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开环传函的根轨迹分析一、题目 画出开环传递函数为G(s)=的控制系统的根轨迹和K=16是的BODE图。二、引言 本课题主要是对开环传函的根轨迹进行研究，从而对根轨迹有更进一步的认识，同时对其伯德图进行必要的探究，从中得到理想的控制效果。三、摘要1、根轨迹：控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点）在S平面上形成的轨迹。2、伯德图：又称对数频率特性图，它包括幅频特性和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位与频率之间的关系。四、相关理论 1、根轨迹是控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点）在S平面上形成的轨迹。2、根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程式的阶次，即等于闭环极点的个数，也等于开环极点的个数。3、根轨迹是对称于实轴的曲线。4、根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有（n-m）条根轨迹终止于s平面无穷远处。5、根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将s=jw代入方程式并求解就可得到根轨迹与虚轴的交点及交点相对应的参数K的临界值Kc。6、实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开环实数极点、实数零点总数为奇数的线段。共轭复数开环极点、零点对确定实轴上的根轨迹无影响。五、理论推导对该系统而言，可以确定它是个1型系统。令s(s+4)(s+8)(s2+2s+5)=0,那么可以解得系统有5个极点：P1=0，P2=-4,P3=-8,P4=-1+j2,P5=-1-j2。令s+2=0，那么可得系统有一个零点：Z=-2。从而可以得出：根轨迹的分支数等于5，它们的起点依次是（0，j0）,(-4,j0),(-8,j0),(-1,j2),(-1,-j2),终点都是无穷远处；而根轨迹的渐进线的条数为4条，因为有极点个数n=5,零点个数m=1个。这四条渐近线与实轴的交点坐标为：=0-4-8+（-1+j2）+（-1-j2）/(5-1)=-3.5;渐近线与实轴正方向的夹角分别是：l=0：（2l+1）/(n-m)= /4，l=1：（2l+1）/(n-m)= 3/4，l=2：（2l+1）/(n-m)= 5/4或-3/4，l=3：（2l+1）/(n-m)= 7/4或-/4。因此它在实轴上的根轨迹为：（-8，-4）和（-1，0）。根轨迹与实轴的会合点或分离点的坐标为：d/dss(s+4)(s+8)(s2+2s+5)/(s+2)=0从而可以得出：S=-6.81-j0.21,（其余均不符合）。六、程序设计及仿真1、对此系统进行m文件的编写为：num=1 2;den=conv(conv(1 4,1 4),conv(1 8,1 2 5);rlocus(num,den)axis(-22 3 -15 15) kd,poles = rlocfind(num,
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