江苏省南京师大附中高三数学上学期12月月考试卷（含解析）.doc

江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月 月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上1（5分）在复平面内，复数3+i和1i对应的点间的距离为2（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是3（5分）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）1113141617192022个数20403010则这种卉的平均花期为天4（5分）已知sin=，（，），则cos（）=5（5分）直线xcos+y+2=0的倾斜角范围为6（5分）设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（1）=1，则f=7（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为8（5分）若等边abc的边长为，平面内一点m满足，则=9（5分）有下面四个判断：命题“设a、br，若a+b6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、br，a2+b22（ab1）”的否定是“a、br，a2+b22（ab1）”；若函数的图象关于原点对称，则a=1其中正确的有（只填序号）10（5分）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为11（5分）设n为正整数，计算得，f（4）2，f（16）3，观察上述结果，可推测一般的结论为12（5分）已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc=2；则此棱锥的体积为13（5分）设函数f（x）=ax33x+1（xr），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为14（5分）已知f（x）是定义在r上不恒为零的函数，对于任意的x，yr，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立 数列an满足an=f（2n）（nn*），且a1=2则数列的通项公式an=二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设abc的内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，且（1）求证：；（2）若cos（ac）+cosb=1，求角b的大小16（14分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acb=90，bc=cc1，e、f分别为ab、aa1的中点（1）求证：直线ef平面bc1a1；（2）求证：efb1c17（14分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115|t15|（）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t30，tn）的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18（16分）已知抛物线d的顶点是椭圆c：+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（1）求抛物线d的方程；（2）过椭圆c右顶点a的直线l交抛物线d于m、n两点若直线l的斜率为1，求mn的长；是否存在垂直于x轴的直线m被以ma为直径的圆e所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由19（16分）设函数f（x）=xalnx（ar）（）讨论函数f（x）的单调性（）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由20（16分）记数列an的前n项和为sn（nn*），若存在实常数a，b，c，对于任意正整数n，都有an+sn=an2+bn+c成立（1）已知a=b=0，a10，求证：数列an（nn*）是等比数列；（2）已知数列an（nn*）是等差数列，求证：3a+c=b；（3）已知a1=1，b0且b1，b+c=2设为实数，若nn*，求的取值范围江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上1（5分）在复平面内，复数3+i和1i对应的点间的距离为2考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：求出两个复数的坐标，然后求出两点减的距离解答：解：在复平面内，复数3+i和1i对应的点为（3，1），（1，1），它们之间的距离为：；故答案为：点评：本题是基础题，考查复数与复平面之间的点的坐标的对应关系，两点减的距离公式的应用，考查计算能力2（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意，所求概率符合几何概型的概率求法，由此只要求出正方形的面积以及半圆的面积，求面积之比即可解答：解：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型的概率，所以豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是故答案为：点评：本题考查了几何概型的概率求法；豆子落在正方形内切圆的上半圆（圆中阴影部分）中的概率是几何概型的概率，只要明确事件的集合对应的区域面积，求面积比即可3（5分）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期（天）1113141617192022个数20403010则这种卉的平均花期为16天天考点：众数、中位数、平均数 专题：计算题分析：根据题意，算出每一组花期的平均花期，根据每一组花期的花卉个数，做出所有花的花期之和，用花期之和除以所用花的个数，得到答案解答：解：由表格知，花期平均为12天的有20个，花期平均为15天的有40个，花期平均为18天的有30个，花期平均为21天的有10个，这种花卉的评价花期是=16，故答案为：16点评：本题考查一组数据的平均数，这里考查的是这组数据的加权平均数，这种问题容易出错的地方是忽略每一个数字的权重，本题好似一个基础题4（5分）已知sin=，（，），则cos（）=考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系 专题：三角函数的求值分析：由的范围，得到cos大于0，由sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，利用诱导公式化简所求式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值解答：解：sin=，（，），cos=，则cos（+）=cos+（+）=cos（+）=coscos+sinsin=+=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键5（5分）直线xcos+y+2=0的倾斜角范围为考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：由于直线xcos+y+2=0的斜率为，设此直线的倾斜角为，则0，且tan，由此求出的围解答：解：由于直线xcos+y+2=0的斜率为，由于1cos1，设此直线的倾斜角为，则0，故tan故答案为：点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题6（5分）设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（1）=1，则f=1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：f=f（6713+1）=f（1）=f（1）=1解答：解：f（x）是奇函数且周期为3，f（1）=1，f=f（6713+1）=f（1）=f（1）=1故答案为：1点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和函数的奇偶性的灵活运用7（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为4考点：循环结构 