数学物理方程 谷超豪 第四章答案.pdf

59 第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 1 二阶方程的分类二阶方程的分类 1 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变 也就是说 经可逆变换后 2211 2 12 aaa 的符号不变 证 因两个自变量的二阶线性方程一般形式为 fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2 经可逆变换 yx yx 0 yxD D 化为 fucubuauaua 2221211 2 其中 2 2212 2 1122 22121112 2 2212 2 1111 2 2 yyxx yyxyyxxx yyxx aaaa aaaa aaaa 所以 yxyxyxyxxyyx aaaaaaa 221111 2222 12 2 2211 12 2 22 2 2 2211 12 22222 2211 yxD D aaaaa xyyxyxyx 因0 2 yxD D 故 与 同号 即类型不变 2 判定下述方程的类型 1 0 22 yyxx uyux 2 0 2 yyxx uyxu 3 0 yyxx xyuu 4 01 00 01 sgn0sgn2sgn x x x xxuuyu yyxyxx 5 0424 zzyyxzxyxx uuuuu 解 1 0 22 yyxx uyux 因 0 22 yx 当0 0 yx时0 0 x或0 y时0 即在坐标轴上方程为抛物型 其余处为双曲型 2 0 2 yyxx uyxu 因 0 2 yx 在直线0 yx上 0 为抛物型 其余处0 为椭圆型 3 0 yyxx xyuu 因xy 在坐标轴上 0 为抛物型 在一 三象限中 0 为椭圆型 在二 四象限中 0 为双曲型 4 0sgn2sgn yyxyxx xuuyu 因 sgnsgn1yx 在坐标轴上0 为双曲型 在一 三象限内0 为抛物型 在二 四 象限内0 为双曲型 5 0424 zzyyxzxyxx uuuuu 因对应二次型为 2 3 2 23121 2 1 424xxxxxxx 相应对称矩阵为 101 042 121 其特征方程为 60 0 446 101 042 121 23 记 446 23 f 经计算得 28 6 1 5 4 2 3 1 4 0 7 1 f fffff 说明A的三个特征值分别在区间 6 5 2 1 0 1 中 故方程为双曲型的 3 化下列方程为标准形式 1 0254 yxyyxyxx uuuuu 2 02 22 yyxyxx uyxyuux 3 0 yyxx yuu 4 0 sin3 cos2 2 yyyxyxx yuuxxuu 5 0 1 1 22 yxyyxx yuxuuyux 解 1 0254 yxyyxyxx uuuuu 因 0154 方程为椭圆型 特征方程为 054 2 dx dy dx dy 解之得 21 2 2 2cixxycxiyi dx dy 因此引变换 x yx 2 有 uu x u 2 2 22 2 2 2 222 2 2 2 2 442 2 2 uuuuuuu x u 1 u y u 2 2 2 2 2 2 1 1 uu y u uuuu yx u 2 2 22 2 22 2 1 1 2 代入化简即得 0 2 2 2 2 uuu 02 2 22 yyyyxx uyxyuux 因 0 2222 yxyx 方程为抛物型 特征方程为 02 222 y dx dy xy dx dy x 解之得 cxy x y dx dy 因此引变换 x x y 有 u x yu x u 2 2 2 2 2 32 2 42 2 2 2 2 2 u x yu x yu x yu x yu x u x u y u1 u xx u x yu yx u x u y u 2 2 32 22 22 2 2 2 11 1 代入化简即得 0 0 0 2 xu ux 3 0 yyxx uu 61 因 00 00 00 y y y y 当 y0 为椭圆形 特征方程为0 2 y dx dy 解之得 1 2 2 cyxicxiyi y dx dy 因此引变换 y x 2 有 u x u 2 2 2 2 u x u 2 1 y u y u 2 1 2 3 1 2 2 2 2 y u y u y u 代入化简得 0 1 uuu 4 0 sin3 cos2 2 yyyxyxx yuuxxuu 因 04 sin3 cos 22 xx为双曲型 特征方程为 0 sin3 cos2 22 x dx dy x dx dy 解之得 2cos x dx dy 2 1 2 1 2sin 2sin 2sin 2sin cxxy cxxy cxxy cxxy 因此引变换 yxx yxx sin2 sin2 有 cos2 cos2 x u x u x u u x u x u x u x u x x u sinsin cos2 cos4 2 cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 uu y u 2 22 2 2 2 2 2 uuu y u 2 22 2 22 cos2 cos2 cos2 u x u x u x yx u 代入化简得 0 32 2 uuu 5 0 1 1 22 yxyyxx yuxuuyux 因 0 1 1 22 yx为椭圆形 特征方程为 62 0 1 1 2 2 2 x y dx dy 即 2 2 1 1 x y i dx dy 解之得 1 22 1ln 1ln cxxiyy 因此引变换 1ln 1ln 2 