大学物理学（第3版） 第3章 狭义相对论.ppt

1 第三章相对论概述 3 1伽利略变换和经典力学时空观 3 2狭义相对论产生的实验基础和历史条件 3 3狭义相对论基本原理洛仑兹变换 3 4狭义相对论时空观 3 5狭义相对论动力学 2 概述 19世纪末页 物理学在各个领域里都取得了很大的成功 在电磁学方面 建立了Maxwell方程 以及力 电 光 声 等都遵循的规律 能量转化与守恒定律 当时许多物理学家认为物理学已经发展到头了 正如1900年英国物理学家开尔文在瞻望20世纪物理学的发展的文章中说到 3 热辐射实验 迈克尔逊 莫雷实验 后来的事实证明 正是这两朵乌云发展为一埸革命的风暴 乌云落地化为一埸春雨 浇灌着两朵鲜花 4 普朗克量子力学的诞生 相对论问世 经典力学 量子力学 相对论 微观领域 高速领域 5 爱因斯坦 Einstein现代时空的创始人 6 相对论是二十世纪物理学最伟大的成就之一 相对论时空观的建立是人们对物理现象认识上的一个飞跃 相对论对近代物理学的发展 特别是核物理和高能物理的发展起着重大作用 1 爱因斯坦建立起来的相对论包括狭义相对论和广义相对论 狭义相对论局限于惯性参考系的时空理论 即只考虑物质运动对时 空的影响 广义相对论推广到一般参考系 加速参照系 和包括引力场在内的理论 此时时 空还受到物质分布的影响 7 2 相对性和不变性 相对论涉及到两个似乎对立的概念 相对性和不变性 相对性 是指观测的相对性 对于一个给定的现象 由于观测者不同而不同 不变性 是指一致的部分 对现象观测 有一些方面或一些规律对不同的观测者都是一样的 也叫绝对性 如E P 维格纳所说 我要说爱因斯坦最大的贡献 这一点没有得到充分强调 即指出了不变性 什么是不变性 最重要的不变性 爱因斯坦所认识的不变性 是容易描述的 即首要的是自然定律到处都一样 8 宇 弥异所也 久 弥异时也 墨子 墨经 宇 是空间的总称 久 是时间的总称 弥 是普遍的意思 前句是 空间是不同地点的总称 后句 时间是不同时刻的总称 即 空间源于物体的广延性 时间源于过程的持续性 3 爱因斯坦之前关于时空问题的一般认识 我国古代对于时空的认识 牛顿的时空观 9 伽里略变换 10变换的概念 一个事件在相对论中是 个时空点 同一事件的坐标从一个坐标系变换到另一个坐标系 叫做坐标变换 联系这两组坐标的方程 叫做坐标变换方程 这组方程就叫做坐标变换方程 10 20伽里略坐标 时空 变换 设有两坐标轴彼此平行的惯性系 S和S 系 开始计时时 两坐标系原点重合 S 系相对于S系沿X轴以速度u匀速运动 则一个事件P 在S 系中记为 X Y Z t 在S系中的记为 X Y Z t 由S S系有 由S S 系有 11 牛顿的绝对时空观 10时间间隔与参照系的运动无关即 同时性是绝对的 即在某惯性系同时发生的事件 无论是否在同一地点 在另一惯性系中也认为是同时的 20空间间隔与参照系的运动无关 即 30存在绝对参照系 空间间隔是绝对的 物体在空间中的坐标与参照系的选择有关 即x x ut 是相对的 相对性 但其相对于绝对静止参照系的位置是绝对的 12 伽里略速度变换 S S系 S S 系 因为t t 故对伽里略时 空变换 两边可同时求导 13 力学相对性原理 10加速度对伽里略变换不变 20牛顿定律对伽里略变换不变 力学相对性原理 在牛顿力学中 物体质量与其运动状态无关 m m 物体间的相互作用与参照系的选择无关 F F 因两参考系彼此作匀速直线运动 14 故只要在S系中有 任何惯性系中牛顿力学规律都是相同的 或者说从牛顿力学来看 任何惯性系都是平等的 