第五章 群与环.doc

第五章 群与环1. 计算轮换的乘积 （1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 3）解 设1 =（1 2 3），2=（2 3 4），3=（1 4），4=（2 3），则我们要计算置换的乘积=1234 我们先计算（1），因为4=（2 3）不含1，所以4不变1，即4 （1）=1，34 （1）=3（4（1） ）=3（1）=4.234 （1）=2 （34（1） ）=2（4）=2.1234（1）=1 （234（1） ）=1 （2）=3.即（1）=3.接下去我们计算（3）.有4 （3）=2，34（3）=2，234（3）=3，1234（3）=1.即（3）=1依照上面过程，可计算出（2）=4，（4）=2.于是=（1 3）（2 4）.写成置换的形式是2. 计算置换的幂6解 设=.先把写成轮换的乘积 =（1 3 5）（2 4）.因为不相杂轮换的乘法满足交换律，所以有6=（1 3 5）（2 4）6 =（1 3 5）6（2 4）6 =（1 3 5）32（2 4）23 =I*I =I.3. 设=（1 3 2），=（1 3）（2 4），计算-1解 -1=（2 3 1）设置换=-1.我们先计算（1）.因为-1 （1）=2，-1（1）=（2）=4，-1（1）=（4）=4，所以（1）=4. 同理可计算出（2）=3，（3）=2.所以=（1 4）（3 2）.写成置换的形式是4. 判断下列置换的奇偶性并写成对换的乘积.解 设前一置换为，后一置换为，先把和写成轮换乘积（乘积中应包括长度为1的轮换） =（1 4 5）（2 3 7）（6） =（1 5 6 2）（3 8）（4 7）对于来说，因为7-3是偶数，所以是偶置换；对于来说，因为8-3是奇数，所以是奇置换。把和写成对换乘积的形式的写法不是唯一的。其中一种写法是=（1 5）（1 4）（2 7）（2 3） =（1 2）（1 6）（1 5）（3 8）（4 7）5. 把置换写成不相杂轮换的乘积 =12k证明 n=1n2n kn,其中n是自然数.证 对k使用数学归纳法. 当k=1时，是一轮换，命题显然成立。 假设当命题k时成立。则当写成k个轮换，即=12k时 n=（12k ）n=（ （ 1k-1） k）n因为1 ，2 ，k 是不相杂轮换，所以1 ，2 ，k-1的乘积（12k-1）与k也不相杂。仿照定理1的证明，容易证出如果置换（12k-1）与轮换k 不相杂，也适合交换律。因此有 （12k-1）k n=（ 1k-1）n kn. 根据归纳假设 n=（12k ）n = （ （ 1k-1） k）n=（ 1k-1）n kn=1n2n kn. 证毕.6. 设，是两个置换，把表为不相杂的轮换的乘积，求证，计算-1只要用变换中的文字.证 设表成不相杂轮换乘积为 =a1 a 2r )又设（ai）=x, 则-1(x)= （ai）.因此 -1(x)= （-1(x) ）=（ai）=ai+1，-1(x)= （-1（ai） ）=（ ai+1） （当I=r时，（ ai+1）为（ a1） 设用变换中的文字所得置换为1，则 1=（a1）（a2） ar）1(x)= 1（ ai）=（ ai+1） （当I=r时，（ ai+1）为（ a1）所以 -1(x)= 1(x) 设，是集合M上的置换，因为对M 中的任意x都有上述证明过程，所以-1= 1。 证毕.7. 设M=1，2，证明M的所有偶置换在置换的乘法下做成一个群.证 设M的所有偶置换做成的集合为S，因为偶置换的乘积仍是偶置换，所以S在置换的乘法下封闭，即置换的乘法构成S中的运算.因为置换的乘法满足结合律，所以S中的置换运算满足结合律.因为单位置换I是偶置换，所以I在S中，由单位置换的性质知I是S中的单位元素.设是S中的一个偶置换，则有置换-1，使-1 =-1 =I.因只有偶置换的乘积才是偶置换，所以-1 是偶置换，即S中有-1满足-1 =-1 =I.综上所述，可知S是群.8. 设S 为非负整数做成的集合，在S中定义运算“*”如下：对任意a,bS,a*b=max(a,b) 判断（S，*）是否是群. 解 不是，因为不是对任意元素都有逆元素.9. 设R是实数集合，S=（a, b）a0,a,b R,利用通常的加法和乘法在S定义“*”如下：对S中的任意元素(a, b)，(c, d)(a, b)* (c, d)=(ac, ad+b) 证明S对“*”运算做成群.