2 yy xx 有 2 1 2 1 x u x u u xx u xx u 1 1 1 2 3 2 2 2 22 2 2 1 2 1 y u y u u yy u yy u 1 1 1 2 3 2 2 2 22 2 代入化简得 0 2 2 2 2 uu 4 证明两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量的变换及函数变换 veu u 将它化成 fcvvv 的形式 证 已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型 0 1 fbububuauuu 其中 a b c 当原方程为常系数时为常数 再令 veu u 有 vveveveu uuu uvveu u 2 2 2 2 vuuvveu vvveu u u 代入方程得 0 2 2 1 22 fvdbuauvubvavve u 因 u e 不等于零 且取 2 2 b u a 消去 u e 得 0 2244 1 2222 u efvd baba vv 记 c ba d 44 22 fef u 1 即得所求 2 二二 阶阶 方方 程程 的的 特特 征征 理理 论论 1 求下列方程的特征方程和特征方向 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 x u x u x u x u 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x u x u x u t u 2 2 2 2 3 y u x u t u 解 解 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 x u x u x u x u 特征方程 2 4 2 3 2 2 2 1 又 1 2 4 2 3 2 2 2 1 所以 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 引实参数 得特征方向为 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x u x u x u t u 特征方程 0 2 3 2 2 2 1 2 0 又 1 2 3 2 2 2 1 2 0 63 所以 2 1 2 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 即任一点特征方向与t轴交角为 4 2 2 2 2 3 y u x u t u 特征方程 0 2 2 2 1 又 1 2 2 2 1 2 0 所以 12 2 1 2 0 引实参数 得特征方向为 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 证明经过可逆的坐标变换 1 1 niyyfx nii 原方程的特征曲面变为经变换后 的新方程的特征曲面 即特殊性征曲面关于可逆坐标变换具有不变性 证 证 讨论的是二阶线性方程 FCu x u B xx u A n i i i n ji ji ij 11 2 它的特征曲面0 1 n xxG 的法矢量满足 n ji ji ij x G x G A 1 0 对任一可逆的坐标变换 存在且 i j n n nii x y yyD xxD yyfx0 1 1 1 将求导式 t l n l li x y y u x u 1 jt l n l lj k t l n kj lkji xx y y u x y x y yy u xx u 2 11 22 代入原方程 得u关于 n yy 1 的方程 n ji jt l n l lj k t l n lk lk ij xx y y u x y x y yy u A 1 2 11 2 Fcu x y y u B n i t l n j l i 11 交换求和次序 简写二次求导以下的项 得 n l l l n lk lk n ji j k i l ijij Fcu y u B yy u x y x y AA 11 2 1 设它的特征曲面为0 1 n yyG 则其法向 n y G y G 1 满足 1 0 1 1 lk n lk n ji j k i l ij y G y G x y x y A 另一方面对原方程的特征曲面经同样变换得特征曲面为 11111nnnn yyGyyfyyfG 从 j k n l hit l n l li x y y G x G x y y G x G 1 1 1 1 代入所满足的方程得 2 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 kl n lk j k i l ij n ji n ji n ji n k j k k n l l l l ij ji ij y G y G x y x y A x y y G x y y G A x G x G A 由 1 2 知 1 GG 即经可逆坐标变换后特征曲面不变 3 证二阶偏微分方程解的m阶弱间断 即直至1 m阶导数为连续 m阶导数间断 也只可能 沿着特征发生 64 证 证 二阶线性偏微分方程m阶弱间断解沿0 1 m xx 发生这个问题与下面的提法相当 如果在0 1 n xx 上给定了函数u及其所有直到1 m阶导数的值 应不相矛盾 能不能利用这 些值以及方程 n i i i n ji ji ij fcu x u b xx u a 11 2 来唯一确定u的m阶偏导数在0 1 m xx 上的数值 易见 如果能够唯一地确定u的m阶导数 之值 则0 1 n xx 就不能为阶弱间断面 现用反正法 设m阶偏导数间断在0 1 n