没有那个惯性系更为优越 这就是力学相对性原理 则在S 系也一定有 成立 成立 即用力学的方法无法寻找绝对静止参照系 但其也没有否定绝对静止系的存在 力学相对性原理说明 无法用力学实验的方法来确定所在惯性系相对于另一惯性系是作匀速直线运动还是相对静止 15 3 1伽利略变换和经典力学时空观 3 1 1伽利略变换经典力学时空观 图3 1坐标变换 在同一时刻 同一物体的坐标从一个坐标系变换到另一个坐标系 叫做坐标变换 联系这两组坐标的方程 叫做坐标变换方程 设两个相对作匀速直线运动的参考系S和S 参考系S 比如一节火车车厢 相对参考系S 比如地面 沿共同的x x 轴正方向作速度为u的匀速直线运动 图3 1 设时间t t 0时 两坐标系的原点O与O 重合 某一空 时点P的坐标变换方程是 或 16 3 1 叫做伽利略坐标变换方程 3 1 2伽利略相对性原理 伽利略描述的种种现象表明 一切彼此作匀速直线运动的惯性系 对描述运动的力学规律来说是完全相同的 在一个惯性系内所作的任何力学实验都不能确定这一个惯性系是静止状态 还是在作匀速直线运动状态 或者说力学规律对一切惯性系都是等价的 这就是力学的相对性原理 也称伽利略相对性原理 或经典相对性原理 把式 3 1 对时间t求导一次 得 这就是S和S 系之间的速度变换法则 叫伽利略速度变换法则 或称经典速度相加定理 17 1 以太理论的提出 人们在研究机械波 例如声波 的传播过程 发现机械波的传播必须有弹性媒质 当时的物理学家认为可以用这个框架来解释一切波动现象 19世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波 并提出光是在以太中传播的假说 以太假说的主要内容是 以太是传播包括光波在内的电磁波的弹性媒质 它充満整个宇宙空间 以太中带电粒子振动会引起以太变形 这种变形以弹性波的形式传播 这就是电磁波 并且进一步认为以太就是人们一直在寻找的绝对静止参考系 只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量 3 2狭义相对论产生的实验基础和历史条件 18 2 光速的困惑 狭义相对论建立以前 人们认为任何速度的叠加都满足伽里略变换 但在光速领域里却碰到了困难 如前所说 以太就是绝对空间 以太中电磁波沿各方向传播的速度都等于恒量c 但在相对以太运动的惯性系中 按伽利略变换 电磁波沿各方向传播的速度并不等于恒量c 如下图中相对于光源运动的小车上所测得的光速 19 说明在高速领域伽里略速度变换碰到了困难 下面举一个天文上的例子 1731年英国的一位天文学爱好者在南方夜空的金牛座上发现了 蟹状星云 后来的观察表明 这只 螃蟹 在膨胀 膨胀速率为每年0 21 到了1920年 它的半径达到180 推算起来 其膨胀开始的时刻应在180 860年之前 即应在1060年左右 人们相信 蟹状星云应是900多年前一次超新星爆发中抛出的气体壳层 这一点在我国史籍里得到了证实 宋会要 记载 嘉佑元年三月 司天监言 客星没 客去之兆也 初 至和元年五月 晨出东方 守天关 昼见如太白 芒角四出 色赤白 凡见二十三日 20 其意是说 超新星 客星 最初出现于公元1054年 北宋至和元年 位置在金牛座 天关附近 白昼看起来赛过金星 历时23天 往后慢慢暗下来 直到1056年终嘉佑元年这位 客人 才隐没 就是说 这次超新星爆发从1054年至1056年有两年的时间 但是 这个事实却无法用伽里略变换来说明 设抛射物质的速度u 1500km s 超新星距地球 5000光年 则按伽里略变换 