证 因为对S中任意(a, b)，(c, d)，ac 和 ad+b都是实数，所以 (a, b)* (c, d) S，即S对*运算封闭.设(a, b)，(c, d)，(e, f)是S中任意3个元素，则（a,b）* (c,d)）*(e,f)= (ac, ad+b)*(e, f)=（ace, acf+ad+b）(a, b)*( (c, d)* (e, f)= (a, b)*(ce, cf+d)=(ace, a(cf+d)+b)= （ace, acf+ad+b）因此（a, b）* (c, d)）*(e, f)= (a, b)*( (c, d)* (e, f) “*”运算在S中满足结合律. 因为（1，0）S，对S中任意元素(a, b)(1,0) *(a, b)= (a, b)* （1，0）=(a, b) 所以(1,0)是S在“*”运算之下的单位元素.对S中的任意元素(a, b)，有（S,使得(a, b)(= (a, b)=(1,0)所以(是(a, b)的逆元素.综上所述，S对于“*”运算做成群. 证毕.10. 举例说明不要求可除条件而要求消去条件，即要求由ax=ay,可推出x=y,由 xa=ya 可推出x=y,则G不一定是个群.若G有限则结果怎样？ 解 举例,全体自然数在 乘法下适合消去律但不成群.若G有限,则消去条件保证G是一个群.设G=a1 , a2 , an,a是G中任一元素.用a右乘G中各元素得到a1a, a2a, ana 这些元素必然互不相同.因若不然,由aia= aja和消去律知 ai = aj ,当 ij 时导致矛盾.因此对任意bG,必有ai 满足aia=b,因之方程xa=b 有解,同理可知 ay=b有解.即可除条件成立.由5.3节定理3可知G是群.11. 如果对群G中任意两个元素a, b都有(ab)2 =a 2b2 ,试证G是交换群.证 由(ab)2 =a 2b2知(ab)(ab)=(aa)(bb) 因为G是群,所以任意元素a, b有逆.在等式(ab)(ab)=(aa)(bb)的两端左乘a-1 ,右乘 b-1,再利用群中乘法运算的结合律及单位元的性质知ba=ab,所以G是交换群.12. 设G是由3个元素构成的群,证明G是交换群. 证 设a, b是G中任意两个元素,若a, b中有一个是单位元素,比方说是a,则ab=b,ba=b,因此ab= ba.若a, b都不是单位元素,由ab不可能是a(否则会得出b是单位元素), ab不可能是b(否则会得出a是单位元素),因此ab必是单位元素,同理ba也必是单位元素.因此ab= ba,G是交换群.13. 设(G,*)是一个群.(H1,*)和(H2,*)是(G,*)的两个子群,证明(H1H2,*)也是(G,*)的子群.证 因为H1 和 H2是G的两个子群,所以它们都包含G的单位元素e,因此eH1H2,所以H1H2非空.设aH1H2 , bH1H2 ,因为aH1 , bH1,又H1是子群,对乘法运算封闭,所以abH1.同时abH2,所以abH1H2 .因为aH1 , H1是子群,所以a-1H1;同样地,因为aH2, H2是子群,所以a-1H2,因此a-1H1H2.根据5.4节定理2, H1H2是子群.14. 讨论下面的问题, (H1,*)和(H2,*)是(G,*)的两个子群,问H1H2是否是(G,*)的子群. 解 不一定 例如,设集合M=1,2,3.G是M上的所有置换做成的群.则H1=I,(1 2), H2=I,(1 3)是G的两个子群.但H1H2=I,(1 2), (1 3)不是G的子群.其原因是乘法运算在H1H2 中并不封闭,例如(1 2) (1 3)=(1 3 2)不在H1H2中.15. 设(G,*)是一个群.C=aaG,对任意的xG有ax=xa,证明(C,*)是 (G,*)的一个子群. 证 因为群中单位元素e满足ex=xe=x所以eC,C非空.设aC, bC,则对任意 xG有ax=xa,bx=xb.于是,根据乘法结合律(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab)所以abC.设aC,则对任意xG,有ax=xa在上式两端左乘a-1,右乘a-1得a-1 (ax) a-1= a-1(xa) a-1根据乘法结合律,群中逆元素与单位元素性质x a-1= a-1x所以a-1C.根据5.4节定理2,C是子群.16. 设M=1,2,3,4,5,为M的一个置换 =写出的循环群.解 先把写成不相杂轮换的乘积 =(1 2 3)(4 5)由此可计算出 2=(1 3 2), 3=(4 5), 4=(1 2 3), 5=(1 3 2)(4 5), 6=I.