例析分类讨论思想在圆中的应用.doc

例析分类讨论思想在圆中的应用 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考 一、点与圆的位置关系不唯一性 例1 已知点P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B，点C是O上的任意一点(不与A，B重合)若APB=50，求ACB的度数 分析 解题时若对点C位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C在优弧与劣弧两种情况分类讨论解析 如图1，连结OA、OB，PA，PB是O的两条切线，PAO=PBO=90APB=50。在四边形PA OB中，AOB=360一PAO一APB一PBO=130若点C在优弧AB上，则ACB= AOB=65；若点C在劣弧AB上，则ACB=(360-130 )=115ACB的度数为65或115 变式 已知点P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B，点C是O上的任意一点(不与A，B重合)若APB=n，求A CB的度数 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例2 在半径为1的O中，弦AB=，A C=，求BAC的度数 分析 此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15，要么求得75实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB与CD在圆心O的两侧与同侧两种情况讨论 解析 如图2，分别作ODAB，OEA C，垂足分别是D、EODAB，OEA C，AD=BD=，AE=BE：，cosDAO=，cosAEO = =，DA O=45，AEO=30当AB与CD在圆心O的两侧时，BA C=BAO+CAO=75；当AB与CD在圆心O的同侧时，BAC=BAO-CAO=15，BAC的度数为15或75变式 如图3，已知AB是O的直径，AB=2，弦AC=，在图中画出弦AD，使AD=1，并求CAD的度数三、弦与它所对圆周角的不唯一性 例3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数 分析 多数学生只是求出30。，而未能求出150，原因是学生对点与圆的位置关系、弦所对的圆周角理解不透一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算解析 连结OA、OB，OA=OB=AB，AOB为正三角形，ADB=60当点P在优弧AB上时，P=A OB=30；当点Q在优弧AB上时，Q=180一P=150弦AB所对的圆周角为30或150变式1 已知点O为ABC的外心，若BOC=100，求BA C的度数变式2 在半径为4的O中，弦AB=4，求弦AB所对的圆周角的度数变式3 一条弦AB分圆成1：4两部分，求弦AB所对的圆周角的度数四、直线与圆的位置关系不唯一性 例4 直线上一点P到圆心O的距离是5cm，O的半径也是5cm，求直线与的位置关系 分析 多数学生误以为圆心O到直线的距离为OP，即把直线上一点P当作垂足，得出直线与O的位置关系是相切，出现漏解 解析 (1)当OP时，则圆心O到直线的距离为OP OP=5，R=5， OP=R， 点P到直线的距离等于O的半径，则直线与O相切； (2)当OP不垂直直线时，圆心O到直线的距离小于OP，则直线与O相交 直线与O的位置关系是相切或相交 变式 直线上一点P到圆心O的距离是，O的半径是，并且=，求直线与O的位置关系五、圆与圆的位置关系不唯一性 例5 以点O为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，与这两个圆相切，求的半径分析 由于两圆为同心圆，可能与小圆外切、与大圆内切，的直径等于两圆的半径之差；也可能与小圆、大圆都内切，的直径等于两圆的半径之和(如图5)解析 当与小圆外切、与大圆内切时， 的直径为 ； 当与小圆、大圆都内切时， 的直径为 ， 的半径是2或7变式 已知两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径是2，求另一圆的半径六、在圆锥侧面展开图计算中的应用例6 如图6，在Rt ABC中，ACB=90，AC=20，BC=15，RtABC的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。分析 题中只说明RtABC的一边旋转一周，而未说明具体是哪一边旋转，所以必须分情况进行讨论 解析 ACB=90， AC=20，BC=l 5， AB= ， 25CD=201 5， CD=l 2 若绕AC旋转一周得到的几何体，则它的全面积为 ； 若绕BC旋转一周得到的几何体，则它的全面积为 =900； 若绕AB旋转一周得到的几何体，则它的全面积为 绕RtABC的一边旋转一周得到一个几何体的全面积为 600或900或420变式 在RtABC中，ACB=90