同步练习册数学人教A版必修四答案.pdf

书书书 参考答案及解题思路 第 一 章 三 角 函 数 任意角和弧度制 第 课 时 任 意 角 自 学 导 引 逆 时 针 负 角 零 角 任 意 角 到 坐 标 原 点 重 合 轴 的 非 负 半 轴 重 合 不 属 于 任 何 一 个 象 限 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 二 或 四 解 析 因 为 是 第 三 象 限 的 角 所 以 可 得 若 为 偶 数 设 则 是 第 二 象 限 的 角 若 为 奇 数 设 则 是 第 四 象 限 的 角 故 是 第 二 或 第 四 象 限 的 角 基 础 达 标 时 针 转 了 分 针 转 了 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 解 当 大 链 轮 转 过 一 周 时 转 过 了 个 齿 这 时 小 链 轮 也 同 步 地 转 过 齿 有 周 也 就 是 小 链 轮 转 了 周 小 链 轮 转 过 的 角 度 为 解 因 与 角 终 边 相 同 的 角 可 写 成 的 形 式 与 角 终 边 相 同 的 角 可 写 成 的 形 式 所 以 图 中 阴 影 部 分 的 角 的 范 围 可 表 示 为 同 理 可 表 示 图 中 角 的 范 围 为 数 学 探 究 第 课 时 弧 度 制 自 学 导 引 弧 度 的 角 负 数 零 正 数 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 槡 基 础 达 标 解 答 扇 形 的 面 积 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 弧 度 制 下 角 的 集 合 与 实 数 集 之 间 建 立 了 一 一 对 应 关 系 错 正 确 用 角 度 制 和 弧 度 制 表 示 零 角 时 单 位 不 同 但 数 量 相 同 错 对 应 的 弧 度 制 角 是 错 解 析 当 时 当 时 所 以 选 解 设 该 扇 形 的 半 径 为 圆 心 角 为 面 积 为 弧 长 为 由 题 意 得 解 得 或 圆 心 角 或 圆 心 角 的 大 小 为 或 当 即 时 此 时 弦 长 扇 形 面 积 最 大 时 圆 心 角 等 于 弧 度 弧 长 为 解 如 图 所 示 在 作 第 一 面 翻 滚 时 点 绕 点 旋 转 所 走 过 的 弧 长 为 其 面 积 为 在 作 第 二 面 翻 滚 时 绕 点 旋 转 所 走 过 的 弧 长 为 其 面 积 为 在 作 第 三 面 翻 滚 时 绕 旋 转 显 然 弧 长 与 面 积 都 为 零 在 作 第 四 面 翻 滚 时 绕 点 旋 转 所 走 过 的 弧 长 为 其 面 积 为 第 题 图 故 所 走 过 的 路 程 长 为 其 总 面 积 为 数 学 探 究 任意角的三角函数 第 课 时 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 自 学 导 引 一 槡 槡 无 关 角 的 终 边 位 置 相 等 一 全 正 二 正 弦 三 正 切 四 余 弦 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 不 存 在 槡 槡 角 度 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 当 的 终 边 在 第 一 象 限 时 槡 槡 当 的 终 边 在 第 三 象 限 时 槡 槡 变 式 练 习 槡 基 础 达 标 解 析 槡 槡 槡 又 因 为 是 第 二 象 限 角 得 槡 槡 槡 槡 故 选 解 点 在 的 终 边 上 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 对 于 由 诱 导 公 式 一 可 得 正 确 对 于 由 但 所 以 错 误 对 于 如 的 终 边 不 相 同 但 槡 所 以 错 误 对 于 由 中 的 例 子 可 知 错 误 解 析 槡 槡 槡 当 时 槡 当 时 槡 综 上 槡 解 析 该 函 数 的 定 义 域 是 且 当 是 第 一 象 限 角 时 当 是 第 二 象 限 角 时 当 是 第 三 象 限 角 时 当 是 第 四 象 限 角 时 综 上 函 数 的 值 域 是 钝 角 解 分 别 为 第 二 第 三 象 限 角 是 第 二 象 限 角 是 第 四 象 限 角 又 与 终 边 相 同 是 第 一 象 限 角 解 槡 槡 槡 又 又 是 第 一 或 第 二 象 限 角 当 为 第 一 象 限 角 时 槡 当 为 第 二 象 限 角 时 槡 解 原 式 槡 槡 数 学 探 究 符 号 为 正 第 课 时 三 角 函 数 线 的 定 义 及 应 用 自 学 导 引 正 弦 线 余 弦 线 正 切 线 三 角 函 数 线 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 增 大 减 小 减 小 增 大 略 图 略 集 合 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 和 均 为 第 一 象 限 角 且 的 正 弦 线 大 于 的 正 弦 线 则 解 析 槡 槡 解 析 设 角 的 终 