所以由生成的循环群()=I, ,2 , 3 , 4, 5 .()的所有子群是H1=I,(1 2 3),(1 3 2)H2=I,(4 5)(1 2 3)和(1 3 2)是H1 的生成元素.(4 5)是H2 的生成元素.17. 设(G,*)=(a)是n元循环群,b=ak,证明(1) 元素b是群G的生成元素,当且仅当n和k互质;(2) 元素b的周期为n/d,其中d是n和k的最高公因. 证 (1)若b=ak 是群G的生成元素,则a必可用ak的幂的形式表出,即a=(ak)q , 根据5.4节定理5知n|(1-kq),设pn=1-kq于是有pn+kq=1.若n与k不互质，则设n与k的最大公约数为r1,由pn+kq=1推出r整除1,矛盾.反之，若n与k互质，知有整数p与q，使得pn+qk=1,于是 a=a(pn+qk)= apn aqk=(ak)q由此可知ak为生成元素.（2）若b是群G的生成元素，由（1），命题（2）显然成立.以下设b不是群G的生成元素.因为 b(n/d) =(ak) ()=a(k/d)n=(an)(k/d)=e所以b的（n/d）次幂是e. 若有m(n/d),使a m=e,则akm=e因此n整除km,设qn=km,于是q()=m().因为与互质，所以（）整除m，矛盾. 证毕.18. 设M=1，2，3，写出M的置换群的所有子群.解 M的置换群有6个元素，它们是I，（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）.M的置换群的所有子群是I，I，（1 2），I，（1 3），I，（2 3），I，（1 2 3），（1 3 2），置换群本身.19. 求证若群（G，*）的元数是一个质数，则（G，*）必是循环群.证 设（G，*）的元数是一个质数p，因p是质数，所以G中至少有两个元素，设a是G中的一个非单位元的元素，其周期是n1. a ,a2,n-1,an=e (1)显然，序列（1）中的元素是彼此不等的.如果G中的元素全在序列（1）中，则G显然是循环群.以下我们证明若G有元素b不在（1）中，则会导致矛盾.此时考虑序列 ba, ba2, n-1, ban (2)容易说明序列（1），（2）中的元素彼此不同，若G中的元素全在（1），（2）中，则2n=p,n整除p,与p是质数矛盾.若G中元素不全在（1），（2）中，则仿上考虑序列（3）：ca,ca2,n-1,can (3)其中c是G是元素，既不在序列（1）中，又不在序列（2）中.然后由3n=p推出矛盾.仿照上述过程，因G有限，必有q使qn=p从而q整除p,推出矛盾. 证毕.20. 设A=1，2，3，4，是A的一个置换 =求由生成的循环群（），写出（）的所有右陪集，判断（）是否为正规子群.解 先把写成轮换的乘积 =（1 4 2 3）然后计算的各次幂 2=（1 2）（3 4） 3（1 3 2 4） 2=I所以由生成的循环群是（）=（1 4 2 3），（1 2）（3 4），（1 3 2 4），I（）本身是（）的一个右陪集，（）的其余的右陪集是：（1 2）（）=（1 4）（2 3），（3 4），（1 3）（2 4），（1 2）（1 3）（）=（1 4 2），（1 2 3 4），（2 4 3），（1 3）（1 4）（）=（2 3 4），（1 2 4 3），（1 3 2），（1 4）（2 3）（）=（1 4 3），（1 3 4 2），（1 2 4），（2 3）（2 4）（）=（1 2 3），（1 4 3 2），（1 3 4），（2 4）因为（）关于（13）的左陪集是：（）（13）=（2 3 4），（1 4 3 2），（1 2 4），（13）因为（）（13）不等于它的右陪集，所以（）不是正规子群.21. 设(H,*)是(G,*)的子群,若(H,*)在(G,*)中的右陪集的个数有限,求证左陪集的个数也有限而且和右陪集的个数相等.证 设H在G中的所有右陪集是 g1 H,g2 H,nH (1)我们考虑下面这些陪集Hg1-1，H g2-1 ，gn-1 (2)首先，我们说明这些陪集并在一起刚好等于G.对于任意gG,g-1G,因为序列（1）是H在G中的所有右陪集，所以g-1 必在某一陪集中，设g-1giH，于是有hH,使得g-1= giH从而g=h-1 gi-1,因此gHgi-1.其次，我们说明序列（2）重点所有陪集是彼此不等的.