向着地球抛射物质的光线到达地球的时间为t1 c u 21 但当时的人们并不这样认为 他们认为不是伽里略变换不对 而是麦克斯韦方程组不服从伽里略变换 它只能在相对于以太静止的惯性系里才能成立 于是人们致力于寻找这个绝对静止参考系 而垂直于地球抛射物质的光线到达地球的时间为t2 u 这两个时间之差 t t1 t2即应是地球上可观察该次超新星爆发的时间 将有关数据代入以上两式 得 t 25年 但实际只观察到两年 这说明伽里略变换在这里不适用 22 3 迈克耳逊 莫雷的实验分析 1 使干涉仪的 臂沿着地球轨道运动速度u方向 地球相对以太速度为u 从G1到M1光束的速度为v c u 从M1到G1光束的速度为v c u 故光从G1点经M1返回的时间为t1 23 2 设光束从G1经M2反射回G1共需时间为t2 对上式整理得 光相对地面的速度为V 根据经典相对速度公式 u v c u M2 G1 24 则光束 1 与 2 的时间差为 如果把整个装置转动90 即使光束 2 与u平行 光束的时间差为 3 干涉仪转动前后 光通过两臂时间差的改变量为 考虑u c是小量 利用近似公式 25 4 那么转动过程中条纹移动数 迈克耳逊与莫雷在1887年的实验中 使臂长L 11m 所用光波长 5 9 10 7m 如果取u 3 0 104m s 为地球绕太阳公转的速度 预期 N 0 37条 这就是说 原来是干涉亮纹的地方 现在基本上是干涉暗纹 完全可以观察出来 但多次反复实验都观察不到条纹的移动 实验观测值小于0 01条 26 有一部分人不相信实验的真实性 继续改进实验设备做实验 而且春天做了夏天做 秋天做了冬天做 平地做了高山做 实验精度越来越高 能做实验的人越来越多 乃至几乎每个大学都能做 但结果仍然一样 地球上的光速与地球速度无关 洛仑兹等人提出 可能是地球拖着 以太 一道运动 地球与以太之间没有相对运动了 当然测不出速度的差别 但是这一想法又被天文上的 光行差实验 所否定 光行差实验 否定地球拖着 以太 运动 27 还有不少解释 但总有矛盾的地方 这样一来物理学面临着一场危机 对于经典物理的大厦 人们想扶起东墙却倒了西墙 想扶起西墙却倒了东墙 爱因斯坦则抛弃以太 即否定绝对静止参考系的存在 建立相对论 并提出了全新的时 空观 为什么会产生这样的现象呢 因为人们受着传统思想的束缚 仍抱着牛顿的时空观不放 抱着伽利略坐标变换不放 在这种情况下就看谁能冲破传统思想的束缚 就能在大量的实验事实面前创建新的理论 28 3 3 1狭义相对论的两条基本原理 到1900年 任何实验都没观察到以太的存在 因此 爱因斯坦认为以太根本就不存在 电磁场不是在媒质中传播的状态 而是物质存在的一种基本形态 在任何惯性系 电磁理论的基本定律 麦克斯韦方程组 应具有相同的数学形式 不过伽里略变换与旧的时空观必须抛弃 爱因斯坦提出了两个基本假设 1 相对性原理 所有物理定律在一切惯性系中都具有相同的形式 或者说所有惯性系都是平权的 在它们之中所有物理规律都一样 2 光速不变原理 所有惯性系中测量到的真空中光速沿各方向都等于c 与光源和观察者的运动状态无关 3 3狭义相对论基本原理洛仑兹变换 29 那么 什么样的变换能保证所有的物理规律对这种变换都具有不变的形式呢 什么样的变换能保证在所有惯性系中光速不变呢 30 3 3 2洛仑兹变换 事件一个事件是空间和时间的一个点 通常是指某一特定时间里某一特定地点出现或发生的 令S 系相对于S系以速度u沿X轴作匀速直线运动 且在S 系与S系原点重合时开始计时 根据爱因斯坦的两个基本原理 找出同一事件P在两个惯性系S和S 