论高等数学中的反例.doc

论高等数学中的反例摘要 高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，而重视和恰当的使用反例可以有效的帮助学生学习高等数学。因此，本文主要对高等数学中的反例进行了一定程度的探究，论述了反例的来源和构造，围绕高等数学中一些典型的反例进行分析，详细说明了反例在高等数学学习中的重要作用及应用，为学生学习高等数学提供了一种辅助方法。关键词 高等数学，数学研究，反例.Abstract The higher maths is an important curriculum of training studentsabstract including capability、logic ideation capability、operation capability and space fancy capability ,moreover it is attaching important to and using contrary cases that can effectively help students study higher mathematics.Hence ,This paper holds an exploration on opposite case by focusing on the functions and application of constructing contrary cases in higher maths studying. it is claimed that constructing contrary cases is an effective aid to higher mathematics studying.KeyWords higher mathematics, mathematics research, contrary cases0 前言“以例外证明规律”，这是一句人所共知的格言。通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题。否定这类命题最常用、而且最好的方法就是举出一个和它不一致的对象，这种对象通常称之为反例。数学中的反例通常是指符合某个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子，也即指出某命题不成立的例子。在数学的发展史中，反例和证明有着同等重要的地位。一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。最简单而最优秀的反例莫过于欧拉发表的世界上最短的一篇数学论文：它推翻了独步数坛百余年的费马猜想：“n为非负整数时，一切形如 的数是素数。”而我们知道，高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，也是学生进入大学后第一门重要的基础课，在大学学习中占有及其重要的地位。但是由于其内容的高度抽象与概括性，严密的逻辑性，独特的“公式语言”，简练的表达方式，高等数学常常成为大学生入学学习的第一个难关。如何帮助学生度过这一难关，学好高等数学？首要问题是帮助，促使学生掌握好基本概念和基本性质。解决这一问题的有效方式之一，是重视和恰当的使用反例。因此，在高等数学的学习中，反例有着极为重要的意义，举反例的方法在大学数学学习中应经常为同学们所用，它会使同学们对概念、定理、公式的理解更全面、透彻，它在发现和认识数学真理，强化数学基础的理解和掌握，以及培养学生的思维能力和创造能力等方面的意义和作用是不可低估的。1 本论 下面就从反例的来源与构造，反例在高等数学学习中的作用两个方面进行分析。11反例的来源与构造对于数学学科，证明一个猜想是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个猜想是假的，只须找到猜想命题的反例。在数学学习中，出现了这样一种现象，教师为了说明一个命题为假命题，举出一个反例，说明反例虽然满足命题的条件，却无命题的结论，但反例怎样得到呢？教师很少分析甚至不做分析。学生感到老师确实高明，从肚子里能掏出一个一个非常具有说服力的反例，就象舞台上的魔术师，能从帽子里掏出一个又一个白鸽，虽然非常精彩，却是观众学不会的。与获得证明的方法一样，反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动，其方法包括：观察与实验、归纳、分析与综合、概括与抽象等，反例决不能凭空得到。1.1.1从定义入手获得反例 概念是数学学科的细胞，是反映事物本质的思维形式。在逻辑学中，定义是明确概念内涵的逻辑方法。在数学问题中，若首先给出一个概念的定义，然后判断一个猜想是否正确，则反例的获得常常需要从定义入手。例1 2002年上海市高考（理工农医）数学试卷第22题第（2）小题规定，其中是正整数，且，这是组合数的一种推广。组合数的性质：的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，说明理由。本题生动的给出了的发生式定义，问题清楚的提出能否作出满足题意的推广。猜想推广命题为，按照的定义，观察、分析推广命题的形式知，是正整数，但是正整数，一定是正整数吗？显然不能。这样我们将陌生的问题转化熟悉的以后，反例就容易获得了。事实上，反例有无数个。如：无意义；或无意义，所以性质：不能作满足条件的推广。