江西省南昌十九中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10个小题；每小题6分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（6分）已知一个平面，为空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线b使得（） a b b 与b相交 c 与b是异面直线 d b考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直解答： 解：当直线a与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故a错当直线a与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故b错当直线a在平面内时，平面内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故c错不管直线a与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线b垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故d正确故选d点评： 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力2（6分）（2015春南昌校级期中）若空间四边形abcd的两条对角线ac、bd的长分别是8、12，过ab的中点e且平行于bd、ac的截面四边形的周长为（） a 10 b 20 c 8 d 4考点： 棱锥的结构特征专题： 计算题分析： 如图，根据三角形的中位线定理知，ef、eh的长为其第三边的一半，根据平行四边形的周长公式即得解答： 解析：设截面四边形为efgh，f、g、h分别是bc、cd、da的中点，ef=gh=4，fg=he=6，周长为2（4+6）=20答案：b故选b点评： 本题主要考查了棱锥的结构特征，以及三角形的中位线定理，属于基础题3（6分）如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（） a b c d 考点： 斜二测法画直观图专题： 作图题分析： 由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半由于y轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以选出正确选项解答： 解：由斜二测画法的规则知与x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，a选项符合题意故应选a点评： （1）建立直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o（2）画出斜坐标系：在画直观图的纸上（平面上）画出对应的x轴和y轴，两轴相交于点o，且使xoy=45度（或135度），它们确定的平面表示水平平面（3）画对应图形：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变； z轴也保持不变在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半（4）对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段（5）擦去辅助线：图画好后，要擦去x轴，y轴及为画图添加的辅助线4（6分）（2015春南昌校级期中）对于空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，且有=x+y+z（x，y，zr），则x=2，y=3，z=2是p，a，b，c四点共面的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可解答： 解：若p，a，b，c四点共面，则满足x+y+z=1，则x=2，y=3，z=2不一定成立，即必要性不成立若x=2，y=3，z=2，则满足x+y+z=2+32=1，则p，a，b，c四点共面，即充分性成立，故x=2，y=3，z=2是p，a，b，c四点共面的充分不必要条件，故选：a点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键5（6分）（2015春南昌校级期中）e、f分别是边长为1的正方形abcd边bc、cd的中点，沿线af，ae，ef折起来，则所围成的三棱锥的体积为（） a b c d 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可解答： 解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为直角efc，高为1，所以三棱柱的体积：1=，故选：d点评： 本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力6（6分）（2014南阳三模）已知三棱锥的俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（） a b c d 考点： 简单空间图形的三视图专题： 计算题分析： 利用俯视图与侧视图，我们可以画出其直观图，根据直观图，我们即可得到该三棱锥的正视图的形状解答： 解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其主视图为高为2的三角形，且中间有一虚线故选：c点评： 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中三棱锥的侧视图与俯视图，画出其直观图，是解答本题的关键7（6分）（2015春南昌校级期中）若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（） a b c d 考点： 二面角的平面角及求法专题： 计算题分析： 以正三棱锥oabc的顶点o为原点，oa，ob，oc为x，y，z轴建系，设侧棱长为1，分别求出侧面及底面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案解答： 解：以正三棱锥oabc的顶点o为原点，oa，ob，oc为x，y，z轴建系，设侧棱长为1，则a（1，0，0），b（0，1，0），c（0，0，1），侧面oab的法向量为=（0，0，1），底面abc的法向量为=（，），cos，=故选b点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，向量法求二面角比较简单，但要建立恰当的坐标系8（6分）（2015春南昌校级期中）在棱长不a的正方体abcda1b1c1d1中，m为ab的中点，则点c到平面a1dm的距离为（） a