广东省高二数学寒假作业（二）.doc

广东省2013-2014学年高二寒假作业（二）数学一、选择题#no.#设分别是双曲线的左,右焦点，若在双曲线右支上存在点p，满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率等于（）a2bcd#no.#设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y = x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )ab2cd#no.#已知抛物线的焦点为f，a, b是该抛物线上的两点，弦ab过焦点f，且，则线段ab的中点坐标是（）abcd#no.#设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）abcd#no.#设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）a4b5c8d10#no.#已知双曲线的两条渐近线均和圆c:相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为( )abcd#no.#已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为，p到直线的距离为，则的最小( )abcd#no.#抛物线的焦点坐标是（ ）a(0,4)bcd 二、填空题#no.#焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程是_.#no.#已知抛物线，则它的焦点坐标为#no.#若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_#no.#椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，焦点到相应准线的距离也为，则该椭圆的离心率为 #no.#若直线y=kx1与双曲线只有一个公共点，则k= #no.#方程表示焦点在y轴上的双曲线，则角在第 _象限。 三、解答题#no.#（本小题满分10分）河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5时，水面宽为8，一小船宽4，高2，载货后船露出水面上的部分高，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行。#no.#(本小题满分13分)已知抛物线上一动点,抛物线内一点,为焦点且的最小值为。求抛物线方程以及使得|pa|+|pf|最小时的p点坐标;过(1)中的p点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于c、d两点,直线cd是否过一定点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。#no.#在平面直角坐标系中，椭圆为(1）若一直线与椭圆交于两不同点，且线段恰以点为中点，求直线的方程；(2）若过点的直线（非轴）与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由. #no.#（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，上顶点为a，在x轴上有一点b，满足且f1为bf2的中点.(）求椭圆 c的离心率；(）若过a、b、f2三点的圆恰好与直线相切，判断椭圆c和直线的位置关系.#no.# (本小题满分12分)设a1、a2是双曲线的实轴两个端点，p1p2是双曲线的垂直于轴的弦，(）直线a1p1与a2p2交点p的轨迹的方程；(）过与轴的交点q作直线与（1）中轨迹交于m、n两点，连接fn、fm，其中f,求证：为定值；#no.#（12分）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点，求证：；设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值.广东省2013-2014学年高二寒假作业（二）数学一、选择题 1d 【解析】依题意|pf2|=|f1f2|，可知三角形pf2f1是一个等腰三角形，f2在直线pf1的投影是其中点，由勾股定理可知|pf1|=2=4b根据双曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整理得3b24ab=0，求得=；e=，故选d 2c【解析】易知双曲线（a0,b0）的渐近线方程为，因为渐近线与抛物线y = x2 +1相切，我们不妨设是渐近线，由，因为渐近线与抛物线y = x2 +1相切，所以，所以该双曲线的离心率。 3c 【解析】抛物线y2=4xp=2，设经过点f的直线与抛物线相交于a、b两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，ab中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|ab|p)=1，故选c 4b【解析】因为抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除a、c，由e=0.5,排除d，故选b 5d【解析】本试题主要是考查了椭圆的概念和方程中参数的运用。根据椭圆的方程可知，a=5,b=4,那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离为2a=10,故=10，选d.解决该试题的关键是理解椭圆中a,b的值，分别是谁，同时能结合定义得到椭圆上任何一点到两个焦点的距离和为定值2a。 6a【解析】因为双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b,由题意知b等于圆c的半径2,所以b=2,又因为c=3,所以所求双曲线的方程为. 7d【解析】如图点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，从而p到y轴的距离等于点p到焦点f的距离减1过焦点f作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2=|pf|+d21最小，f（1，0），则利用点到直线的距离可知，|pf|+d2=,则d1+d2的最小值为1，故选d. 8b 【解析】将抛物线方程化成，所以焦点坐标为.二、填空题 9【解析】因为直线3x4y12=0与x轴、y轴分别交与（4,0），（0，3）。所以当抛物线的焦点在x轴上时，p=8，所以抛物线的标准方程是；当抛物线的焦点在y轴上时，p=6，所以抛物线的标准方程是.综上知：抛物线的标准方程为。 10【解析】 即，所以抛物线，则它的焦点坐标为（0,1）. 11【解析】 为双曲线的左焦点，所以，所以双曲线方程为，设点，则，因为为双曲线右支上的任意一点，所以，所以的最小值为，所以取值范围为. 12【解析】本试题主要是考查了椭圆的离心率的求解的运用。设出椭圆的方程，因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，因为焦点到相应准线的距离为，故解得可知椭圆的离心率为，故答案为。解决该试题的关键是设出方程，然后利用过焦点的垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，得到离心率。 13，【解析】因为双曲线的渐近线为,所以当直线y=kx1与渐近线平行时，也只有一个公共点，所以,由y=kx1与联立消去y整理后得，所以,所以k的值有，. 14四【解析】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以且所以角在第四象限.三、解答题 152。【解析】建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为，过a（4，5）,b（4，5），由于小船宽4，当时，即当船顶距抛物线拱顶为时，小船恰好能通过。又载货后，船露出水面上的部分高。当水面距抛物线拱顶距离时，小船恰好能通行。答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距2时，小船恰好能通行。 16(2,2).过定点。【解析】 (1)过a,p分别做准线的垂线,设垂足为,则|pf|=|ph|,由图象可知,当|pa|+|pf|取最小值即是点到准线的距离,此时p点为aa0与抛物线的交点.故,此时抛物线方程为, p点坐标为(2,2).(2)设,直线即即, 由papb有得代入到中，有,即即,故直线ab过定点。 17（1）；（2）在轴上存在定点，使恒为定值。【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，（2）假定存在定点，使恒为定值由于直线不可能为轴于是可设直线的方程为且设点将代入得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值。解：（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点设点，由已知，则有两式相减，得而直线的斜率为直线的方程为（2） 假定存在定点，使恒为定值由于直线不可能为轴于是可设直线的方程为且设点将代入得.显然，则若存在定点使为定值（与值无关），则必有在轴上存在定点，使恒为定值18（）椭圆的离心率 （）直线和椭圆相交【解析】（i）求出左、右焦点分别为f1、f2，上顶点为a的坐标，通过，且abaf2，推出a，b，c的关系，结合a2=b2+c2，即可求椭圆c的离心率；（ii）利用（i）求出过a、b、f2三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线相切圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，即可求椭圆c的方程（）由题意知，因为，所以在中，2分又因为为的中点，所以，4分又，所以故椭圆的离心率6分（）由（）知，于是，的外接圆圆心为，半径8分所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为：11分由得：，可得，所以直线和椭圆相交 19（）（ ；（）见解析。【解析】（）利用交轨法来求直线p1a1和p2a2的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出a1、a2点的坐标，设p（x0，y0），则n（x0，y0），求出直线pa1和na2的方程，联立方程，方程组的解为直线pa1和na2交点的坐标，再把p点坐标（x0，y0）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹c的方程（）设的方程为，直线mn的方程与曲线c的方程联立消y可得关于x的一元二次方程，解出m，n点横坐标之和与之积代入下式即可证明为定值（）设,则的方程为 的方程为 将，得又在双曲线上，即，代入上式 ，得（ 5分 （）法一：设的方程为，联立，得 消，得则.12分 20（）见解析；（）时，四边形的面积最小，最小值是 【解析】（1）先利用已知条件设出直线ab的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而