高中数学 第三章 变化率与导数章末复习课课件 北师大版选修11.ppt

章末复习课 第三章变化率与导数 学习目标1 会求函数在某点处的导数 2 理解导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 3 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一函数y f x 在x x0处的导数 1 函数y f x 在x x0处的称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 2 函数y f x 在点x0处的导数f x0 是曲线y f x 在点p x0 f x0 处 在点p处的切线方程为 瞬时变化率 f x0 切线 的斜率 y f x0 f x0 x x0 知识点二导函数 如果一个函数f x 在区间 a b 上的每一点x处都有导数 导数值记为 f x 则f x 是关于x的函数 称f x 为f x 的导函数 通常也简称为 f x 导数 知识点三基本初等函数的导数公式 x 1 cosx sinx axlna ex 知识点四导数的运算法则 设两个函数f x g x 可导 则 f x g x f x g x f x g x f x g x 题型探究 类型一利用导数的定义解题 例1利用导数的定义求函数y 的导数 解答 1 对于导数的定义 必须明白定义中包含的基本内容和 x趋于0的方式 函数的改变量 y与自变量的改变量 x的比趋于一个固定的值 反思与感悟 2 在用定义求导数时 必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形 解答 类型二导数的几何意义 例2函数y f x 的图像如图 下列数值的排序正确的是a 0 f 2 f 3 f 3 f 2 b 0 f 3 f 3 f 2 f 2 c 0 f 3 f 2 f 3 f 2 d 0 f 3 f 2 f 2 f 3 答案 解析 过点 2 f 2 和点 3 f 3 的割线的斜率又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0 f 3 f 3 f 2 f 2 故选b 导数的几何意义主要应用于切线问题 解决此类问题的关键点是找 切点 应注意 1 在表示切线斜率 切线方程时均需用切点坐标 2 切点既在曲线上又在切线上 因此可用切线方程求切点坐标 3 若已知点不在曲线上 则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值 这也是求切点坐标的主要方法 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 则a的值是 f 0 a y f x 在点 0 2 处的切线方程为y 2 ax 由题意知x 2时 y 0 可得a 1 答案 解析 1 类型三导数的计算 例3求下列函数的导数 1 y x2 lnx ax 解答 y x2 lnx ax x2 lnx ax 解答 3 y x 1 x 2 x 3 解答 因为y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 所以y 3x2 12x 11 解答 有关导数的计算应注意以下两点 1 熟练掌握公式 熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和 差 积 商的导数运算法则 2 注意灵活化简 当函数式比较复杂时 要将函数形式进行化简 化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式 由于在导数的四则运算公式中 和与差的求导法则较为简洁 因此化简时尽可能转化为和 差的形式 尽量少用积 商求导 反思与感悟 跟踪训练3求下列函数的导数 解答 解答 y cosx sinx cosx sinx sinx cosx 类型四导数的综合应用 例4设函数f x a2x2 a 0 若函数y f x 图像上的点到直线x y 3 0距离的最小值为 求a的值 解答 因为f x a2x2 所以f x 2a2x 令f x 2a2x 1 利用基本初等函数的求导公式 结合导数的几何意义可以解决一些与距离 面积相关的几何的最值问题 解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况 再利用导数的几何意义准确计算 反思与感悟 跟踪训练4已知直线x 2y 4 0与抛物线y2 x相交于a b两点 o是坐标原点 试在抛物线的弧上求一点p 使 abp的面积最大 解答 设p x0 y0 过点p与ab平行的直线为l 如图 由于直线x 2y 4 0与抛物线y2 x相交于a b两点 所以 ab 为定值 要使 abp的面积最大 只要p到ab的距离最大 而p点是抛物线的弧上的一点 因此点p是抛物线上平行于直线ab的切线的切点 由图知点p在x轴上方 y0 1 p 1 1 当堂训练 2 3 4 5 1 1 自由落体的物体在t 4s时的瞬时速度是指a 在第4秒末的速度b 在第4秒始的速度c 在第3秒至第4秒的平均速度d 在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度 物体在某一时刻的瞬时速度是指这一时刻末的速度 答案 解析 2 已知函数f x x22x 则f 2 等于a 16 ln2b 16 8ln2c 8 16ln2d 16 16ln2 f x 2x 2x x2 2xln2 f 2 16 16ln2 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 若函数y f x x3 且f a 3 则a等于a 1b 1c 1d 不存在 f x 3x2 又f a 3 所以3a2 3 所以a 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 若直线y x b是曲线y lnx x 0 的一条切线 则实数b 设切点为 x0 y0 答案 解析 ln2 1 2 3 4 5 1 5 已知p q为抛物线x2 2y上两点 点p q的横坐标分别为4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于点a 则点a的纵坐标为 由于p q为抛物线x2 2y 即y f x 上的点 且横坐标分别为4 2 则p 4 8 q 2 2 从而在点p处的切线斜率k f 4 4 据点斜式 得曲线在点p处的切线方程为y 8 4 x 4 同理 曲线在点q处的切线方程为y 2