b a c a d a考点： 点、线、面间的距离计算专题： 计算题分析： 连接a1c、mc，三棱锥a1dmc就是三棱锥ca1md，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点c到平面a1dm的距离解答： 解：连接a1c、mc可得=a1dm中，a1d=，a1m=md=三棱锥的体积：所以d （设d是点c到平面a1dm的距离）=故选a点评： 本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键9（6分）（2015春南昌校级期中）在直角坐标系中，a（2，3），b（3，2），沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则ab的长度为（） a b 4 c 3 d 2考点： 点、线、面间的距离计算专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 作adx轴，垂足为d，作cdx轴，bcy轴，交于点c，利用余弦定理，计算ac，利用勾股定理，计算ab解答： 解：如图所示，作adx轴，垂足为d，作cdx轴，bcy轴，交于点c，则adc=120，ad=3，cd=2，bc=5，bcac在adc中，由余弦定理可得ac2=9+4232cos120=19在abc中，ab=2故选：d点评： 本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10（6分）（2015江西模拟）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） a b 1 c d 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体，去掉两个全等的四棱锥，由此计算它的体积即可解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体，去掉两个全等的四棱锥aa1b1mn和dd1c1mn，且长方体的长为2，宽为1，高为1，四棱锥的底面为边长是2和，高为1；如图所示：该几何体的体积为：v几何体=v长方体2v四棱锥=211221=故选：c点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分11（5分）（2015春南昌校级期中）正四面体sabc中，d为sc的中点，则bd与sa所成角的余弦值是考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间位置关系与距离分析： 由题意画出图象再取ac的中点e，连接de，be，则可证得bde就是bd与sa所成的角，在三角形bde中利用余弦定理求解即可解答： 解：如图取ac的中点e，连接de、be，则desa，bde就是bd与sa所成的角设sa=a，则bd=be=，de=，在中，cosbde=，bd与sa所成角的余弦值故答案为：点评： 本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题12（5分）过三棱柱abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有6条考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 压轴题；存在型分析： 本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱abca1b1c1，结合图象分析即可得到答案解答： 解：如下图示，在三棱柱abca1b1c1中，过三棱柱abca1b1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线有：de、dg、df、eg、ef、fg共有6条故答案为：6点评： 要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件13（5分）如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为a的正方体，m、n分别是下底面的棱a1b1，b1c1的中点，p是上底面的棱ad上的一点，ap=，过p、m、n的平面交上底面于pq，q在cd上，则pq=a考点： 平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征专题： 计算题分析： 由题设pq在直角三角形pdq中，故需要求出pd，qd的长度，用勾股定理在直角三角形pdq中求pq的长度解答： 解：平面abcd平面a1b1c1d1，mn平面a1b1c1d1mn平面abcd，又pq=面pmn平面abcd，mnpqm、n分别是a1b1、b1c1的中点mna1c1ac，pqac，又ap=，abcda1b1c1d1是棱长为a的正方体，cq=，从而dp=dq=，pq=a故答案为：a点评： 本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明14（5分）如图，m是正方体abcda1b1c1d1的棱dd1的中点，给出下列命题：过m点有且只有一条直线与直线ab、b1c1都相交；过m点有且只有一条直线与直线ab、b1c1都垂直；过m点有且只有一个平面与直线ab、b1c1都相交；过m点有且只有一个平面与直线ab、b1c1都平行其中真命题是（把你认为正确命题的序号都填上）考点： 空间中直线与直线之间的位置关系专题： 计算题分析： 需要构造一个过点m且与直线ab、b1c1都相交的平面，就可判断；利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线ab、b1c1都相交的平面，即可判断利用线面平行的性质来判断即可解答： 解：过m点与直线ab有且只有一个平面，该平面与直线b1c1相交，设交点为p，连接mp，则mp 与直线ab相交，过m点有且只有一条直线与直线ab、b1c1都相交；正确直线bc直线b1c1，直线bc与直线ab确定平面abcd，过点m有且只有直线d1d平面abcd即过点m有且只有直线d1dab，bc，过点m有且只有直线d1dab，b1c1过m点有且只有一条直线与直线ab、b1c1都垂直；正确过m点与直线ab有且只有一个平面，该平面与直线b1c1相交，过m点与直线b1c1有且只有一个平面，该平面与直线ab相交，过点m不止一个平面与直线ab、b1c1都相交，错误过m分别作ab，b1c1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，该平面与ab，b1c1平行，且只有该平面与两直线平行，正确故答案为点评： 