柯西—许瓦兹不等式,Holder 不等式的应用例题.doc

（1） 设为阶正定矩阵，则成立。证明 因为为阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵使得，显然是阶正定矩阵，它的特征值全为正的，由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是。（2） 设为阶半正定矩阵，则成立。证明 对任意，有为阶正定矩阵，令，由连续性,可知, 。定理 (Cauchy-Schwarz不等式)设在上可积，则有。证明 证法一 对区间的任意分割：，任取 ，记，；由于成立 ，在上式中，令取极限，则得到 ；证法二 考虑二次函数，；如果，在上式中取，得到，从而，于是成立；如果，则对，成立 ，必有 ，此时自然成立，。（几乎以前所有的人，都忽略了这种情况。）故结论得证。 柯西许瓦兹不等式，Holder 不等式的应用例题定理11（Newman不等式） 设正整数,实数,且，则有.证明 由于 ，所以.定理5 设且，则有。证明 方法一 由,得 .方法二 利用Holder不等式,得 由几何平均算术平均不等式,得，于是，方法三 考虑函数,在,下的条件极值。1（Klamkin）不等式定理1 设且.则有 .证明. 考虑函数,在下的条件极值,即可获证。定理2 设且则成立.证明 证法一 利用条件及三元几何平均算术平均不等式,得，结果得证。证法二 .定理3 设 且,则成立.证明，结果成立。Bernoulli不等式的应用定理1 (贝努利不等式) 设，实数都大于，并且它们都有着相同的符号，则成立 ； 特别地，当，且，成立 ，（，） 。P155 72 （Weierstrass不等式）定理2（Weierstrass不等式）设（）都是正实数，且，则成立（1）；（2） 。推论2 设,且.则成立 .证明 利用Bernoulli不等式，得P152 68 设是不全相等的正数，记则当时，有证明 利用几何平均算术平均不等式，得，于是推论 当时，有。证明 。P152 69 （1）设均为正数，且则。证明 利用Young不等式，得由此，结果得证。直接利用Hlder不等式定理12 设正整数,有理数,且,对任意实数,成立 .P155 73 设则（1）不等式）；（2） 。证明 （1）方法一 利用在上的凸性，得到，再令，即可得证。方法二 直接利用Hlder不等式的推论，得到,即结果得证;（2）直接利用几何算术平均不等式,即可得到证明.Cauchy不等式的应用。; .,其中设，则有证明 ，于是结果得证。127 设则证明 利用Cauchy-Schwarz不等式得又，于是从而，结果得证。例设且.则 。证明 由CauchySchwarz不等式，于是P182 145 （Shapiro不等式）设令，则仅当所有相等时等号成立。证法一 利用CauchySchwarz不等式，得从而。证法二 再由，于是，从而故得 . P185 150 设且.则证明 由得，利用CauchySchwarz不等式，得 ，再由,故得 。 P 175 126 证明 利用三角不等式，得P175 127 设均为正数，表示集合的全部置换的集合，则。证明 利用Minkowski不等式和Jensen不等式，得，任意。于是，结论得证。P178. Peetre不等式：设，则成立 证明 由得同理当时，当时，当时，结论显然成立,故结果得证. 抛物距离设，定义，则是定义在上的一个距离。事实上 对任意， 。定理12 设正整数,有理数,且,对任意实数,成立 .P11 乘积型Minkowski不等式:（3） 设，则。证明 利用Holder不等式，得（4） 行列式的Minkowski不等式：设为阶正定矩阵，则成立,式中表示相应的行列式。证明因为为阶正定矩阵，所以亦是正定矩阵，的特征值为正，设的特征值为，则有于是。 由连续性,可知,设为阶半正定矩阵，则成立,式中表示相应的行列式.P355 例5.1.29 设试证 如下级数收敛。证明 ，显然 单调递增，故级数收敛。例 设若发散，试证 证明 由于,由,由条件知，,从而得于是,即得定理 (Minkowski不等式)设在上可积，则有.证明 因为，若，则不等式自然成立；若，则消去