xx 上发生 0 1 n xx 为非特征曲面 即 n ji ji ij xx u a 1 2 引入新变量 n 1 代替 n xx 1 即 nii xx 1 且使 n 而当0 n 时得 1 1 nigx nii 恰为曲面0 的参数表示 这时有 t k n k ki x u x u 1 j l t kl n lk lki kl n k kjji xx u x u xxx u 1 2 1 2 代入原方程得u关于 n 1 的方程 n i i k k n k i n ji j l t kl n lk lk ij fcu x u b xx u a 111 1 2 或 f u xx a n n ji j n i n ji 2 2 1 f u xx a n n ji j n i n ji 2 2 1 其中省略的项仅含有uu 的一阶偏导数 二阶内导数以及u的只含有一次外导数的项 在0 1 n xx 上 因0 n 由假定 n ji j n i n ji xx a 1 0 由此得 n ji j n i n ji n xx af u 1 2 2 在此式两边对 n 求2 m阶导数得 m n mu 其中右边省略号仅含有uu 的直到1 m阶的偏导数 以及u的直到m阶但上导数最多到1 m阶的 偏导数 因此右边的项在0 1 n xx 上为已知 从而由此等式知u的m阶偏导数也唯一确定 与 假定矛盾 即得所证 4 试定义n阶线性偏微分方程的特征方程 特征方向和特征曲面 解 解 k个自变量的n阶线性偏微分方程一般形式为 1 0 1 1 1 1 nll l k l ll k k n xx u A 以上仅写出最高阶偏导数的项 设有空间曲面0 1 n xxG 成为 1 的某个弱间断解的某个间 断面 我们就定义此曲面为 1 的特征曲面 其法线方向为特征方向 该曲面所满足的方程 条件 为特征方程 下面来推导特征曲面0 1 n xxG 满足的条件 与二阶类似 弱间断解与以下问题 65 相当 在0 1 n xxG 上给定u及其1 n阶偏导数的值 能不能利用这些值以及方程 1 来唯 一决定u的n阶偏导数的值 为此引入新变量使 n 1 使 1nk xxG 而当0 k 时 1 1 kigx nii 为曲面0 G的参数式 设此变换为 1 1 kixx nii 则有 i m k m m i x u x u 1 一般地 k k l k klk n k n l k l x n xx u xx u 1 1 1 1 其中省略号中仅含有低于对 k 的 n 阶偏导数的项 代入 1 式得 u 关于 k 的方程 0 1 1 1 1 n n nll l k klk ll u xx A k k k 由此知当在 G0 1 k xx 上 nll k 1 k k l k klk ll xx A 1 1 1 nll l k l ll k k k x G x G A 1 1 1 0 1 时 u 对 的 n 阶外导数唯一确定 因此不可能产生间断 因此弱间断面必须满足 0 1 1 1 1 k k k l nll k l ll x G x G A 此既 G 应满足的条件 满足此条件的曲面 G0 1 k xx 叫做特征曲面 其法线方向叫做 特征方向 记 1 ki x G i i 代入上式 得特征应满足的条件 nll k 1 0 1 1 1 k k l k l ll A 叫做特征方程 3 三类方程的比较三类方程的比较 1 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的诸方法 并指出迭加原理在哪里被用到 解 1 将非齐次方程定解问题化为一个齐次方程定解问题和一个非齐次方程但有零初始条件的 问题 它利用了线性方程可迭加原理 2 齐次化原理 它实质上也利用了线性方程可迭加的原理 3 分离变量法 它很大一部分利用迭加的原理 4 行波法解一维波动方程 5 平均值法三维波动方程柯西问题 6 降维法解二维波动方程柯西问题 7 富里埃变换法 8 格林函数法解拉普拉斯方程的边值问题 2 证明热传导方程 2 2 2 x u a t u 混合问题 0 0 0 xxu tlutu 的解关于自变量 x 0 x0 可进行任意次微分 证 由分离变量法知 这个混合问题的解 为 xdx l n x l c x l n ectxu l n n t l an n 0 1 sin 2 sin 2 当 x 有界可积时 n c有界 此时级数在 0 x l t0 0 t时绝对且一致收敛 要证解关于自变量 x 和 t 可进行任意次微分 只需证明级数在 号下逐项微分任意次 既只需证明 级数在逐项微分任意次后仍是绝对一致收敛既可 设对 t 微分 次 对 x 微分 次 需要证 66 级数 t l an x l n n n ex l n l n l cn c 2 1 2 sin 绝对且一致收敛 当0 0 tt 级数以 1 2 0 2 n t l an e l n l an M 为优级数 用比值法 易 证此优级数收敛 因此原级数绝对收敛且一致收敛 得证 3 举例说明弦振动方程不成立极值原理 解 函数sinatsinxt u x 满足 xauu uu x u a t u t t t nxx sin 0 0 00 0 2 2 2 2 2 它在边界 t 0 x 0 x 上为零 内部不为零 因此与热传导混合问题类似的极值原理不存在 对柯西问题 x tt e t u u x u a t u 00 2 2 2 2 2 0 解为 2 2 1 2 1 atat atx atx x atxatx ee a e ee a de a txu 0 shat a ex 但在边界 t 0 u 为零 因而不成立极值原理 4 若曲线 s 将区域 分成 1 与 2 两部分 函数 u x