本题主要考查了异面直线的概念与性质，为多选题，必须逐个判断三、解答题：本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤15（12分）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，pd平面abcd，pd=ad=2，e、f、g分别为pc、pd、bc的中点（）求证：pa平面efg；（）求三棱锥pefg的体积考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 计算题；证明题；综合题分析： （i）取ad的中点h，连接gh，fh，说明pa不在平面efg，fh在平面efg，证明pa平行平面efg内的直线fh即可证明pa平面efg；（ii）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥pefg的体积解答： 解（i）：如图，取ad的中点h，连接gh，fh，e，f分别为pc，pd的中点，efcdg，h分别为bc，ad的中点，ghcdefghe，f，h，g四点共面（4分）f，h分别为dp，da的中点，pafhpa不在平面efg，fh平面efg，pa平面efg（6分）（ii）解：pd平面abcd，gc平面abcd，gcpdabcd为正方形，gccdpdcd=d，gc平面pcd（8分）pf=pd=1，ef=cd=1，gc=1，（12分）点评： 本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是中档题16（14分）（2013天心区校级二模） 如图，abcd是边长为3的正方形，de平面abcd，afde，de=3af，be与平面abcd所成角为60（1）求证：ac平面bde；（2）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，并证明你的结论考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 证明题分析： （1）根据de平面abcd，由线面垂直的判定定理可知deac，由abcd是正方形可知acbd，而debd=d，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；（2）当m是bd的一个三等分点，即3bm=bd时，am平面bef取be上的三等分点n，使3bn=be，连接mn，nf，则demn，且de=3mn，而afde，且de=3af，则四边形amnf是平行四边形，从而amfn，am平面bef，fn平面bef，满足线面平行的判定定理，从而证得结论解答： （1）证明：因为de平面abcd，所以deac（2分）因为abcd是正方形，所以acbd，因为debd=d（4分）从而ac平面bde（6分）（2）当m是bd的一个三等分点，即3bm=bd时，am平面bef （7分）取be上的三等分点n，使3bn=be，连接mn，nf，则demn，且de=3mn，因为afde，且de=3af，所以afmn，且af=mn，故四边形amnf是平行四边形 （10分）所以amfn，因为am平面bef，fn平面bef，（12分）所以am平面bef （14分）点评： 本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题17（14分）（2012石家庄一模）四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形（i ）若正视图是等边三角形，f为ac的中点，当点m在棱ad上移动时，是否总有bf丄cm，请说明理由；（ii）若平面abc与平面ade所成的锐二面角为45，求直线ad与平面abe所成角的正弦值考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；由三视图还原实物图；与二面角有关的立体几何综合题专题： 综合题分析： （i ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明，可得bf丄cm（ii）求出平面ade的法向量、平面abc的法向量，利用平面abc与平面ade所成的锐二面角为45，可得求出平面abe的法向量，计算，即可得到直线ad与平面abe所成角的正弦值解答： 解：（i ）若正视图是等边三角形，f为ac的中点，当点m在棱ad上移动时，总有bf丄cm取bc中点o，连接ao，由俯视图可知，ao面bcde，取de中点h，连接oh，ohbc以oc、oh、oa分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，设a（0，0，），b（1，0，0），c（1，0，0）f（）设m（x，2x，（1x），bf丄cm（ii）d（1，2，0），设a（0，0，a）（a0），设平面ade的法向量为，可取平面abc的法向量为平面abc与平面ade所成的锐二面角为45，解得设平面abe的法向量为，可取直线ad与平面abe所成角的正弦值为点评： 本题考查三视图与直观图的转换，考查线线垂直，考查直线与平面的所成角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题18（15分）（2015银川模拟）已知在直三棱柱abca1b1c1中，ab=aa1=2，acb=，点d是线段bc的中点（1）求证：a1c平面ab1d；（2）当三棱柱abca1b1c1的体积最大时，求直线a1d与平面ab1d所成角的正弦值考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （1）设a1bab1=o，连接od，利用三角形的中位线定理可得：a1cod，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）当三棱柱abca1b1c1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当ac=bc，三角形abc为正三角形时取最大值，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线a1d与平面ab1d所成角的正弦值解答： （1）证明：如图，设a1bab1=o，连接od，则od为三角形a1bc的中位线，a1cod，od平面ab1d，a1c平面ab1d，a1c平面ab1d；（2）解：当三棱柱abca1b1c1的底面积最大时，体积最大，2acbcacbc=acbc，当ac=bc，三角形abc为正三角形时面积取最大值，以d为原点建立如图所示坐标系，则d（0，0，0），a（，0，0），b1（0，1，2），=（，0，0），=（0，1，2），设平面