普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷含答案）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷，含答案）本试卷满分150分，考试时间120分钟第卷考生注意：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率以为半径的球体积：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线与圆的位置关系为（ ）a相切 b相交但直线不过圆心 c直线过圆心d相离2已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）a b cd 3的展开式中的系数是（ ）a16b70c560d11204已知，则向量与向量的夹角是（ ）abcd 5不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）abcd6锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）a b c d 7设的三个内角，向量，若，则=（ ）abcd 8已知，其中，则的值为（ ）a6bcd9已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）a2b3c4d5 10已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）abcd二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案写在答题卡相应位置上11若，则 12若是奇函数，则 13将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）14设，则数列的通项公式= 15已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设函数（）求的最小正周期 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值17（本小题满分13分，（）问7分，（）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中：（）两种大树各成活1株的概率；（）成活的株数的分布列与期望 18（本小题满分13分，（）问5分，（）问8分）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 19（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 20（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点（）若的坐标分别是，求的最大值；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，求线段的中点的轨迹方程；21（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；（）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、 选择题：每小题5分，满分50分 .(1) b (2) a (3) d (4) c (5) a (6) c(7) c (8) d (9) b (10) b.二填空题：每小题5分，满分25分 .(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )三解答题：满分75分 .(16)（本小题13分）解：（）= = = 故的最小正周期为t = =8 ()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而 = = 当时，因此在区间上的最大值为解法二： 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知 当时，因此在上的最大值为 .(17)（本小题13分）解：设表示甲种大树成活k株，k0，1，2表示乙种大树成活l株，l0，1，2则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 , . 据此算得 , , . , , . () 所求概率为. () 解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且 , , = , . .综上知有分布列01234p1/361/613/361/31/9从而，的期望为（株）解法二：分布列的求法同上令分别表示甲乙两种树成活的株数，则故有从而知18、（本小题13分）解（）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（）由（）知，令（1）当（2）当k=1时，g（x）在r上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数（19）（本小题12分）解法一：（）因为ad/bc,且所以从而a点到平面的距离等于d点到平面的距离。因为平面故,从而，由ad/bc，得,又由知，从而为点a到平面的距离，因此在中()如答（19）图1，过e电作交于点g，又过g点作,交ab于h，故为二面角的平面角，记为，过e点作ef/bc,交于点f,连结gf,因平面,故.由于e为bs边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（）如答（19）图2，以s(o)为坐标原点，射线od,oc分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs与平面yox重合，从而点a到平面bcs的距离为.()易知c(0,2,0)，d(,0,0). 因e为bs的中点.bcs为直角三角形 ,知 设b(0,2, )，0，则2，故b（0，2，2），所以e（0，1，1） .在cd上取点g，设g（），使gecd .由故 又点g在直线cd上，即，由=（），则有联立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 .(20)（本小题12分）解：（）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a b 0 ）. 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 . 又易知c，d两点是椭圆的焦点，所以, 从而，当且仅当，即点m的坐标为时上式取等号，的最大值为4.（ii）如图（20）图，设 .因为，故 因为 所以 . 记p点的坐标为，因为p是bq的中点所以 由因为 ，结合，得 故动点p的估计方程为（21）（本小题12分） 解：（i）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 从而当时， 当时，由是公比为d的等