边 与 单 位 圆 交 点 为 从 而 解 当 且 有 意 义 时 函 数 有 意 义 函 数 槡 的 定 义 域 为 定 义 域 需 满 足 或 解 由 正 弦 线 可 知 则 与 的 终 边 相 同 或 与 的 终 边 关 于 轴 对 称 或 由 余 弦 线 可 知 则 与 的 终 边 相 同 或 与 的 终 边 关 于 轴 对 称 由 正 弦 线 可 知 则 与 的 终 边 相 同 或 与 的 终 边 关 于 原 点 对 称 数 学 探 究 解 析 画 出 图 形 设 动 点 与 轴 正 方 向 的 夹 角 为 则 时 每 秒 钟 旋 转 在 上 在 上 动 点 的 纵 坐 标 关 于 都 是 单 调 递 增 的 第 课 时 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 自 学 导 引 三 角 函 数 定 义 角 的 范 围 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 当 角 为 第 二 象 限 角 时 当 角 为 第 三 象 限 角 时 变 式 练 习 基 础 达 标 提 示 把 等 式 左 边 切 化 弦 证 明 略 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 法 一 的 终 边 在 直 线 上 原 式 当 在 第 二 象 限 时 原 式 当 在 第 四 象 限 时 原 式 法 二 角 的 终 边 在 直 线 上 与 符 号 相 反 槡 槡 解 原 式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 原 式 证 明 原 式 左 边 右 边 因 此 原 式 右 边 左 边 因 此 证 明 数 学 探 究 解 由 根 与 系 数 的 关 系 可 知 槡 则 槡 由 式 平 方 得 槡 槡 槡 三角函数的诱导公式 第 课 时 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 自 学 导 引 公 式 一 或 公 式 三 公 式 二 或 公 式 四 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 解 析 因 为 所 以 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 由 诱 导 公 式 知 故 错 误 正 确 槡 解 析 原 式 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 原 式 解 又 数 学 探 究 第 课 时 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 自 学 导 引 直 线 奇 变 偶 不 变 符 号 看 象 限 锐 角 的 三 角 函 数 值 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 证 明 略 基 础 达 标 解 析 原 式 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 又 故 选 解 析 解 析 错 排 除 正 确 排 除 选 槡 解 原 式 解 槡 槡 槡 槡 数 学 探 究 解 析 槡 槡 槡 所 以 槡 三角函数的图象与性质 第 课 时 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 图 象 自 学 导 引 描 点 法 三 角 函 数 线 左 右 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 略 变 式 练 习 关 于 轴 对 称 基 础 达 标 解 析 用 特 殊 点 来 验 证 时 排 除 选 项 又 时 排 除 选 项 略 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 令 解 得 解 列 表 图 象 如 图 第 题 图 列 表 在 同 一 坐 标 系 中 描 点 并 连 接 各 点 得 图 象 如 图 第 题 图 通 过 图 象 可 以 看 到 它 们 的 形 状 完 全 相 同 只 是 位 置 不 同 只 要 将 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 或 将 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 就 可 以 得 到 另 一 个 函 数 的 图 象 数 学 探 究 解 画 出 及 的 图 象 如 图 探 究 图 观 察 图 象 可 知 图 形 与 与 都 是 对 称 图 形 有 因 此 函 数 的 图 象 与 直 线 所 围 成 的 图 形 面 积 可 以 等 价 地 转 化 为 求 矩 形 的 面 积 矩 形 第 课 时 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 周 期 性 与 奇 偶 性 自 学 导 引 周 期 最 小 正 周 期 周 期 函 数 周 期 函 数 自 变 量 的 系 数 原 点 奇 函 数 轴 偶 函 数 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 