2013秋奥鹏福师《实变函数》在线作业一.doc

福师实变函数在线作业一一、判断题（共37道试题，共74分。）B 1.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 A. 错误B. 正确满分：2分B 2.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 A. 错误B. 正确满分：2分B 3.存在0,1上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等 A. 错误B. 正确满分：2分A 4.函数f在区间a,b上可积的充要条件是f在区间a,b上的不连续点集为零测度集. A. 错误B. 正确满分：2分A 5.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. A. 错误B. 正确满分：2分B 6.若f有界且m(X)+ nME(|f|=n)=0. A. 错误B. 正确满分：2分B 10.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. A. 错误B. 正确满分：2分B 11.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 A. 错误B. 正确满分：2分B 12.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差. A. 错误B. 正确满分：2分B 13.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 A. 错误B. 正确满分：2分B 14.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. A. 错误B. 正确满分：2分B 15.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 A. 错误B. 正确满分：2分B 16.当f在(0,+)上一致连续且L可积时，则lim_x-+f(x)=0. A. 错误B. 正确满分：2分B 17.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f0)有sigma-有限测度。 A. 错误B. 正确满分：2分B 18.若fL1a,b,则几乎所有的x属于a,b均是g的L点. A. 错误B. 正确满分：2分B 19.增函数f在a,b上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. A. 错误B. 正确满分：2分B 20.若f,gAC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。 A. 错误B. 正确满分：2分B 21.若fBV当且仅当f是两个增函数之差。 A. 错误B. 正确满分：2分A 22.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. A. 错误B. 正确满分：2分A 23.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. A. 错误B. 正确满分：2分A 24.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。 A. 错误B. 正确满分：2分B 25.f在a,b上为增函数，则f的导数fL1a,b. A. 错误B. 正确满分：2分B 26.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. A. 错误B. 正确满分：2分B 27.fBV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. A. 错误B. 正确满分：2分A 28.若|f|和f2都是有界变差，则f为有界变差. A. 错误B. 正确满分：2分B 29.设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax A. 错误B. 正确满分：2分A 30.连续函数和单调函数都是有界变差函数. A. 错误B. 正确满分：2分A 31.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f). A. 错误B. 正确满分：2分B 32.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集 A. 错误B. 正确满分：2分B 33.fBV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. A. 错误B. 正确满分：2分B 34.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. A. 错误B. 正确满分：2分A 35.零测度集的任何子集都是可测集. A. 错误B. 正确满分：2分B 36.若f,gBV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 A. 错误B. 正确满分：2分A 37.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. A. 错误B. 正确满分：2分二、单选题（共5道试题，共10分。）V B 1.若fL(X),则 A. f在X上几乎处处连续B. 存在gL(X)使得|f|f,a.e.,则 A. fn依测度收敛于fB. fn几乎一致收敛于fC. fn一致收敛于fD. |fn|-|f|,a.e.满分：2分A 3.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. A. mE=0B. 0mE+C. mE=+D. 0=mE=+满分：2分B 4.下列关系式中不成立的是（ ） A. f(Ai)=f(Ai)B. f(Ai)=f(Ai)C. (AB)0=A0B0D. (Ai)c=(Aic)满分：2分C 5.设g(x)是0,1上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是0,1上的 A. 连续函数B. 单调函数C. 有界变差函数D. 绝对连续函数满分：2分三、多选题（共8道试题，共16分。）ABC 1.设E1，E2是Rn中测度有限的可测集，则 A. m(E1E2)+m(E1E2)=mE1+mE2B. 若E1包含于E2,mE1=mE2C. 若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1满分：2分ABC 2.设f为a,b上减函数，则f为（ ） A. 有界函数B. 可测函数C. 有界变差函数D. 绝对连续函数满分：2分BD 3.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A. m(A)m(B)B. m(A)=m(B)C. m(BA)=m(A)D. m(B)=m(A)+m(BA)满分：2分AB 4.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ） A. fn测度收敛于|f|B. afn+bgn测度收敛于af+bgC. (fn)2测度收敛于f2D. fngn测度收敛于fg满分：2分BC 5.设E为Rn中的一个不可测集，则其特征函数是 A. 是L可测函数B. 不是L可测函数C. 有界函数D. 连续函数满分：2分AD 6.f(x)=sinx/x,x(0,+),则f(x)在(0,+)上 A. 广义R可积B. 不是广义R可积C. L可积D. 不是L可积满分：2分AD 7.f(x)