上述反例是从定义出发获得。1.1.2运用特殊化、运动变化的思想获得反例 特殊化一般是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一上较小的集合或仅仅一个对象，特殊化在求解问题时常常用到。例2在一张对称的桌面上，两人玩放围棋子的游戏，直到桌面上无法放棋子为止，棋子放得多的一方为胜者。问：该游戏规则对先放棋子者是否有利？图一 放棋演示设想：见图一，如果将桌面特殊化成一张充分小的桌面，仅能放下一颗棋子，显然，先放者必胜。如果再让桌面具有对称性地向外延拓，那么后放棋子的选手将棋子无论放在桌面上的哪个位置，先放者总可在桌面上找到相应的对称位置放棋子。因此，最终在桌面上无法放下一颗棋子的是后放者。规则对先放者有利。特殊化的方法在数学的许多猜想的证明与推导过程中经常用到。往往是先解决特殊化后的问题，再把一般问题转化到特殊化问题上来。当一个猜想给出后，我们可以根据猜想命题的题型特点，运用运动变化的观点考虑变化中的特殊情况获得反例。例3 下面有两个猜想：猜想1 已知，证明或否定（1）；（2）；（3）；（4）；猜想2 已知，证明或否定（5）；（6）；观察式（1）左侧的结构，运用运动变化的观点，让，则（1）式左侧2，所以（1）式不可能成立，取代入（1）式左侧，得等号成立，再取试验，有 ，于是我们获得了（1）式不成立的反例；用同样的方法，可以得到（4）式不成立的反例，取，有 即猜想1中式（4）不成立；再观察（2）的左侧，让 则（2）式的左侧，所以（2）式不可能成立，取，有 即猜想1中式（2）不成立；用同样的方法可以得到（3）式不成立的反例，取，有即猜想1中不等式（3）不成立；观察（5）式的结构，当时，（5）式的左侧，所以（5）式不可能成立，取，于是，但 ，即猜想2中不等式（5）不成立；同样的方法分析可得，取，于是，但，于是我们获得了猜想2中（6）式不成立的反例。12反例在高等数学中的作用1.2.1反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。1.2.2利用反例，有助于学生全面正确的理解、掌握高等数学的基本知识1.2.2.1概念教学中利用反例可帮助学生深入对概念的理解数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过列举或构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，让学生严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。例1 在学习数列极限的-N定义之后，我们可以提出这样的问题：若0，N0，当nN 时，中有无穷多项满足，是否？答案是否定的。我们可设=1+(-1)n-1，对0，有| -0|=0,但因为,该数列显然无极限。用这个小小的反例就可以简洁的驳斥这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足，但也有无穷多项不满足N时，所有的Xn都满足，即不满足的项至多有X1，X2，XN有限项。经过这一反例的判断和分析，学生自然对-N定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解。例2 对于导数定义的理解，有些同学仅停留在形式的背诵上，而没有领会其精神实质。为此，我们可以提出这样的问题：若已知极限存在，其中n为自然数，问 是否可导？我们知道对于定义中的，是要求自变量X的增量的过程是以任意方式进行的。初学者往往容易对这一点理解不清或容易忽视，从而错误的认为：令，则有 =（既导数定义），因此可导。我们可先举一个反例帮助同学们分析，如：设，则同为有理数或无理数，故恒有 =0，但是显然在内处处间断，因而在任何一点都不可导。然后在此基础上再和学生分析导致错误的原因，并进一步强调：在求函数一点处的导数时，自变量X的增量的过程必须以任意方式进行，而不能只按照某种特定的方式（如此处逐点跳跃式）趋于0。这样处理，学生更易接受，并对定义要求有更深刻的理解。例3 学习完无穷小量的概念之后，可列举出两个问题让学生判断正误：无穷小量是越来越小的变量；无穷小量是绝对值越来越小的变量。通过列举数列说明这两个命题都是错误的，从而使学生对无穷小量概念中的“无限趋于0”的实质有了准确的理解。1.2.2.2命题学习中利用反例可帮助学生正确掌握基本定理和命题1.2.2.2.1反例可以帮助学生明确定理的正确使用范围。在命题学习中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效的。更重要的是，反例可用来说明正确命题的使用范围。这对我们初学者非常有益，不仅能澄清一些错误的认识，对基本定理和基本性质作出正确的理解，也能促使学生形成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“失之毫厘，谬之千里”的错误。例4 由导数的定义我们知道，“可导函数必连续”，那么“连续函数必定是可导函数吗”？我们只须一个简单的例子就可以说明连续函数不一定可导。我们还可以举出一个在无穷多个点上没有导数的连续函数的例子：，说明：。函数论中由维尔斯特拉斯构造的一个处处不可微的连续函数，（为奇整数）结束了连续与可微的纷争。正是这“严密的证明”和“巧妙的反例”推动了整个数学向前发展。例5 学习微分中值定理时，我们可以提出这样的命题让学生判断正误：若在内可导，则在内必定存在，使得。