第1章数学基础第1讲.pdf

第一章 数学基础第一章 数学基础 赛北赛北412 1 郎婷婷郎婷婷 langtingting 1 1 矢量代数和矢量函数矢量代数和矢量函数 1 2 场 梯度 场 梯度 散度和旋度散度和旋度 1 3 矢量微分算子矢量微分算子 1 4 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 1 5 函数 函数 主要内容 1 1 矢量代数和矢量函数矢量代数和矢量函数 标量 标量 只用只用大小大小描述的物理量 描述的物理量 矢量 矢量 既有既有大小大小又有又有方向方向的物理量 的物理量 矢量的几何表示 一条有方向的线段 矢量的几何表示 一条有方向的线段 矢量的代数表示 矢量的代数表示 矢量的大小或矢量的大小或模模 矢量的单位矢量 矢量的单位矢量 常矢量 大小和方向都保持不变的矢量常矢量 大小和方向都保持不变的矢量 注意 注意 单位矢量和常矢量的区分单位矢量和常矢量的区分 AAAAA 00 AA A A A 0矢量的几何表示矢量的几何表示 A 分矢量分矢量 在直角坐标系中 将矢量分解 在直角坐标系中 将矢量分解 方向余弦方向余弦 zzyyxx AeAeAeA A z Ax A Ay Az x y O cos cos cos AA AA AA z y x coscoscos zyx eeeAA coscoscos 0zyx eeeA cos cos cos 222 xyz AAAA 矢量的加减运算矢量的加减运算 在直角坐标系下 两矢量的加法和减法 在直角坐标系下 两矢量的加法和减法 矢量的加减符合矢量的加减符合交换律交换律和和结合律结合律 交换律 交换律 结合律 结合律 ABBA 矢量的加法矢量的加法 BA A B 矢量的减法矢量的减法 BA A B B zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA CBACBACBA 矢量具有平移不变性矢量具有平移不变性 矢量的乘法矢量的乘法 标量乘矢量标量乘矢量 两矢量的两矢量的标量标量积 点乘 积 点乘 交换律 交换律 分配律 分配律 ABBA zzyyxx mAemAemAeAm AAAAA 00 A B 矢量与的夹角矢量与的夹角 A B zzyyxx BABABAABBA cos CBCACBA 两种特殊情况下的点乘两种特殊情况下的点乘 两矢量垂直 两矢量垂直 两矢量平行 两矢量平行 BA cosABBA 0 BA BA ABBA 0 xzzyyx eeeeee 1 zzyyxx eeeeee 两矢量的两矢量的矢量积矢量积 叉乘 叉乘 直角坐标系下用行列式表示 直角坐标系下用行列式表示 两矢量垂直 两矢量垂直 两矢量平行 两矢量平行 交换形式 交换形式 分配律 分配律 sinABBA xyyxzzxxzyyzzyx zyx zyx zyx BABAeBABAeBABAe BBB AAA eee BA sinAB BA B A 矢量与的叉乘矢量与的叉乘A B BA BA ABBA 0 BA ABBA CBCACBA 标量函数与矢量函数标量函数与矢量函数 标量函数 标量函数 具有确定数值的标量 是空间坐标和时 间的函数 具有确定数值的标量 是空间坐标和时 间的函数 矢量函数 矢量函数 函数的物理状态函数的物理状态与时间无关与时间无关 静态场静态场 时间的函数 时间的函数 动态场动态场或或时变场时变场 矢量和矢量场的矢量和矢量场的不变性不变性 与所选坐标系无关 与所选坐标系无关 矢量函数对时间和空间坐标变量的微分仍是矢量函数对时间和空间坐标变量的微分仍是矢量矢量 tzyxf tzyxFetzyxFetzyxFetzyxF zzyyxx 1 2 场 梯度 散度和旋度场 梯度 散度和旋度 场场 确定的空间区域上的每一点都有确定 的物理量与之对应 则称在该区域上定义 了一个 确定的空间区域上的每一点都有确定 的物理量与之对应 则称在该区域上定义 了一个场场 标量场 标量场 场点 场点 Q 如何知道标量场中各点沿各个方向的变 化情况 如何知道标量场中各点沿各个方向的变 化情况 ruu zeyexer zyx 标量场的等值面标量场的等值面 等值面等值面 标量场取得 标量场取得同一数值同一数值的 点在空间形成的曲面 的 点在空间形成的曲面 等值面方程 等值面方程 常数常数C 取一系列不同的值 就得 到一系列不同的等值面 形成 取一系列不同的值 就得 到一系列不同的等值面 形成等 值面族 等 值面族 等值面充满整个空间 等值面充满整个空间 等值面互不相交 等值面互不相交 标量场的等值线 面 标量场的等值线 面 等值面族 等值面族 f c2 f c3 f c1 Czyxf 举例举例 温度场中的等温面 引力场中的等势面 静电场中的等位面 气象图中的等压线 地形图中的等高线 温度场中的等温面 引力场中的等势面 静电场中的等位面 气象图中的等压线 地形图中的等高线 标量场的方向导数标量场的方向导数 定义定义u在在M0点沿点沿l的方向导数为的方向导数为 方向导数描述标量场方向导数描述标量场u在在M0点沿点沿l的的变化率变化率 u MM MuMu l u MM M limlim 0 0 0 0 0 M0 M 0 l u 标量场标量场u沿沿l方向增加方向增加 0 l u 标量场标量场u沿沿l方向减小方向减小 0 l u 标量场标量场u沿沿l方向无变化方向无变化 方向导数的计算公式方向导数的计算公式 标量场标量场u u x y z 在在M0点可微 方向导数在直角坐 标系下可表示为 点可微 方向导数在直角坐 标系下可表示为 它是标量场的场函数它是标量场的场函数u对三个坐标轴的对三个坐标轴的偏导数偏导数分别 