高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 独立重复试验与二项分布课件 新人教A版选修23(1).ppt

2 2 3独立重复试验与二项分布 1 掌握独立重复试验的概念及意义 理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式 2 理解n次独立重复试验的模型 并能用于解一些简单的实际问题 3 了解二项分布与超几何分布的关系 1 2 1 独立重复试验一般地 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 知识拓展独立重复试验的特征 1 每次试验的条件都完全相同 有关事件的概率保持不变 2 各次试验的结果互不影响 即各次试验相互独立 3 每次试验只有两个可能的结果 事件发生或者不发生 1 2 做一做1 独立重复试验应满足的条件是 每次试验之间是相互独立的 每次试验只有事件发生与不发生两种结果 每次试验中 事件发生的机会是均等的 每次试验发生的事件是互斥的 a b c d 解析 由独立重复试验的定义知 正确 答案 c 1 2 2 二项分布一般地 在n次独立重复试验中 设事件a发生的次数为x 在每次试验中事件a发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为此时称随机变量x服从二项分布 简记为x b n p 并称p为成功概率 1 2 3 两点分布的试验次数只有一次 试验结果只有两种 事件a发生 x 1 或不发生 x 0 二项分布是指在n次独立重复试验中事件a发生的次数x的分布列 试验次数为n 每次试验的结果也只有两种 事件a发生或不发生 试验结果有n 1种 事件a恰好发生0次 1次 2次 n次 从而二项分布是两点分布的一般形式 两点分布是一种特殊的二项分布 即n 1的二项分布 1 2 答案 c 如何理解二项分布与超几何分布的关系剖析由古典概型得出超几何分布 由独立重复试验得出二项分布 这两个分布的关系是 在产品抽样检验中 如果采用有放回抽样 则次品数服从二项分布 如果采用不放回抽样 则次品数服从超几何分布 在实际工作中 抽样一般都采用不放回方式 因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布 但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值 计算相对复杂 而二项分布的计算可以查专门的数表 所以 当产品总数很大而抽样数不太大时 不放回抽样可以认为是有放回抽样 计算超几何分布可以用计算二项分布来代替 示例1 1 在产品抽样检验中 从含有5件次品的100件产品中 不放回地任取3件 则其中恰好有2件次品的概率为 用式子表示即可 2 在产品抽样检验中 从含有5件次品的100件产品中 有放回地任取3件 则其中恰好有2件次品的概率为 用式子表示即可 示例2 某厂生产的电子元件 其次品率为5 现从一批产品中任意连续地抽取2件 其中次品数 的概率分布列为 请完成此表 解析 由于本题中工厂生产的电子元件数量很大 从中抽取2件时 抽样数不大 则可用二项分布来解 所以 的分布列为答案 0 90250 0950 0025 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 某人射击5次 每次中靶的概率均为0 9 且每次射击是否击中目标相互之间没有影响 求他至少有2次中靶的概率 分析本题考查独立重复试验的概率 解答本题的关键是对 至少有2次中靶 这一事件的理解 它包含2次 3次 4次 5次中靶 且每一类情况之间都是互斥的 而每次射击是否击中目标相互之间没有影响 故可用互斥事件的概率公式和n次独立重复试验的概率公式计算 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0 9 服用这种新药的有甲 乙 丙3位病人 且各人之间互不影响 有下列结论 3位病人都被治愈的概率为0 93 3人中的甲被治愈的概率为0 9 3人中恰好有2人被治愈的概率是2 0 92 0 1 3人中恰好有2人未被治愈的概率是3 0 9 0 12 3人中恰好有2人被治愈 且甲被治愈的概率是0 92 0 1 其中正确结论的序号是 把正确结论的序号都填上 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率 其概率为0 93 故 正确 由独立重复试验中 事件a发生的概率相同 故 正被治愈 可分为甲 乙被治愈 丙未被治愈或甲 丙被治愈 乙未被治愈 其概率为0 9 0 9 0 1 0 9 0 1 0 9 2 0 92 0 1 故 错误 答案 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 在一次数学考试中 第14题和第15题为选做题 规定每位考生必须且只需在其中选做一题 设4名考生选做这两题的可能性均为 1 求其中甲 乙2名考生选做同一道题的概率 2 设这4名考生中选做第15题的考生数为 个 求 的分布列 分析 1 设出事件 利用相互独立事件的概率公式求解 2 按照求分布列的步骤写出分布列即可 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题考查了互斥事件至少有一个发生的概率 相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识 解答此类题目的关键在于分清各知识点的内在区别与联系 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 某公司安装了3台报警器 它们彼此独立工作 且发生险情时每台报警器报警的概率均为0 9 求发生险情时 下列事件的概率 1 3台都未报警 2 恰有1台报警 3 恰有2台报警 4 3台都报警 5 至少有2台报警 6 至少有1台报警 分析本题考查独立重复试验的概率 在发生险情时 我们将每台报警器是否报警看成做了1次试验 那么一共做了3次试验 并且它们彼此是独立的 在每次试验中 如果把 报警 看做成功 未报警 看做失败 那么每次试验成功的概率都是0 9 如果令x为在发生险情时3台报警器中报警的台数 那么x b 3 0 9 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 某学生在上学路上要经过4个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是2min 1 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 2 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 分析 1 第三个路口首次遇到红灯 表示前2个路口是绿灯 第三个路口是红灯 2 中事件指这名学生在上学路上最多遇到2个红灯 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在解含有相互独立事件的概率题时 首先要把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和 其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积 这两个步骤做好了 问题的思路就清晰了 接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了 如果某些相互独立事件符合独立重复试验模型 就可将这部分用独立重复试验的概率计算公式解答 这就是解决含有相互独立事件的概率题的基本思路 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 对对立事件理解不当致错 例4 9粒种子分种在3个花盆内 每个花盆放3粒 每粒种子发芽的概率为0 5 若一个花盆内至少有1粒种子发芽 则这个花盆不需要补种 若一个花盆内的种子都没发芽 则这个花盆需要补种