae两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系设ab1，则ae1，b(0,1,0)，d(1,0,0)，e(0,0,1)，c(1,1,0)(1)fafe，aef45，afe90，从而f，(0，1,1)，(1,0,0)，于是0，0，efbe，efbc.be平面bce，bc平面bce，bcbeb，ef平面bce.(2)m，p，从而.于是00.pmef，又ef平面bce，直线pm不在平面bce内，pm平面bce.11(2012朝阳二模)在如图所示的几何体中，四边形abcd为正方形，ea平面abcd，efab，ab4，ae2，ef1.(1)若点m在线段ac上，且满足cmca，求证：em平面fbc；(2)求证：af平面ebc；(3)求二面角afbd的余弦值解析(1)证明过m作mnbc于n，连接fn，则mnab，又cmac，所以mnab.又efab且efab，所以efmn，且efmn，所以四边形efnm为平行四边形，所以emfn.又fn平面fbc，em平面fbc，所以em平面fbc.(2)证明因为ea平面abcd，abad，故以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.由已知可得，a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,4,0)，d(0,4,0)，e(0,0,2)，f(1,0,2)显然(1,0,2)，(0,4,0)，(4,0，2)则0，0，所以，.即afbc，afeb，故af平面ebc.(3)因为efab，所以ef与ab确定平面eabf，由已知得，(0,4,0)，(3,0，2)，(4,4,0)因为ea平面abcd，所以eabc.由已知可得abbc且eaaba，所以bc平面abf，故是平面abf的一个法向量设平面dfb的一个法向量是n(x，y，z)由得即令x2，则n(2,2,3)，所以cos，n.由题意知二面角afbd锐角，故二面角afbd的余弦值为.12(2012西城二模)如图，直角梯形abcd与等腰直角三角形abe所在的平面互相垂直abcd，abbc，ab2cd2bc，eaeb.(1)求证：abde；(2)求直线ec与平面abe所成角的正弦值；(3)线段ea上是否存在点f，使ec平面fbd？若存在，求出；若不存在，说明理由解析(1)证明取ab中点o，连接eo，do.因为ebea，所以eoab.因为四边形abcd为直角梯形，ab2cd2bc，abbc，所以四边形obcd为正方形，所以abod.所以ab平面eod.所以abed.(2)因为平面abe平面abcd，且eoab，所以eo平面abcd，所以eood.由ob，od，oe两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.因为三角形eab为等腰直角三角形，所以oaobodoe，设ob1，所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，e(0,0,1)所以(1,1，1)，平面abe的一个法向量为(0,1,0)设直线ec与平面abe所成的角为，所以sin ，即直线ec