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高二数学选修21知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若，则是的充分条件，是的必要条件若，则是的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”10、全称命题：，它的否定：，全称命题的否定是特称命题11、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长短轴的长 长轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率准线方程13、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则14、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、轴长虚轴的长 实轴的长焦点、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率准线方程渐近线方程16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即20、焦半径公式：若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则；若点在抛物线上，焦点为，则21、抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率范围22、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则24、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍25、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：；结合律：26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则30、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：31、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作32、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积34、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；35、向量数乘积的运算律：；36、若，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，为向量在，上的分量37、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得38、若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标40、设，则 若、为非零向量，则若，则，则41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置44、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量45、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，46、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，48、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有49、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有50、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算52、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为53、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为高二数学选修2-2的三个专题讲座一. 本周教学内容：选修22的三个专题讲座知识分析专题一 导数中几个常见易错点导数是高考考查的重点内容之一，同学们在解题时往往由于概念不清，方法不当而出错，下面我们对常见错误及原因进行分析。一. 错误理解导数定义例1 设在处可导，则等于（ ）A. B. C. D. 错解：选（C）分析：导数定义中，增量形式有多种，但不论选择哪种形式，相应的也应选择正确的形式。该例中函数值增量为，自变量增量应为，而不是h。故正解：故选（A）。二. 忽视导数几何意义的条件例2 已知曲线上的一点，求过点P的该曲线的切线方程。错解：，即过点P的切线的斜率为4。所以过点P的切线方程为。即。分析：此解法混淆了“在点P处的切线”与“过点P的切线”，本例中的点P可能是切点，也可能不是切点。正解：设切点为（），则切线的斜率。故切线方程为。又切线过点P且（）在曲线上，所以整理得：。解得：或。当时，切线斜率为4，切线方程为；当时，切线斜率为1，切线方程为。三. 对可导函数某一点处的导数认识不清例3 已知，求。错解：由得：所以。分析：上述错解中未弄清可导函数某一点处的导数的概念。正解：由得：所以。四. 复合函数求导时对复合过程的认识不到位例4 求函数的导数。错解：分析：最后一步求导时漏掉了对x求导，错因是对复合函数的复合过程认识不到位。正解：五. 忽视函数单调性的充要条件例5 已知函数在R上为减函数，求a的取值范围。错解：易求得。因为当时，为减函数，所以。故解得：。所以a的取值范围为（，0）。分析：可导函数在（a，b）内为单调递增（或减）函数的充要条件为：对于任意，有（或）且在（a，b）任意子区间内都不恒为零。正解：由上述分析易知a的取值范围是，0。专题二 反证法的应用反证法是从否定要证明的结论出发，并以此为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理和给出命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定命题结论的否定不成立，即可肯定命题成立反证法有着广泛的应用，是高中数学中重要的解题方法，它在解题时，常表现出独特的优势因此，同学们应深刻认识并熟练掌握这一重要的解题方法反证法是正难附反的数学思想的重要体现，一些数学问题若不容易入手解答或者解答比较麻烦，如果从问题的反面入手，换一个角度去思考，则有可能会很顺利地得到解决一. 