黄金三角形.doc

黄金三角形如果等腰三角形的底与腰之比等于0.618，那我们就称这个三角形为黄金三角形，经过证明和计算，我们可以得知，黄金三角的顶角为36，两底角分别为72。这样的三角形有许多有趣的性质。性质一：黄金三角形ABC中，顶角A=36，C平分线交AB于D，则CDB也是黄金三角形（图125）。性质二： 如图125右中，ABC，CDB都是黄金三角形，作B的分平线交CD于E，则BED也是黄金三角形。并且，这个过程可以无限制地进行下去，于是得到一连串的黄金三角形，称为黄金三角形套。性质三：性质二中所说的那些三角形都是相似的黄金三角形，每两个相邻的黄金三角形的相似比都等于黄金数，即约为0.618。性质四：把黄金三角形套中的一连串三角依次编号为1、2、3、n、n+3，那么n+3的左腰平行于n的右腰（在图125右中，4的左腰DF平行于1的右腰AC）。2黄金矩形矩形的宽与长之比如果等于黄金数，我们就称之为黄金矩形。黄金矩形也类似于黄金三角形的性质：性质一：如图126，在黄金矩形ABCD内，作正方形CDEF，则矩形ABFE也是黄金矩形。性质二：按性质一的方法，在黄金矩形ABEF内，再作一正方形AHGE，则矩形BFGH也是黄金矩形，这个过程可以无限制地进行下去，于是得到一连串的黄金矩形。这叫做黄金矩形套。性质三：性质二中所说的黄金矩形，都是相似形，每两个相邻的黄金矩形的相似比等于黄金数。3和谐的五角星在我们庄严的国旗上，有金光闪闪的五角星。在其他国家的旗帜上或一些建筑物尖顶上，也常常看到五角星。五角星星美观、在态度、庄重、和谐，是最受人们喜爱的几何图形之一。究其原因，是因为它与黄金比例有着密切的关系。 在一个圆中作正五边形。ABCDE，把对角线两两连接起来，就得到一个正五角星。可以很容易地证明出，图127中有许多黄金三角形。不仅正五边形各边与对角线组成的三角形，如ACD、BDE等是黄金三角形，就连对角线交叉后形成的5个小三角形，如AFJ、BFG等也都是黄金三角形。甚至连以边长为腰的几个三角形，如ABG、CBF等也都是黄金三角形。在这个简单的图形中，黄金分割点比比皆是。例如：F点，即是AC、BE的黄金分割点，也是AG、BJ的黄金分割点。也就是说，在五角星的一条边中，可以列出多个黄金比例，以AC边为例，就有：正五边形的边长AB与正五角星的边长之比也是黄金数。如果连续连接小五边形FGHLJ的各对角线，又会出现一个新的正五角星。不断连接下去，会形成一连串的五角星套。正是因为五角星浑身都是黄金数，才使人感到奇妙无比，变数学这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。任何一个数字都是前面两数字的总和：2=1+1、3=2+1、5=3+2、8=5+3，如此类推。有人说这些数字是他从研究金字塔所得出，和金字塔上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5813），而高底和底面百分比率是，那即是上述神秘数字的任何两个连续比率，譬如55/89=0618，89/1440618，144/233=0618。 另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的。还有，底部四个边的总数是3652422寸，这个数字等于光年的一百倍！这组数字十分有趣，0618的倒数是。譬如14/891618、233/1441618，而06181618就等于1。有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。 神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0618，1618就叫做黄金分割率（Golden Section）。幻莫测。黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。人体各部分之间的比例也符合这一规律。中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以上的长度与身高之经接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：标准美人“。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金律为标准进行创作如古希腊神话中的太阳神中的太阳神阿波罗、女神维纳斯的体型，完全与黄金律相符。作为建筑艺术，也遵循着这一规律。文艺复兴时的西方艺术家长艺术理论家把黄金分割律作为艺术建筑必须产物的规律。古希腊的巴底隆神庙严整的大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的，因此看上去显得威武、壮观，成为繁荣和美德的象征。0.618在数学中叫黄金比值，又称黄金数。这是意大利著名画家达.芬奇给它的美称。欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（JKepler15711630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商高定理”）；另外一个就是黄金分割。前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。”中国最古老的古琴, 处处透着黄金分割的神奇. 至于古琴发明何时已无考, 传说中有伏羲, 神农, 或是舜帝. 琴背两池, 左龙右凤. 控制琴弦发音的枢纽有三: 轸, 凫掌, 凤嗉. 琴有五弦, 音有八度. 琴节为徽, 以琴长全体三分损一, 又三分益