如果有ij,但Hgi-1= Hgj-1,则有h1, h2 ,使得h1 gi-1 = h2 gj-1，从而h2-1 h1= gj-1gi，gi= gj（h2-1 h1），因此gigjH,此与gi与gj在不同的陪集矛盾. 证毕.22. 设(G,*)是一个群.C= aaG,对任意的xG有ax=xa,证明（C，*）是（G，*）的一个正规子群. 证 根据例5.15知C是G的子群.因为C中的元素与G中的任意元素相乘都是可交换的，所以对G中任意元素a,都有aC=Ca.所以C是G的正规子群. 证毕.23. 求证(G,*)的任意多个子群的交集仍是(G,*)的子群. (G,*)的任意多个正规子群的交集也是(G,*)的正规子群.证 设H1,H2,n是(G,*)的子群.因为这些子群都有单位元素e，所以eH1 H2 n ，因此H1 H2 n非空.设aH1 H2 n ，bH1 H2 n ，则aHi,bHi (i=1,2,因为Hi 是子群，所以a b-1Hi，所以a b-1H1 H2 n .根据5.4节定理3. H1 H2 n 是子群.设H1,H2,n是(G,*)的正规子群，则由上面的证明首先知道H1 H2 n 是子群.任取hH1 H2 n ，则hHi(i=1,2,因为Hi 是正规子群，所以g Hi g-1 I,于是ghg-1Hi(i=1,2, ghg-1H1 H2 n.由h的任意性知，g（ H1 H2 n ）g-1 1H2 n . 根据5.4节定理2知H1 H2 n 是正规子群. 证毕.24. 设(G,*)事实群，（H，*）是(G,*)的子群，证明若（H，*）在(G,*)中的右陪集只有两个，则（H，*）是正规子群.证 设a是群G中的任意元素，我们证明aH=Ha.若a是H中元素，则显然aH=Ha=H.若a不是H中元素，则因为a的右陪集只有两个.aH必是另外一个右陪集.对任意hH,ha必然不在H中，因假如设ha在H中，比方说ha=h1, h1H,则a=h-1h1H,矛盾.既然ha不在H中，ha必在另一个右陪集 aH中，所以Ha aH.因为a是aH中任意元素，所以把上式中的a换成a-1仍会有同样的结果，即H a-1 a-1 H，即aH Ha.所以有aH=Ha. 证毕.25. 设（H，*）是(G,*)的子群，（N，*）是(G,*)的正规子群.令HN=hn|hH,nN,即HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，求证HN是G的子群.证 因为H和G都是子群，都包含元素e，所以eHN,因为HN非空.任取a=h1n1HN,b= h2 n2HN,则ab-1 =( h1n1)( h2 n2)-1= h1n1 n2-1 h2-1= h1(n1 n2-1) h2-1 .因为N是子群，所以n1 n2-1N，设n1 n2-1=n,则h1 nh1 N.因为N是正规子群，所以h1 N= N h1 因此h1 n N h1.于是知道有n3 ，使h1 n= n3 h1 ，从而ab-1 = h1(n1 n2-1) h2-1= h1n h2-1=(h1n) h2-1=（n3 h1）h2-1= n3（h1 h2-1）.因为H是群，h1H，h2H，所以h1 h2-1H.设h1 h2-1 = h3 ，则ab-1 = n3 h3NH，根据5.4节定理3，NH是子群. 证毕.26. 设（H，*）是群(G,*)的子群.证明（H，*）是(G,*)的正规子群的充要条件是H的任意两个左陪集的乘积还是H的一个左陪集.证 设H是正规子群.Ha,Hb是H的任意两个左陪集.任取hi aHa,h 2 bHb,则（hi a）（h 2 b）= hi （ah 2 ）b因为H是正规子群，aH=Ha,所以 ah 2 aH, ah 2 Ha,因此有h3H，使ah 2 = h3a，于是 （hi a）（h 2 b）= hi （ah 2 ）b= hi h3 （a b）H（ a b）因此（H a）（H b ）H（ a b） 任取hab Ha b,则因hab =（ha）b，haHa,b=ebHb,所以hab （Ha）（Hb）,即H（ a b）（Ha）（Hb）所以（Ha）（Hb）= H（ a b）. 设H的任意两个左陪集的乘积还是H的一个左陪集.则设Ha，Hb是两个左陪集，则（Ha）（Hb）还是一个左陪集.因为eaHa ,ebHb,所以（ea）（eb）（Ha）（Hb）.因为（ea）（eb）= a bH（ a b），所以（Ha）（Hb）= H（ a b）.因为上式对任意的a,b都成立，故可取b=a-1,从而得到（H