中的空间和时间坐标 x y z t 和 x y z t 之间的关系 31 初始时刻 t0 t0 0时 原点发出一光信号 经一段时间后 光信号达到P点 根据光速不变原理 光的波阵面分别为 S x2 y2 z2 c2t2 S x 2 y 2 z 2 c2t 2 32 考察O点 S中观测 任何时刻tx 0 x k x ut k 常数 k 0 考察任一点P 这样的两个量之间的关系可能具有这样的形式 S 中观测 t 时刻x ut 由于参照系间的变换是因相对运动而引起 而在Y Z方向 S和S系间无相对运动 故有 即x ut 0 上述表明 对同一空间点O 有x 0 x ut 0 33 由于现在的时空依然是各向均匀 即只限于欧几里德时空 根据相对性原理 变换式只能是线性的 即只能取x k x ut 上述表明 对同一空间点O 点 x 0 x ut 0 同样地考察O 点 S 中观测 任何时刻t x 0 S中观测 t时刻x ut x ut 0 34 x k x ut k 常数 考察任一点P 这样的两个量之间的关系可能具有这样的形式 由于参照系间的变换是因相对运动而引起 而在Y Z方向 S和S系间无相对运动 故有 根据爱因斯坦相对性原理和时空均匀性 两个惯性系是等价的 这就要求它们之间的关系必须是线性的 于是只能取x k x ut x k x ut 35 确定系数K 根据相对性原理 考虑一种简单情况 观察点 就在x轴上 根据光速不变原理则x ct x ct 由此求得 上述中 除了把u改为 u外 上面表达式应有相同的数学形式 必须有k k 即x k x ut x k x ut 于是c2tt k2 ct ut ct ut k2tt c u c u 两边对应相乘xx k2 x ut x ut 36 代入之 由x k x ut x k x ut 得 上两式消去x 或x 便得到关于时间的变换式 37 由S S系 由S S 系 38 若令 则以上两变换式又可表述为 由S S系 由S S 系 39 若令 则以上两变换式又可表述为 由S S系 由S S 系 40 3 3 3洛仑兹变换式的推导 1 L变换是爱因斯坦狭义相对论时空观的数学表达式 各个惯性系中的时间 空间量度的基准必须一致 2 L变换说明了 时空是物质的一种基本属性 时 空不再分离 而是统一的整体 与物质的运动相关 在相对论的时 空观中 不存在空无一物的时 空点 在统一四维时空中的一个时 空点对应着一个具体的事件 3 物质运动的极限速度为真空中的光速度c 41 4 L变换是比G变换更具普遍意义的变换 当u C时 当u c时 L变换确实回到G变换 故知满足G变换的牛顿定律 只能在低速范围内成立 而要想保证所有的物理规律在所有的惯性系中保持不变 只有L变换才能完成 42 3 3 4洛仑兹速度变换 伽里略变换为 其不能保证光速不变 而洛仑兹速度变换则可以保证光速不变 对其求微分 得 设S 系中有质点A以的速度匀速运动 且在t 时刻 其坐标为 t x y z S系测得A质点的时空坐标为 t x y z 则由L变换有 43 44 由S S系 由S S 系 与G变换不同处 在L变换中 x 方向的运动对y z方向的运动有影响 而G变换中不存在这个问题 式中u是S 系相对于S系沿x轴的相对速度 45 L速度变换能保证光速不变 设S 系的A质点就是光子 且其沿x轴运动 即 即在S系测得A光子的速度也是C 由L变换 得 即使光子沿y轴运动 在S系中其合速度依然为C 46 但这时光子运动方向不是沿y轴 而是与y轴成 角 且 47 例3 1有一辆火车以速度u相对地面作匀速直线运动 在火车上向前和向后射出两道光 