高中数学 第十五课时 第二章平面向量小结与复习课（二）教案 北师大版必修4.doc

第十五课时第二章平面向量小结与复习课（二）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4. 了解向量形式的三角形不等式：|-|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，=|cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量与，求证：-+证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且-+(3)两个非零向量与共线时，与同向，则+的方向与.相同且+=.与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设|，则|+|=|-|.同理可证另一种情况也成立。例2 已知o为abc内部一点，aob=150，boc=90，设=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用与表示 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则b（0，1），c（-3，0），设a（x，y），则条件知x=2cos(150-90),y=-2sin(150-90)，即a（1，-），也就是= , =， =-3所以-3=3+|即=33例3.下面5个命题：|=|()=()，则= =0，则|+|=|=0，则=或=，其中真命题是（ ）a b c d例4.设=(a+5b)，=-2a + 8b，=3(a -b)，求证：a,b,d三点共线。证：=+=(a+5b) + ( -2a + 8b) + 3(a -b)= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)而=(a+5b) = (+ 1)又, 有公共点 a,b,d三点共线例5.已知：a(1,-2)，b(2,1)，c(3,2)，d(-2,3)，求证：a，b，c三点不共线以、为一组基底来表示+ 解：=(1,3), =(2,4) 14-320 a，b，c三点不共线 +=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) = (-12,8) 设：+= m+ n 即：(-12,8) = (m + 2n, 3m + 4n) += 32-22例6.求证：|a + b |a| + |b|证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2ab = |a|2 + |b|2 + 2|a|b|cosq |a|2 + |b|2 + 2|a|b| = ( |a| + |b| )2 即：|a + b |a| + |b|四、巩固训练1.下面5个命题中正确的有（ ）d=； =；（+）=+； （）=（）； .a. b. c. d. 2.下列命题中，正确命题的个数为（ a ）若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；若为单位向量，且则=| =| 若与共线，与共线，则与共线；若平面内四点a.b.c.d，必有+=+a 1 b 2 c 3 d 43、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：ab = |a|b|cosa = 3= 3，(a+b)(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)ab = 32 + 11 + 3 夹角为锐角 必得32 + 11 + 3 0 或4、已知四边形abcd的顶点分别为a(2,1)，b(5,4)，c(2,7)，d(-1,4),求证：四边形abcd为正方形。5、a、b为非零向量，当a + tb(tr)的模取最小值时，求t的值；求证：b与a + tb垂直解： |a + tb|2 = |