高考数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的小综合课件 文 新人教A版.ppt

3 2导数与函数的小综合 2 3 知识梳理 考点自测 1 函数的单调性与导数的关系 1 已知函数f x 在某个区间内可导 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内是 2 可导函数f x 在 a b 上单调递增 则有在 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在 a b 上单调递减 则有在 a b 上恒成立 4 若函数y f x 在区间 a b 内单调 则y f x 在该区间内 单调递增 单调递减 常数函数 f x 0 f x 0 不变号 4 知识梳理 考点自测 2 函数的极值一般地 当函数f x 的图象在点x0处连续时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 5 知识梳理 考点自测 3 函数的最值 1 图象在区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 内可导 图象在 a b 上连续 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b f a f b 极值 f a f b 6 知识梳理 考点自测 1 若函数f x 的图象连续不断 则f x 在 a b 上一定有最值 2 若函数f x 在 a b 上是单调函数 则f x 一定在区间端点处取得最值 3 若函数f x 在区间 a b 内只有一个极值点 则相应的极值点一定是函数的最值点 7 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 如果函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0 2 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 3 导数为零的点不一定是极值点 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 8 知识梳理 考点自测 2 如图是函数y f x 的导函数f x 的图象 则下面判断正确的是 a 在区间 2 1 内 f x 是增函数b 在区间 1 3 内 f x 是减函数c 在区间 4 5 内 f x 是增函数d 在区间 2 3 内 f x 不是单调函数 c 3 2016四川 文6 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 d 解析 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 易得f x 在 2 2 内单调递减 在 2 2 内单调递增 故f x 极小值为f 2 由已知得a 2 故选d 9 知识梳理 考点自测 a 10 知识梳理 考点自测 5 已知函数f x x3 ax2 3x在定义域上是增函数 则实数a的取值范围为 3 3 解析 函数f x x3 ax2 3x在定义域上是增函数 f x 3x2 2ax 3 0在r上恒成立 4a2 36 0 解得 3 a 3 11 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 讨论函数的单调性或求单调区间例1已知函数f x ax3 x2 a r 在处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 12 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 13 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间 解题心得1 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 14 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考点五 对点训练1已知函数f x x2 2alnx a 2 x 当a 0时 讨论函数f x 的单调性 当02时 f x 0 a2 即a a时 f x 0 2 x a时 f x 0 f x 在 0 2 a 内单调递增 在 2 a 内单调递减 综上所述 当a 2时 f x 在 0 内单调递增 当 2 a 0时 f x 在 0 a 2 内单调递增 在 a 2 内单调递减 当a 2时 f x 在 0 2 a 内单调递增 在 2 a 内单调递减 15 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 函数单调性的应用 多考向 考向1利用函数单调性比较大小 解析 由f x f 2 x 得函数f x 的图象关于直线x 对称 令g x f x cosx 则g x f x cosx f x sinx 0 所以当0 x 时 g x 在 0 内递增 a 思考本例题如何根据条件比较三个数的大小 16 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 考向2利用函数单调性求参数的范围例3 1 已知a 0 函数f x x2 2ax ex 若f x 在 1 1 上是减函数 则a的取值范围是 c 17 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 18 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 思考如何利用函数的单调性求参数的范围 解题心得1 比较大小时 根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数 对新函数求导确定其单调性 再由单调性进行大小的比较 2 利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 若已知函数不等式求参数范围 先求函数的导数 确定函数的单调性 再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式 解不等式得参数范围 也可以根据条件采取分离参数法 19 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 a c 20 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 21 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 22 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 求函数的极值例4 2017全国 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 a 解析 由题意可得 f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为x 2是函数f x 的极值点 所以f 2 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 所以f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 解得x1 2 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 23 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 所以当x 1时 f x 有极小值 并且极小值为f 1 1 1 1 e1 1 1 故选a 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系 24 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 解题心得1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 则函数y f x 在 a b 内不是单调函数 反之 若函数y f x 在某区间上是单调函数 则函数y f x 在此区间上一定没有极值 25 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 3 利用导数研究函数极值的一般流程 26 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 27 求函数的最值例5 2017河北衡水中学调研 已知a b r 且ex a x 1 b对x r恒成立 则ab的最大值是 a 解析 令f x ex a x 1 b 则f x ex a 若a 0 则由f x ex b b 0 得b 0 此时ab 0 若a0 知函数单调增 x 此时f x 不可能恒有f x 0 若a 0 由f x ex a 0 得极小值点x lna 由f lna a alna a b 0 得b a 2 lna ab a2 2 lna 令g a a2 2 lna 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 28 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 思考求函数的最值可划分为哪几步 解题心得求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 29 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 对点训练4 2017湖南衡阳三次联考 文11 已知x 1是函数f x ax3 bx lnx a 0 b r 的一个极值点 则lna与b 1的大小关系是 a lna b 1b lna b 1c lna b 1d 以上都不对 b 30 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 已知极值或最值求参数范围例6 2017福建泉州一模 文12 若函数f x ax3 a 1 x2 x 2 0 x 1 在x 1处取得最小值 则实数a的取值范围是 c 31 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 思考已知极值或最值如何求参数的范围 解题心得已知极值求参数 若函数f x 在点 x0 y0 处取得极值 则f x0 0 且在该点左 右两侧的导数值符号相反 32 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 d 解析 当x 2时 函数图象的对称轴方程为x a f 2 是函数f x 的最小值 a 2 f x 0 f e 是函数的极小值 f 2 是函数f x 的最小值 f e f 2 1 a 6 2 a 6 故选d 33 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 34 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 35 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 高频小考点 导数法求参数的取值范围 答案 c 36 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 37 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 38 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 典例2 2015全国 设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 答案 d解析 设g x ex 2x 1 h x a x 1 则不等式f x 0即为g x h x 因为g x ex 2x 1 2ex ex 2x 1 39 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 而函数h x a x 1 表示经过点p 1 0 斜率为a的直线 如图 分别作出函数g x ex 2x 1 与h x a x 1 的大致图象 显然 当a 0时 满足不等式g x h x 的整数有无数多个 40 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 典例3 2014全国 文12 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 答案 c 41 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 42 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五 典例4 2014全国 文11 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 答案 d 43 考点一 考点二 考点三 考点四 学科素养微专题 考点五