反证法的理论依据由四种命题的相互关系可知，原命题“如果p，则q”与命题“如果非q，则非p”是一对逆否命题，具有同真同假性，即等价性根据这一逻辑，要证原命题“如果p，则q”为真，可以改证逆否命题“如果非q，则非p”为真，这种证题方式反证法，也就是说，如果非q（即否定结论，假设结论的反面成立，经过推理论证），则非p（得出与题设条件相矛盾的结论），从而根据等价性原则，可以肯定原命题正确二. 反证法的证明步骤第一步：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理证明，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确。三. 常见的否定形式P有是能P的否定没有不是不能我们归纳出几种常见的否定情形： “p或q”与“非p且非q”互为否定，“一定是”与“不一定是”互为否定，“n个中至少有k个”与“n个中至多有个（）”互为否定四. 反证法中探求矛盾的常见情形（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与已知的定义、定理、公理矛盾；（4）与现实生活中公认的事实矛盾；（5）自相矛盾 下面通过几个实例谈谈如何运用反证法证题，并希望同学们注意体会反证法证题的书写格式 例1 求证：三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60证明：因为在ABC中，三个内角分别为A，B，C，所以。若假设三个角都大于60，即，则，与矛盾。故假设错误。因此，三角形的三个内角中，至少有一个内角不大于60。例2 已知p，q是奇数，求证：方程没有整数根。证明：假设方程有整数根，则。当为奇数时，均为奇数。故为奇数，不可能为0。当为偶数时，均为偶数。故为奇数，也不可能为0。因此假设错误，原命题成立。例3 已知下列三个方程：，中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。解：假设三个方程均无实数根，则有： （1） （2） （3）由（1）得：；由（2）得：或；由（3）得：。取（1），（2），（3）的交集得集合。则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围是（）。评注：本题要求“三个方程中至少有一个方程有实数根时a的取值范围”，只要先求出其反面，即“三个方程均无实根时a的取值范围”，再求其补集即可。例4 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数的图象与直线的两个交点间的距离为8，（1）求函数f (x)的表达式；（2）求证：当a3时，关于x的方程f (x) = f (a)有三个不相等的实数解（1）解：由已知，设，由，得，所以。设，它的图象与直线的交点分别为A（，），B（，）。由，得，所以。所以。（2）证明：由，得。即。得方程的一个解。方程，化为。由，得：，。因为，所以，且。若，即，则。解得或。这与矛盾，所以。由，知当时，有三个不相等的实数解。专题三 复数解题中的几个常见错误一. 对复数的有关概念理解不清致误例1 当m为何实数时，复数是纯虚数？错解：令，解得：或。所以当或时，复数为纯虚数。剖析：错解只考虑复数的实部，而没有顾及虚部，纯虚数的定义要求复数的实部为零而虚部不为零本例中，当时，不满足纯虚数的条件。正解：由上述分析知，m3时，满足上述要求例2 试研究方程在复数集上解的个数。错解：因为，所以，所以或，即或。剖析：复数的“模”与实数的“绝对值”是两个不同的概念。正解：设，原方程可化为：根据复数相等的定义，得：解得 或 或 或 或 或所以方程在复数集上有6个解。二. 盲目套用实数集上的性质致误例3 若，求的值。错解：。剖析：错解中没有根据地将实数中底数是正数时的幂指数运算法则搬到复数中去。正解：因为，所以。所以。例4 设三个复数满足条件，试判断它们在复平面上三个对应点构成怎样的三角形？错解：因为，所以。所以。故，。即。所以三点重合，不能构成三角形。剖析：错解也是无根据地将只有实数才具有的性质搬到复数中去。正解：因为且三个复数不相等，所以。所以。同理。所以。设上式比值为k，则，。以上三式相乘，得，所以。所以。所以三点组成一个等边三角形。三. 转化不等价致误例5 已知复数，求复数z对应点的轨迹。错解：设，则，两边取模得：即。因为，所以。故复数z对应点的轨迹是圆和之间的圆环（包括圆周）。剖析：错解中误认为与等价，实际上，条件与条件不等价，前者只表示点（1，1），而后者表示以点（0，0）为圆心，为半径的圆。正解：设，则有：。根据复数相等的定义，有消去参数，有。所以复数z对应点的轨迹是以点（，）为圆心，1为半径的圆。高二数学平面知识精讲一. 本周教学内容：平面二. 重点、难点：1. 公理1： 推论：2. 公理2：存在唯一一条直线，使 推论：3. 公理3：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论（1）：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论（2）：过两条相交直线，有且只有一个平面。推论（3）：过两条平行直线，有且只有一个平面。4. 证明共面问题法一：确定平面，依次证明各要素在平面内。法二：将各要素分成二、三部分，分别证明共面，然后再证明这些平面重合。三. 重点、难点解析：（一）空间图形1. 两条直线2. 一条直线一个平面3. 两个平面 4. 三个平面（二）确定平面1. 空间四点可以确定几个平面。 0个、1个、4个。三点确定一平面，讨论第四个点是否在面上。2. 三条直线两两相交可确定几个平面。 1个或3个。3. 空间四条平行直线可以确定几个平面。 1个、4个、6个。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上三点可确定多少个平面。1个、3个、4个（三）点共线问题1. 在平面外，三边所在直线分别交平面于D、E、F，求证：D、E、F三点共线。证：如图所示，A、B、C确定平面 由公理2， 同上， E、F、D三点共线。（四）线共点1. 不共面的三个直线、，两两相交，求证三线交于一点。证明：、相交确定平面相交确定平面 设 三线交于一点（五）点共面 1. 如图正方体ABCD中E、F为、中点。求证：、E、F、B四点共面。证：连接交AD于M E为中点 MA=AD同理连接交DC于N，CN=CD 正方体 MA=AB=BC=CN M、B、N三点共线 、确定平面 、M、B、N、F六点共面（六）线共面1. 空间不共点的四条直线两两相交，求证：四线共面。证：（1）有三线共点，如图 与确定平面 B、C、D， A、B、C、D AB、AC、AD、（2）无三线共点A直线DEF A与直线DEF确定平面 AD、AE BAD，CAE B、C BC 四线共面（答题时间：60分钟）一. 