专题：计算题分析：利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论解答：解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=22+1=5；第三次循环，i=3，a=35+1=16；第四次循环，i=4，a=416+1=6550，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：点评：本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构8（5分）若等边abc的边长为，平面内一点m满足，则=2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由等边abc的边长为，可得=6再利用向量的三角形法则可得=，代入=即可得出解答：解：如图所示，由等边abc的边长为，=6=，=+6=2故答案为：2点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积运算法则，属于基础题9（5分）有下面四个判断：命题“设a、br，若a+b6，则a3或b3”是一个假命题；若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题；命题“a、br，a2+b22（ab1）”的否定是“a、br，a2+b22（ab1）”；若函数的图象关于原点对称，则a=1其中正确的有（只填序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：规律型分析：利用逆否命题与原命题的等价性进行判断利用复合命题与简单命题真假关系判断利用含有量词的命题的否定进行判断利用函数奇偶性的定义进行判断解答：解：当a=3且b=3时，a+b=6，所以命题正确，根据逆否命题和原命题的等价性可知，若a+b6，则a3或b3”为真命题，错误若“p或q”为真命题，则p、q至少有一个为真命题，错误根据全称命题的否定是特称命题，命题“a、br，a2+b22（ab1）”的否定是“a、br，a2+b22（ab1）”，错误若函数的图象关于原点对称，则f（0）=ln（a+2）=0，解得a+2=1，即a=1正确故答案为：点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强10（5分）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长解答：解：双曲线=1的渐近线方程为y=，即ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心为c（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|cd|=，另一方面，圆心c到双曲线的渐近线ay=0的距离为d=，所以d=，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2故答案为：2点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题11（5分）设n为正整数，计算得，f（4）2，f（16）3，观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）（nn*）考点：归纳推理 专题：探究型分析：根据已知中的等式：，f（4）2，f（16）3，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案解答：解：观察已知中等式：得，f（4）2，f（16）3，则f（2n）（nn*）故答案为：f（2n）（nn*）点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12（5分）已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形，sc为球o的直径，且sc=2；则此棱锥的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出oo1，进而求出底面abc上的高sd，即可计算出三棱锥的体积解答：解：根据题意作出图形：设球心为o，过abc三点的小圆的圆心为o1，则oo1平面abc，延长co1交球于点d，则sd平面abc，=，高sd=2oo1=，abc是边长为1的正三角形，v三棱锥sabc=故答案为点评：利用截面圆的性质求出oo1是解题的关键13（5分）设函数f（x）=ax33x+1（xr），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题分析：先求出f（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x1，1都有f（x）0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围解答：解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令f（x）=3ax23=0解得x=，当x时，f（x）0，f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所以f（ ）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（ ）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求故答案为：4点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14（5分）已知f（x）是定义在r上不恒为零的函数，对于任意的x，yr，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立 数列an满足an=f（2n）（nn*），且a1=2则数列的通项公式an=n2n考点：数列的函数特性 专题：计算题分析：可根据an=f（2n）再利用对于任意的x，yr，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到递推关系式an+1=2an+22n然后两边同除以2n+1可构造出数列是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了解答：解：由于an=f（2n）则an+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）对于任意的x，yr，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）令x=2n，y=2则f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）an+1=2an+22n数列是以为首项公差为1的等差数列an=n2n点评：此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，是函数与数列的综合题解题的关键是分别赋予x=2n，y=2得到an+1=2an+22n然后构造出数列是以为首项公差为1的等差数列后就可求解同时要对递推关系式an+1=pan+qn通过两边同除以qn+1构造出为等差数列进而求出an的通项公式二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设abc的内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，且（1）求证：；（2）若cos（ac）+cosb=1，求角b的大小考点：解三角形 