槡 的 取 值 可 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 函 数 槡 是 非 奇 非 偶 函 数 和 是 偶 函 数 是 奇 函 数 故 选 解 析 为 偶 函 数 又 的 周 期 是 故 正 确 解 设 则 是 奇 函 数 由 得 数 学 探 究 第 课 时 正 弦 函 数 余 弦 函 数 的 单 调 性 和 最 值 自 学 导 引 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 最 大 值 为 此 时 的 集 合 为 最 小 值 为 此 时 的 集 合 为 基 础 达 标 槡 单 调 递 减 区 间 为 单 调 递 增 区 间 为 单 调 递 减 区 间 为 单 调 递 增 区 间 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 由 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 将 代 入 函 数 验 证 可 得 解 析 两 条 相 邻 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 函 数 的 半 个 周 期 即 令 即 函 数 的 减 区 间 为 解 值 域 为 又 函 数 的 增 区 间 即 是 的 减 区 间 由 得 即 要 求 的 单 调 递 增 区 间 为 解 即 可 取 最 小 为 此 时 由 得 所 以 函 数 的 单 调 增 区 间 为 由 得 所 以 函 数 的 单 调 减 区 间 为 与 轴 交 点 的 横 坐 标 应 满 足 解 得 所 以 与 轴 交 点 的 坐 标 为 解 槡 若 则 槡 解 得 槡 槡 若 则 槡 解 得 槡 槡 数 学 探 究 提 示 可 得 的 最 大 值 为 第 课 时 正 切 函 数 的 图 象 与 性 质 自 学 导 引 奇 增 函 数 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 单 调 递 减 区 间 为 基 础 达 标 解 析 由 得 令 得 单 调 递 减 区 间 为 无 增 区 间 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 由 题 意 得 的 周 期 为 则 解 析 令 得 在 上 单 调 递 增 故 正 确 故 为 奇 函 数 故 正 确 故 不 正 确 令 得 定 义 域 为 故 不 正 确 解 因 为 所 以 槡 当 即 时 有 最 小 值 当 即 时 有 最 大 值 数 学 探 究 解 槡 对 任 意 的 都 有 函数 的图象 第 课 时 函 数 的 图 象 自 学 导 引 向 左 向 右 缩 短 伸 长 伸 长 缩 短 向 左 向 右 缩 短 伸 长 伸 长 缩 短 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 向 左 平 移 个 单 位 长 度 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 纵 坐 标 不 变 略 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 只 需 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 答 案 选 解 析 根 据 题 意 设 则 的 图 象 关 于 轴 对 称 即 当 时 的 最 小 正 值 为 解 析 即 槡 解 将 正 弦 曲 线 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 函 数 的 图 象 再 将 曲 线 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍 得 函 数 的 图 象 然 后 将 曲 线 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍 得 函 数 的 图 象 令 则 列 表 描 点 画 图 如 图 第 题 图 数 学 探 究 第 课 时 函 数 的 图 象 自 学 导 引 振 幅 周 期 频 率 相 位 初 相 正 向 减 负 向 加 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 槡 变 式 练 习 基 础 达 标 解 析 向 右 平 移 个 单 位 得 是 一 条 对 称 轴 则 的 最 小 值 为 单 调 递 增 区 间 为 略 最 高 点 最 低 点 秒 次 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 因 此 该 函 数 的 递 增 区 间 为 即 为 故 选 解 析 记 的 最 小 正 周 期 为 由 题 意 知 又 且 可 作 出 示 意 图 如 图 所 示 一 种 情 况 第 题 图 解 由 得 函 数 的 单 调 增 区 间 为 向 左 平 移 个 单 位 横 坐 标 变 为 原 来 的 纵 坐 标 变 为 原 来 的槡 倍 槡 向 上 平 移 个 单 位 槡 解 由 过 得 又 故 由 为 偶 函 数 知 即 故 至 少 把 