选择：1. 下列说法正确的个数（ ）（1）一条直线有一个点在平面内，则这条直线上所有点都在平面内。（2）一条直线有两个点在平面内，则这条直线一定在平面内。（3）若线段平面，则线段AB延长线上任一点在平面内。A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. ，过M、N、P三点的平面为，则与的交线为（ ） A. MP B. NP C. PR D. MR3. 与空间三个点距离均相等的点有（ ）个。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 无数个4. 空间四点A、B、C、D共面不共线则有（ ）A. 必有三点共线 B. 必有三点不共线 C. 至少有三点共线 D. 不可能有三点共线二. 证明：已知，求证：四线共面。参考答案一. 1. C 2. C 3. D 4. B二.证：确定平面 A、B ，确定平面 同理 过两条相交直线、有且仅有一个平面 重合 共面高二数学导数的应用知识精讲一. 本周教学内容： 导数的应用二. 本周教学目标： 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； 2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三. 本周知识要点：（一）基本知识 1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。 2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。 3. 极大值与极小值统称为极值。 4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法： 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。 5. 求可导函数f(x)的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f(x)。 （2）求方程f(x)=0的根。 （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值。 6. 函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。 （1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。 （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的。 （3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。 (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。 7. 利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值。 例1. 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令0 解得x=0（舍去），x=40 并求得V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值。 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积 （后面同解法一，略） 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处 事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值。 例2. 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则 S(R)= 2R+ 2R2=+2R2 令 解得，R=，从而h=2 即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 例3. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润。 解：收入 利润 令，即，求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大。 例4. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b。 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b AD=h+b S= CD=，AB=CD l=2+b 由得b=h， 代入，l= l=0,h= 当h时，l时，l0. h=时，l取最小值，此时b= 小结：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。 （2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。 （3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。 1. 函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_。 2. 函数f(x)=sin2xx在,上的最大值为_；最小值为_。 3. 将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_。 4. 使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_，宽为_。 5. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大。 6. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？参考答案 1. 15 2. 3. 4. a b 5. R 6. 解：设正方形边长为x，则V=（82x）(52x)x=2(2x313x2+20x)(0x) V=4(3x213x+10)(0x2， 点P在y轴的右侧， ，故点P的轨迹C为抛物线上的一段弧。分析：点A到y轴的距离为a就是点A的横坐标的绝对值。因为曲线C的切线的斜率为，所以=，由x2知，由此可知，我们必须建立点A的横坐标的绝对值关于的关系。解（2）：设，则由可知，=， ， ， ， ，方法（一） ，（）， ， 。方法（二） ，（）， ， ， 且 。4（与名师对话第51练） 已知抛物线的方程为 ，过点且倾斜角为（0）的直线交抛物线于两点，且。（1）求m的值；（2）若点M分所成的比为，求关于的函数关系式。