专题：解三角形分析：（1）由条件可得 cosb=，再利用基本不等式证得成立（2）由cos（ac）+cosb=1，可得sinasinc=再由可得 sin2b=sinasinc=，求得sinb=，可得b的值解答：解：（1）由条件可得 cosb=，故成立（2）cos（ac）+cosb=cos（ac）cos（a+c）=2sinasinc=1，sinasinc=再由可得 sin2b=sinasinc=，sinb=，故b=点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题16（14分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acb=90，bc=cc1，e、f分别为ab、aa1的中点（1）求证：直线ef平面bc1a1；（2）求证：efb1c考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：证明题分析：（1）欲证直线ef平面bc1a1，只需证明ef平行平面bc1a1中的一条直线即可，由e、f分别为ab、aa1的中点，可知efa1b，efa1b平面bc1a1，问题得证（2）欲证efb1c，只需证明ef的平行线a1b垂直于b1c即可，也即证明b1c垂直于a1b所在的平面ba1c1，又须证明b1c垂直于平面ba1c1中的两条相交直线，由三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，以及acb=90，bc=cc1，极易证明bc1b1c，a1c1b1c，而bc1，a1c1为平面ba1c1中的两条相交直线，问题得证解答：解：（1）e、f分别为ab、aa1的中点，efa1bef平面bc1a1，a1b平面bc1a1ef平面bc1a1（2）acb=90，acbc，三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，accc1，ac平面bb1c1c，acb1c，又a1c1ac，a1c1b1c，bc=cc1，bccc1，bc1b1cb1c平面ba1c1，b1ca1b由（1）知，efa1befb1c点评：本题主要考察了空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考察了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力17（14分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115|t15|（）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1t30，tn）的函数关系式；（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用 专题：应用题；分类讨论分析：（）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1t15和15t30两种情况化简得w（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可解答：解：（）由题意得，；（）因为；当1t15时，当且仅当，即t=5时取等号当15t30时，可证w（t）在t15，30上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元点评：考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力18（16分）已知抛物线d的顶点是椭圆c：+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合（1）求抛物线d的方程；（2）过椭圆c右顶点a的直线l交抛物线d于m、n两点若直线l的斜率为1，求mn的长；是否存在垂直于x轴的直线m被以ma为直径的圆e所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p0）由椭圆c：+=1可得右焦点（1，0），即可得出p；（2）把直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出；设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过e作直线x=a的垂线，垂足为f，设直线m与圆e的一个交点为g可得：|fg|2=|eg|2|fe|2=，当a=3时，|fg|2=3，此时直线m被以ap为直径的圆m所截得的弦长恒为定值解答：解：（1）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p0）由a2b2=43=1，得c=1抛物线的焦点为（1，0），p=2抛物线d的方程为y2=4x（2）设m（x1，y1），n（x2，y2）直线l的方程为：y=x4，联立，整理得：x212x+16=0，x1+x2=12，x1x2=16|mn|=设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过e作直线x=a的垂线，垂足为f，设直线m与圆e的一个交点为g可得：|fg|2=|eg|2|fe|2，即|fg|2=|ea|2|fe|2=，当a=3时，|fg|2=3，此时直线m被以ap为直径的圆m所截得的弦长恒为定值因此存在直线m：x=3满足题意点评：本题主要考查圆锥曲线的标准方程的求解、与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何基本思想方法和综合解题能力，属于难题19（16分）设函数f（x）=xalnx（ar）（）讨论函数f（x）的单调性（）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2）的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件 专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论分析：（）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）假设存在a，使得k=2a，根据（i）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（i）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题解答：解：（i）f（x）定义域为（0，+），f（x）=1+，令g（x）=x2ax+1，=a24，当2a2时，0，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+）上，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0xx1时，f（x）0；当x1xx2时，f（x）0；当xx2时，f（x）0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减（）由（i）知，a2因为f（x1）f（x2）=（x1x2）+a（lnx1lnx2），所以k=1+a，又由（i）知，x1x2=1于是k=2a，若存在a，使得k=2a，则=1，即lnx1lnx2=x1x2，亦即 （*）再由（i）知，函数在（0，+）上单调递增，而x21，所以112ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2a点评：此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中