求光相对地面的速度 解以地面为S系 火车为S 系 则光相对车向前的速度为v c 向后的速度v c代入式 3 11 则得 光向前的速度 光向后的速度 这正是光速不变原理所要求的 48 例3 2设有两个火箭A B相向运动 在地面测得A B的速度沿x轴正方向各为vA 0 9c vB 0 9c 试求它们相对运动的速度 解设地球为参考系S 火箭A为参考系S A沿x轴的正方向运动 x与x 轴同向 则 B相对A的运动速度 就是以A为参考系S 中测得B的速度 现已知B在S系中的速度 代入式 3 10 49 这就是B相对A的速度 同样可得A相对B的速度 洛仑兹速度变换表明 两个小于光速的速度合成小于光速 两个速度中有一个等于光速 或两个速度都等于光速 合成速度等于光速 这样 普遍结论是 通过速度变换 在任何惯性系中物体的运动速度都不可能超过光速 也就是说 光速是物体运动的极限速度 50 3 4 1同时的相对性 1 同时 的定义 这就是用光前进的路程来测量时间 而这样定义的理由就是光速不变 这样的定义适用于一切惯性系 光速相对于所有惯性系中的观测者以不变的速率传播 其惊人的结果是 时间一定是相对的 设A B两处发生两个事件 在事件发生的同时 发出两光信号 若在A B的中心点同时收到两光信号 则A B两事件是同时发生的 3 4狭义相对论的时空观 51 2 爱因斯坦理想的 火车对钟实验 设有一列火车相对于站台以匀速向右运动 站台上的观测者测得当列车的首尾两点与站台上的A B两点重合时 站台上的A B两点同时发出一个闪光 所谓 同时 就是两闪光同时传到站台上的中心点C 但对于列车来说 由于它向右行驶 车上的中点C 先接到来自车头方 即站台上的A点 的闪光 后接到来自车尾方 即站台的B点 的闪光 于是对于列车上的观察者C 来说 A点的闪光早于B点 就是说 对于站台参照系是同时的事件 对于列车参照系就不是同时的 即事件的同时性是相对的 52 在一个惯性系中的两个异地同时发生的事件 在另一个惯性系中观测一定不是同时发生的 这是时空均匀性和光速不变原理的一个直接结果 那么 以前人们为什么会忽视这一点呢 关键在于人们谈论时间问题时 实际上谈的是脱离物质存在的纯数学的 抽象的时间 即画在头脑中的是时间轴 因而认为无须定义 同时在人们头脑中还隐含着信息传递的速度可以是无限大的 只要承认时间是不能脱离物质而单独存在 任何信息的传递速度都是有限的 同时又假定光速不变 那么爱因斯坦关于同时性的定义问题的提出就是必然的 53 3 由洛仑兹变换证明 设在S 系中A B 两地有两事件同时发生 即tA tB 则在S系中 有 说明 若xA xB 则有tA tB即在某惯性系中同一地点同时发生事件 在其他惯性系测量 也是同时发生的 若xA xB 则tA tB 即在某惯性系不同地点同时发生的事件 在其他惯性系中测量就不是同时发生的 54 3 4 2长度的相对性 1 测量动作的同时性问题 一汽车相对于公路以速度u运动错误地测量车长是 2 本征长度与 动尺缩短 静置于S 系中的直棒 由S 系的观察者测量得棒长 x1 x2 55 S系的观察者测得运动棒的长度 由洛仑兹变换有 因S系的观察者测量时 必须有t1 t2 测量才有意义 故 56 l l0 说明处于运动状态的物体 其在运动方向上的长度缩短了 这种效应是相对的 且这种效应仅发生在运动方向上 在其他方向上没有这种效应 即只有 式中l0是相对于物体静止的观察者测得的物体的长度 我们称之为物体的本征长度 或称固有长度 如果把运动的长棒本身看成参照系 则 动尺缩短 效应 说明空间是物质的属性 