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对角占优矩阵的性质及其应用本科生毕业论文(设计)题 目： 对角占优矩阵的性质及其应用学生姓名： 付 艳 学 号： 200810010212 指导教师： 邹 庆 云 专业班级： 数学与应用数学 完成时间： 2012年5月 15目 录 0引言11主要结果2 1.1 对角占优矩阵奇异性2 1.2对角占优矩阵行列式3 1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性4 1.4对角占优矩阵其他相关性质5 1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用9 1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用11结论14参考文献14 致谢15 对角占优矩阵的性质及其应用数学与应用数学专业学生：付艳指导教师：邹庆云摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU分解等方面的应用。关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominantconcepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application.Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.0 引言各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。定义1 若是矩阵，且满足 （），则称为对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。定义2 设阶矩阵当时，若的惟一的元素不为0，则称为不可约，否则称为可约；当时，把正整数的全体记为N，若存在一个非空集合K，它是N的真子集合（即KN,但KN）使,当ik,jk.则称为可约矩阵，否则称为不可约矩阵。定义3 设阶矩阵满足下面三个条件： （1）为对角占优矩阵， （2）为不可约矩阵， （3）严格不等式至少对一个下标成立，则称为不可约对角占优矩阵。1 主要结果1.1 关于对角占优矩阵奇异性研究定理1 为严格对角占优矩阵，则为非奇异。证明:用反证法。假设有非零向量满足则存在正整数kn,使得且 由此得 这与严格对角占优的性质矛盾。 定理2若矩阵为不可约按行（或列）对角占优矩阵，则非奇异。证明：仅考虑结论对不可约按行对角占优矩阵成立。设矩阵为不可约按行对角占优矩阵，如果奇异，则存在非零向量，使得，记显然且I非空，则 （1）如果，则 与对角占有性矛盾。如果，令，则J非空，且 由对角占优性以及（1） 即 当即时，故由上式立即得到，因此 与矩阵不可约矛盾。证毕。1.2 关于对角占优矩阵行列式的研究定理3设是（行或列）严格对角占优矩阵，则和的主对角元素之积 同号。而且，当是行严格对角占优时， 。当是列严格对角占优时， 。证明:由假设知 。记 于是 。注意到的对角元素是正实数： 则的所有特征值具有正实部。这样，由于是实的，复特征值必共轭成对出现，其积是正实数，而实特征值必为正实数，从而等于的所有特征值（按代数重数计）之积必大于零。因此有 ，证毕。1.3 关于对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性的研究定理4设是行严格对角占优矩阵，则是列元素严格对角占优矩阵。 证明:由于对角占优，则可逆。令 则 因此，只须证明 不失一般性，为了方便，取从而我们可得知 注意到 为了完成定理的证明，只须证明 事实上， 此式中最后的行列式是正的，因为其矩阵是行严格对角占优且对角元素全大于零，证毕。1.4 对角占优矩阵其他相关性质定理5设行严格对角占优矩阵，则对于任何成立 证明:依算子范数定义，存在 使得 令 且令 由得 于是 从而，证毕。定理6 设其中,为n阶实方阵，若是对角占优矩阵，则：（1） ；（2） 的所有主子式非负，即对所有的，有 ；（3） 的所有顺序主子式非负；证明:设为阶行交换初等矩阵，则为对角占优矩阵当且仅当为对角占优矩阵，据此对的行与行和列与列施行相同的交换，使得第一行除对角线上的元素以外，还有元素不为零，为讨论方便，将记为，现设矩阵具有形式，其中满足不全为零。（1） 对矩阵的阶数应用数学归纳法。当时，结论真。假定结论对阶数小于的矩阵均成立。则当阶数为时，记 这里 显然， 我们证明对每一个， 因为，有，所以： 因此 再证仍是对角占优的，注意到： 由条件第一行是行对角占优的，现考虑行，记但是对角占优的，所以有，从而 所以仍是对角占优的，设 则是对角占优的，由假设，于是。（2） 设是的任意阶主子式，注意到仍是对角占优的，于是由（1）有： 。（3）由（2）立得。下面给出例子说明上序性质不能作为对角占优的充分条件。例1 设，则且的所有主子式均非负，但不是对角占优的，事实上，若有正对角矩阵 使得 是对角占优的，即 则用第一行的3倍加到第二次行上去，有，但，此不可能，所以不是对角占优的。15、关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用定理7 如果对角矩阵占优的三对角线方程组 ，简记。当时，且： 则数值解三对角方程组的追赶法必可进行到底。证明:由于方程组系数矩阵的各阶顺序主子式 的行列的值满足：当时，由于，则；当时，由于，所以 ，又因为 且，则 ，所以 ，即；假设，当时有，则当时，由于对， ，而 ，且，所以，则 ，所以为对角占优，所以，则，即证对任意有，所以可以作分解，则上述命题成立，证毕。1.6 关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用定理8 设阶矩阵为强对角占优或不可约对角占优，且，其中，则。证明:因为矩阵的特征多项式为： ；而，于是的特征值为之根，记 下面来证明，当时，即的特征值均满足。事实上，当时，由为严格对角占优矩阵，则有： 这说明，当时，矩阵为严格对角占优阵，则，矛盾，则，所以，证毕。例1 令，求证：。证明：由于为强对角占优，而 则的特征多项式 ，则特征值，故。类似于性质3，我们可以得到如下性质：定理9 设阶矩阵为强对角占优矩阵或不可约对角占优，其中，则。上序两条性质在利用雅可比迭代法（高斯-塞德尔迭代法）解线性方程组，判断迭代法的收敛性应用广泛。例2 设方程组，考察雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法的收敛性。解:由于系数矩阵满足： 则系数矩阵严格对角占优，所以（同性质3），（同性质4）；所以，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法的收敛。定理10设，如果：（1） 为严格对角占优矩阵（或为弱对角占优不可约矩阵）；（2）。则解的迭代法收敛。证明:因为严格对角占优，故 且非奇异，又SOR法的迭代矩阵为 其中，而分别为对角，严格下三角和严格上三角，下面只须证明当时，即可。反证法：假设有一个特征值，则有 即 有 由于严格对角占优，故 所以只有 事实上，令 则 即 故在时，也严格对角占优，从而，这与矛盾，故假设不成立，从而。即，SOR迭代法收敛，证毕。2 结论 针对我们对对角占优矩阵的上序研究，我们发现了对角占优矩阵的非奇异性，以及某些特殊的对角占优矩阵其特征值的实部是非负的，而对于严格对角占优矩阵其逆矩阵也是严格对角占优的，同时我们还给出了矩阵对角占优性在矩阵的分解、以及用迭代法解线性方程组方面的应用。但本文对弱对角占优矩阵相关性质的研究不够深入，以及未涉及到块对角占优矩阵的性质，在这些方面还需要广大读者做更深入的探讨。参考文献：1 曾金平数值计算方法长沙：湖南大学出版社，20062 李庆扬，王能超，易大义数值分析北京：清华大学出版社，20013 郭世平广义对角占优矩阵的若干基本性质安徽教育学院学报20054 程云鹏矩阵论西安