与 分别 与l的的方向余弦方向余弦的乘积之和 解决了标量场在的乘积之和 解决了标量场在给定点给定点 沿沿某个方向某个方向的变化率问题 的变化率问题 Q 沿哪个方向变化率最大 最大变化率是多少 沿哪个方向变化率最大 最大变化率是多少 coscoscos 0 z u y u x u l u M 梯度的定义梯度的定义 在标量场在标量场u 中定义一个中定义一个矢量矢量G 记沿记沿l 方向的单位矢量为方向的单位矢量为 则则 矢量矢量G称为标量场称为标量场u的的梯度梯度 z u e y u e x u eG zyx zyxl eeee coscoscos coscoscoscos 0 GeG z u y u x u l u l M z e y e x e zyx z u e y u e x u euGu zyx grad 梯度的特性梯度的特性 标量场的梯度标量场的梯度grad u是一个矢量函数 是一个矢量函数 在给定点 梯度沿任意方向的投影就是沿这个方 向的标量场的方向导数 在给定点 梯度沿任意方向的投影就是沿这个方 向的标量场的方向导数 在给定点 梯度的方向就是标量场在给定点 梯度的方向就是标量场u对距离变化率 最大的方向 对距离变化率 最大的方向 其模就是变化率的最大值 其模就是变化率的最大值 P5 梯度运算的一些基本公式梯度运算的一些基本公式 uufuf uvvuuv vuvu uCCu C 0 例例1 1 P5 1 4 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条三维空间任意一点的位置可通过三条相互 正交 相互 正交曲线的交点来确定 曲线的交点来确定 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系 称为 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系 称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系 三条 正交曲线称为 三条 正交曲线称为坐标轴坐标轴 描述坐标轴的量称 为 描述坐标轴的量称 为坐标变量坐标变量 在电磁理论中 三种常用的正交曲线坐标 系为 在电磁理论中 三种常用的正交曲线坐标 系为 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标 系 球坐标 系 直角坐标系直角坐标系 xyz re xe ye z 位置矢量 面元矢量 线元矢量 位置矢量 面元矢量 线元矢量dddd xyz le xe ye z dd d xx Se y z dd d zz Se x y 体积元体积元zyxVdddd dd d yy Sex z 坐标变量坐标变量 zyx 坐标单位矢量坐标单位矢量 xyz e e e 点 点P x 0 y0 z0 0 yy 平面 平面 o x y z 0 xx 平面 平面 0 zz 平面 平面 P 直角坐标系直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元 面积元 体积元直角坐标系的长度元 面积元 体积元 o dz d y dx dd d xx Se y z dd d zz Se x y dd d yy Sex z 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 z 坐标变量坐标变量 z eee 坐标单位矢量坐标单位矢量 zeer z 位置矢量位置矢量 zeeel zd ddd 线元矢量线元矢量 zVdddd 体积元体积元 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS zelleS 面元矢量面元矢量 圆柱坐标系中的线元 面元和体积元圆柱坐标系中的线元 面元和体积元 圆柱坐标系圆柱坐标系 0 半平面 半平面 0 圆柱面 圆柱面 0 zz 平面 平面 000 zP 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系 r 坐标变量坐标变量 eeer 坐标单位矢量坐标单位矢量 rer r 位置矢量位置矢量 dsindddrererel r 线元矢量线元矢量 dddsind 2 rrV 体积元体积元 ddsinddd 2 relleS rrr ddsindddrrelleS zr dddddrrelleS r 面元矢量面元矢量 球坐标系中的线元 面元和体积元球坐标系中的线元 面元和体积元 球坐标系球坐标系 0 半平面 半平面 0 圆锥面 圆锥面 0 rr 球面 球面 000 rP 球坐标系球坐标系 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 x e y e z e e e z e cos sin 0 cos sin 0 00 1 e e z e r e e e sin0 cos sin cos 0 001 z e r e e e cossin cos sin sincos 0 x e y e sinsin sincos cos sin o x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 x e y e e e o z 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 z e e r e e 直角坐 标与圆 柱坐标 圆柱坐 标与球 坐标 直角坐 标与球 坐标 直角坐 标与圆 柱坐标 圆柱坐 标与球 坐标 直角坐 标