高中数学 第二单元 平面向量 2.1.4 数乘向量课件 新人教B版必修4.ppt

2 1 4数乘向量 第二章 2 1向量的线性运算 学习目标1 了解数乘向量的概念 并理解这种运算的几何意义 2 理解并掌握数乘向量的运算律 会运用数乘向量运算律进行向量运算 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一数乘向量的定义 思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量 答案向量 答案 思考2 向量3a 3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系 答案3a的长度是a的长度的3倍 它的方向与向量a的方向相同 3a的长度是a的长度的3倍 它的方向与向量a的方向相反 梳理 1 定义 实数 和向量a的乘积是一个向量 记作 a 且 a的长 a a 当 0或a 0时 0a 0或 0 0 2 a中的实数 叫做向量a的 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 系数 思考 知识点二向量数乘的运算律 类比实数的运算律 向量数乘有怎样的运算律 答案 答案结合律 分配律 梳理 向量数乘运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 知识点三向量的线性运算 向量的加法 减法和数乘向量的综合运算 通常叫做向量的 线性运算 题型探究 解答 例1已知a b是两个非零向量 判断下列各命题的对错 并说明理由 1 2a的方向与a的方向相同 且2a的模是a的模的2倍 解正确 2 0 2a与a同向 且 2a 2 a 类型一数乘向量概念的理解 2 2a的方向与5a的方向相反 且 2a的模是5a的模的 解正确 5 0 5a与a同向 且 5a 5 a 2 0 2a与a反向 且 2a 2 a 3 2a与2a是一对相反向量 解正确 解答 4 a b与 b a 是一对相反向量 解错误 b a b a a b 5 若a b不共线 则 a与b不共线 解错误 若 0 则0a 0 0与任意向量共线 反思与感悟 对数乘运算的理解 关键是对实数的作用的认识 当 0时 a与a同向 模是 a 的 倍 当 0时 a与a反向 模是 a 的 倍 当 0时 a 0 跟踪训练1设a是非零向量 是非零实数 则下列结论正确的是a a与 a的方向相反b a a c a与 2a的方向相同d a a 答案 解析 解析当 0时 a与 a方向相同 故a错 当 1时 a a 故b错 a a 故d错 0 2 0 a与 2a的方向相同 故选c 类型二向量的线性运算 解答 4a 4b 解答 2 已知向量为a b 未知向量为x y 向量a b x y满足关系式3x 2y a 4x 3y b 求向量x y 由 3 2 得x 3a 2b 代入 得3 3a 2b 2y a 即y 4a 3b 所以x 3a 2b y 4a 3b 反思与感悟 1 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用 但是这里的 同类项 公因式 是指向量 实数看作是向量的系数 2 向量也可以通过列方程和方程组求解 同时在运算过程中多注意观察 恰当的运用运算律 简化运算 解答 跟踪训练2 1 计算 a b 3 a b 8a 解 a b 3 a b 8a a 3a b 3b 8a 2a 4b 8a 10a 4b 2 若 c b 3y b 0 其中a b c为已知向量 则未知向量y 答案 解析 类型三用已知向量表示其他向量 答案 解析 解析示意图如图所示 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路 1 先结合图形的特征 把待求向量放在三角形或平行四边形中 2 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量 3 当直接表示比较困难时 可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然后解关于所求向量的方程 解答 又 d e为边ab的两个三等分点 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 解析 1 已知a 5e b 3e c 4e 则2a 3b c等于a 5eb 5ec 23ed 23e解析2a 3b c 2 5e 3 3e 4e 23e 解析如图 作出平行四边形abec m是对角线的交点 故m是bc的中点 且是ae的中点 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 3 若3x 2 x a 0 则向量x等于 答案 解析 2 3 4 5 1 解答 2 3