分析：要求m的值，必须给出关于m的方程。解（1）：设过点M（0，m）且倾斜角为（0）的直线的方程为。由方程组消去整理得，则， ， ， 。分析：由可知过点M（0，m）且倾斜角为（0）的直线为。先建立关于k的函数关系式，再转换为关于的函数关系式。解（2）： 关于的函数关系式， ， 由（1）可知，由方程组可消去得，。 0 ， ，故=。5（与名师对话第51练） 已知方向向量为的直线过点（0，2）和椭圆C： 的焦点，且椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点E（2，0）的直线交椭圆C于M，N，满足： 为原点? 若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由。6（与名师对话第52练20） 椭圆C的方程为，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点。（1） 求的重心G的轨迹方程；（2） 若的重心G对原点和点P（2，0）的张角最大，求点的坐标。解（1）：设点（y0），M（x1，y1）由题设可知，F（）则， ，的重心G的轨迹方程为 （）。（2） 由（1）可知，原点和点P（2，0）是椭圆的两个焦点。下面证明当点M与椭圆的短轴的端点重合时张角最大。方法（一） 用椭圆的定义设椭圆C上的一个动点M到椭圆的两个焦点的距离为、，则由椭圆的定义可知+=2。在中，= （当且仅当时，等于号成立）=0 当，即点M与短轴的端点重合时张角最大，最大角为90，这时点M的坐标为（1，1）、（1，1）。方法（二） 用椭圆的焦半径公式将椭圆平移到中心在原点的位置，这时椭圆的方程为，原张角就是在点P处的两条焦半径的夹角。设点P的坐标为（），则=当时，当时，故，的最大值为90，这时相应点P的坐标为（0，1），在椭圆的原位置相应点P的坐标为（1，1）。7（与名师对话第52练21） 已知动点P与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为。（1） 求动点P的轨迹方程；（2） 若已知点D（0，3），点M，N在动点P的轨迹上，且，求实数的取值范围；（3） 若已知点D（1，1），点M，N在动点P的轨迹上，且，求直线MN的方程。分析：由题设可知，动点P的轨迹是以双曲线的两个焦点为其焦点的椭圆，因此动点P的轨迹方程可以用待定系数法求得。解（1）：由题设可知，动点P的轨迹是以双曲线的两个焦点为其焦点的椭圆，设其方程为 （）。可以证明（仿例6）当动点在椭圆的短轴的端点时的值最小，这时， ，。 ， 动点P的轨迹方程为。分析：由可知，点D，M，N共线，直线MN的变化可以用其斜率表示（直线的方程为这时要k作讨论），也可以用表示（直线的方程为，这时不需要对作讨论）。下面用直线方程求解。解法（一）：由可知，点D，M，N共线。若直线MN的斜率不存在，则。若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为则由方程组可得，设，则。又由可得， ， 。 ， 。 ， ，综上所述，。分析：用点M，N的坐标表示直线MN的变化。解法（二）：由可知，点D，M，N共线。设，则，。 ， ， ，。 ， 或，解得。8抛物线C的方程为，过抛物线C上一点 （）作斜率为的两条直线分别交抛物线C于两点（P，A，B三点各不相同），且满足。（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M满足：，证明线段PM的中点在y轴上；（3）当时，若点P的坐标为（1，1），求为钝角时点A的纵坐标的取值范围。分析：将a看作常量。解（1）：抛物线C的方程为，故抛物线C的焦点坐标为（），准线方程为。分析：从形式上看，线段PM的中点坐标与相关，而实际上肯定横坐标可以消元为0。解（2）：由题设可知，直线PA的方程为：，由方程组可得，即， ， 同理 ， ， ，= ， ， 线段PM的中点横坐标为0，即线段PM的中点在y轴上。分析：解（3）：由题设和题（2）可知，抛物线C的方程为，又，故， ， ， 为钝角，三点各不相同， 即有， ， ， ， 。9已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又。（1） 求直线l的方程；（2） 求椭圆C的长轴长的取值范围。解（1）：直线的方程为。分析：“直线与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于a，b的不等式，向量等式 可以转化为一个关于a，b的等式。解（2）：由方程组可得。设设，则。由可知， ， ， ， ， ， 。 ， ， ， ， ，即椭圆C的长轴长的取值范围为。10自点A（0，-1）向抛物线C：作切线AB，切点为B，且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交抛物线C于P，Q两点。（1） 求切线AB的方程及切点B的坐标；（2） 证明。解（1）：设切点B的坐标为，过点B的切线的方程为， 切线过点A（0，-1）， ， ， 点B在抛物线上， ， 切线AB的方程为，切点B的坐标为（1，1）。分析：即证明。（2） 证明：由（1）可知，线段AB的中点M的坐标为，设直线的方程为，。由方程组 可得， 故。 A，E，P三点共线， =， ，同理， =由可知，。11设双曲线的右顶点为A，P为双曲线上异于点A的一个动点，从A引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP分别交于Q和R两点。（1） 证明：无论P点在什么位置，总有（O为坐标原点）；（2） 若以OP为边长的正方形的面积等于双曲线的实，虚轴围成的矩形的面积，求双曲线的离心率的取值范围。（1） 证明：设直线OP的方程为y=kx，直线AR的方程为，AQ的方程为。由方程组 得 ， =，同理=， =。设P（m，n），由方程组得， =。 直线OP过原点， ， 。（2） 解：由题设知，=，又， ，（恒成立）解得a0，则”中，有了条件“x0”，就一定有结论“”成立。把条件“x0”换成“”或“”，仍有结论“”成立。因此条件“”是结论“”的充分条件。教材中由“”定义“p是q的充分条件”，说的就是命题“若p则q”中条件p对于结论q成立的作用。3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A则B”，没有条件A，结论B一定不成立（）；但是有了条件A，结论B却未必一定成立。这样的条件A就是结论B的必要条件。例如，在命题“若”中，没有条件“”，就一定不会有结论“”。但是有了条件“”，却未必有结论“”，还有可能是。因此条件“”是结论“”的必要条件。利用“”判断条件A是结论B的必要条件，有时是很困难的。我们可以利用“”的等价命题“”来判断，但一定要注意A还是条件，B还是结论，即若由