空间的性质与物质的运动状况有关 在其他方向上依然是 y y0 z z0 57 之所以会出现这种 动尺缩短效应 关键仍然是光速不变引起的同时的相对性问题 因为在S 中看 S系的测量动作不是同时的 故有 虽有t1 t2但 58 长度收缩是测量的结果 不要误会为是某人眼睛看到的结果 因为同时达到观测者眼睛的光是与眼睛距离不同的各点在不同时刻发出的光 59 3 4 3时间间隔的相对性 在S系中 这两事件的时空坐标分别是 x1 t1 x2 t2 显然x1 x2 t1和t2是S系中两个同步时钟 两校准的钟 上的读数 设静止在S 系中的观察者记录到发生在S 系中某固定点X 一个事件持续时间 例如一个火炬燃烧的时间 这个时间即为本征时间 即相对于事件为静止的观察者所记录的时间 60 1 1 0 表示时间膨胀了 或说明运动着的 钟 要比静止的 钟 慢些 简称 动钟变慢 1 有时称它为时间延缓因子 这种效应是相对的 根据洛仑兹变换 2 对于一个物理过程 在某惯性系中发生在同一地点 相对静止的惯性系中测量到的过程时间间隔 称为该过程的固有时间 61 3 时间膨胀效应是一种普遍的时空属性 物质的时间属性与其运动状态有关 而与过程的具体性质和作用机制无关 4 所谓 钟 在物理上讲 可用任何一个真实事件所经历的时间间隔来度量时间的事件 因此 动钟变慢 说的是相对于观察者为运动的物理事件 其发展演化的进程将会变慢 动钟变慢 也是物质的一种时间属性 62 例3 3在实验室测量以0 9100C飞行的介子经过的直线路径是17 135m 介子的固有寿命是 2 063 0 002 s 试从时间膨胀效应和长度收缩效应说明实验结果与相对论理论的符合程度 解从时间膨胀效应说明如下 相对实验室飞行的介子 根据飞行路径长度算出它的寿命 运动时 为 时间延缓因子 由式 3 14 求出介子固有寿命的相对论理论预言值为 63 可见理论值与实验值相差0 001 s 且在实验误差范围内 64 例3 4一静止长度为l0的火箭以恒定速度u相对参照系S运动 如图3 10 从火箭头部A发出一光信号 问光信号从A到火箭尾部B需经多长时间 1 对火箭上的观测者 2 对S系中的观测者 图3 10相对S系飞行的火箭 解 1 以火箭为参考系 A到B的距离等于火箭的静止长度 所需时间为 2 对S系中的观测者 测得火箭的长度为 光信号也是以c传播 设从A到B的时间为t 在此时间内火箭的尾部B向前推进了ut的距离 所以有 解得 65 3 5 1动量 质量与速度的关系 在S 系中有两个全同粒子A B 分别沿X 轴以相对于S 系速度为u和 u相向运动并发生完全非弹性碰撞形成一复合粒子 在S 系中 运用动量守恒有 V 0即复合粒子相对于S 系静止 3 5狭义相对论动力学 66 在S系中 碰前两粒子的速度为 碰后复合粒子的速度为 即随S 系的牵连运动而具有u 这一过程在S系同样遵从动量守恒 即 将以上结果代入并整理得 67 为了进一步讨论质量与运动状态的关系 将牵连速度u换算为A质点的速度vA的函数 即求u f vA 将 2 式代入 1 右边 并整理得 68 由于碰前mB相对于S系是静止的 故称为静止质量 记作mB0 又由于在S 系中A B是全同粒子 若A球也相对于S系静止 则应有mA0 mB0 所以有 写成通式为 69 1901年 相对论出现以前 考夫曼在研究 射线 电子束 的荷质比e m的实验中发现荷质比与电子的速度有关 在力学中曾证明过 两全同粒子非对心完全弹性散射 其中一个静止 碰后两粒子末速互成900 查平于1932年在实验中发现两电子弹性散射 末速相互小于900 而该结果洽与能量守恒和相