通过构造反例，如：，易知该命题不成立。因为虽然在内可导，但在上不连续。但由于，而在内，所以在内不存在，使得。这表明拉格朗日中值定理中，在上上连续的条件不能少。类似，可通过反例说明该定理中在内的条件不可缺少。通过这种方式，强调该定理中的两个条件缺一不可，相信会给同学们留下非常深刻的印象。反例：函数 ，它在内可导，并存在使得，但显然在上不连续。这说明连续是定理的非必要条件。事实上对中值定理的条件稍加改变之后可以引出许多反例。这些反例能有效的帮助同学们掌握定理的条件，结论及相互间的关系。1.2.2.2.2反例可以加强定理运用时对条件的正确理解和掌握例6 我们知道夹逼定理的内容是：若满足对任意的，总有，则有。有些学生想当然的将条件换成。我们只须令，则有，且，但是，即不存在，由此我们用严密的逻辑推理推翻了这种想当然，说明条件2不能改换，运用定理应重视条件的掌握。1.2.3利用反例纠正错误，发现问题反例在辨析命题真伪是，具有直观、明显、说服力强等突出的特点，所以利用反例在揭示命题错误时具有特殊的威力。1644年，法国修道士马林莫森宣布型的数，当时都是素数（称为“莫森素数”），其实他只演算了前面7个。1903年美国数学家科尔坐了一次无声的学术报告，他在黑板上先算出接着又把用竖式算了一遍，两个结果完全相同，他没有说一句话，就回到自己的座位上，会场上响起了雷雨般的掌声，就因为这个反例纠正了人们200多年的错误。例7 学习多元函数微分学时，有些同学因为一元函数有“可导必连续”的性质，常有错误的知识迁移，认为“多元函数若偏导数存在则必连续”。我们也可以通过举反例及时有效的纠正这类认识上的偏差。如：设 ，利用定义易知偏导数存在，但是，但是随着的值的不同而改变，所以当时的极限不存在，所以函数在点不连续。所以正如数学家维奥拉所说：反例“可以检验你是否已经正确而深入的了解了数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格的约束在一种秩序之中”。例8 “如果二元函数在有界闭域D内有唯一的极小值点，那么该函数是否必在处取得最小值。答案是不一定。反例：令=0解得y=0.故得俩驻点：，.另外 ，容易判定是唯一的极小值点，而不是极小值点。但在D上，的最值均在边界上取得，最大值为故不是在D上的最小值。 由此我们注意到，解多元函数极值的应用题时，常可以看到如下说法：“根据问题的实际意义，存在最小值，是唯一的极小值点。由这个例子，在多元函数这一说法并不正确，而应该着重说明“在D内存在最大（小）值，而且在D内只有唯一的极值点”，这样才能判定极大（小）值点就是最大（小）值点。由反例我们可以从错误中发现问题。1.2.4 反例有助于激发学生的求知欲有些问题稍作变化，再交给学生，在新旧的比较和思索中，往往能引起学生的兴趣。而通过教师有效的引导和学生积极的讨论，许多反例将被指出。例9 对于绝对值函数，我们可以提出下面一系列命题让学生判断：（1） 若在连续，则在点连续。 （是）（2） 若在点连续，则在连续。 （非）（3） 若在可导，则在点可导。 （非）（4） 若在点可导，则在可导。 （非）（5） 若在可积，则在可积。 （是）（6） 若在可积，则在可积。 （非）例10 学习洛比达法则时，我们可以提出这样的问题：若符合洛比达法则的条件，则通过该法则是否就一定能求得极限呢？只须举出一个反例即可：，在连接使用该法则的过程中总是出现不定式且发生循环的现象。学生一旦发现这一反例中的恶性循环，便感到惊奇，引起解题的兴趣。前面所提的无穷小量的第二个错误说法，相当多的同学会认为是正确的。象这样易犯而又意识不到的错误，一经提出，就会激发学生强烈的了解“为什么”的愿望，激发他们的求知欲。1.2.5 通过反例，诱发学生的创造力，提高学生的思维能力。如前面所分析，反例的寻找与构造过程是一项积极的、创造性的思维活动，是一个探索发现的过程。在高等数学的教学中，恰当开发和利用反例，将能有效的提高学习质量。 1.2.5.1 通过解题寻找反例来提升解题能力，培养学生思维的严密性。例11 设在上有定义，是连续函数，且，有间断点，下列各函数是否必有间断点，为什么？ 不一定。设，显然是的间断点。又设在上连续，而=1，所以在上连续。 不一定。设，显然是间断点。而 =1，故在上连续。 不一定。设，且在上连续。而 =2故 在上连续。 一定有间断点。用反证法即可。通过设置上述例题，引导学生构造反例，对激发大学生学习数学的兴趣是大有裨益的。1.2.5.2 反例有助于提高学生的数学思维能力，增强数学素养数学由证明和反驳两大类组成，数学的发展也是朝着提出证明和构造反例这两个主要目标前进的。构造反例具有一定的技巧性，有时也是费力的。它不仅与基础知识的掌握程度有关，还涉及知识面的宽窄等。所以在学习中在适当的时候让学生自己构造反例，这是一种很好的锻炼。重视和体验这样的过程，不仅能增强知识，拓宽思路，活跃思维，提高自学能力，也能提高分析问题、解决问题的能力，增强数学素养。1.2.6 反例是进一步提出问题的动力之源例12 当动点沿着任意直线无限趋近于（0，0）时，函数的极限存在且都等于A，能否说函数当动点 时二重极限也等于A？我们易知道答案是不能。例如： ，当动点沿着Y轴无限趋于（0，0）时，都有但是当动点沿着抛物线无限趋于（0，0）时有所以函数当 时极限不存在。由此我们提出：判定二重极限不存在有哪些常用方法呢？按照二重极限的定义，存在，要求以任何方式无限趋于时，有相同的极限，因此判定二重极限不存在，常有如下2种方法：1 一种的方式，记为