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 才 能 使 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 是 偶 函 数 解 由 题 意 槡 解 得 略 定 义 域 为 值 域 为 非 奇 非 偶 函 数 单 调 递 增 区 间 为 单 调 递 减 区 间 为 数 学 探 究 三角函数模型的简单应用 自 学 导 引 待 定 系 数 法 位 置 形 状 把 在 轴 右 侧 的 图 象 关 于 轴 对 称 到 左 侧 原 左 侧 图 象 去 掉 连 同 在 轴 右 侧 的 图 象 一 起 即 的 图 象 也 包 括 与 轴 的 交 点 把 在 轴 下 方 的 图 象 关 于 轴 对 称 到 上 方 原 下 方 图 象 去 掉 连 同 在 轴 上 方 的 图 象 一 起 即 的 图 象 包 括 图 象 与 轴 的 交 点 周 期 性 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 槡 伏 秒 电 压 的 最 大 值 为 槡 伏 第 一 次 取 得 最 大 值 的 时 间 秒 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 周 期 频 率 秒 时 秒 时 秒 时 秒 时 秒 时 路 程 位 移 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 由 图 象 知 因 为 所 以 解 得 所 以 这 段 时 间 水 深 的 最 大 值 是 故 选 解 析 由 条 件 知 排 除 过 点 故 排 除 解 析 图 象 的 上 下 部 分 的 分 界 线 为 得 且 解 当 质 点 从 点 转 到 图 示 点 位 置 时 点 转 过 的 角 度 为 则 由 任 意 角 的 三 角 函 数 得 点 的 纵 坐 标 为 此 即 所 求 的 函 数 关 系 式 点 的 运 动 周 期 为 频 率 解 如 图 以 为 原 点 过 点 的 圆 的 切 线 为 轴 建 立 直 角 坐 标 系 第 题 图 设 点 的 坐 标 为 则 设 则 又 即 图 象 如 图 所 示 解 由 表 中 数 据 知 周 期 由 得 由 得 由 题 意 知 当 时 才 可 对 冲 浪 者 开 放 由 得 即 故 可 令 中 分 别 为 得 或 或 在 规 定 时 间 上 午 至 晚 上 之 间 有 个 小 时 时 间 可 供 冲 浪 者 运 动 至 数 学 探 究 提 示 证 明 略 代 入 化 简 可 得 章 末 达 标 测 试 一 解 析 最 小 正 周 期 故 选 解 析 对 于 由 可 得 是 的 整 数 倍 错 对 于 利 用 公 式得 对 对 于 的 对 称 中 心 满 足 是 函 数 的 一 个 对 称 中 心 对 对 于 函 数 的 对 称 轴 满 足 错 二 解 析 不 妨 设 气 球 在 地 面 的 投 影 为 点 则 于 是 槡 三 解 根 据 表 中 已 知 数 据 解 得 数 据 补 全 如 下 表 且 函 数 表 达 式 为 由 知 得 因 为 的 对 称 中 心 为 令 解 得 由 于 函 数 的 图 象 关 于 点 成 中 心 对 称 令 解 得 由 可 知 当 时 取 得 最 小 值 解 的 最 小 正 周 期 为 得 解 得 要 使 单 调 递 增 则 即 的 单 调 递 增 区 间 为 解 是 方 程 的 两 个 根 式 两 边 同 时 平 方 可 得 解 之 得 代 入 可 得 由 得 则 又 为 第 三 象 限 角 槡 将 代 入 可 得 槡 由 得 结 合 槡 得 槡 槡 槡 第 二 章 平 面 向 量 平面向量的实际背景及基本概念 自 学 导 引 大 小 方 向 有 方 向 起 点 方 向 长 度 零 向 量 单 位 向 量 方 向 相 同 或 相 反 长 度 相 等 且 方 向 相 同 共 线 向 量 自 由 向 量 大 小 方 向 起 点 起 点 大 小 方 向 起 点 不 一 定 一 定 移 到 同 一 条 直 线 上 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 质 量 身 高 面 积 体 积 是 数 量 重 力 加 速 度 是 向 量 变 式 练 习 相 同 若 两 个 向 量 方 向 相 同 则 它 们 的 终 点 相 同 若 两 个 向 量 的 方 向 不 相 同 那 么 它 们 的 终 点 也 不 相 同 变 式 练 习 以 共 同 始 点 为 圆 心 半 径 为 的 圆 基 础 达 标 解 分 别 是 的 中 点 又 是 的 中 点 则 与 共 线 的 向 量 有 与 的 模 相 等 的 向 量 有 与 相 等 的 向 量 有 解 如 图 第 题 图 由 知 四 边 形 是 平 行 四 边 形 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 向 量 与 方 向 相 反 不 是 同 一 向 量 有 公 共 终 点 的 向 量 的 方 向 不 一 定 相 同 或 相 反 当 时 无 意 义 故 错 误 零 向 量 与 任 何 向 量 都 是 平 行 向 量 正 确 解 析 中 还 包 含 与 方 向 相 反 的 向 量 故 错 解 析 如 图 第 题 图 解 在 正 六 边 形 中 又 与 方 向 相 同 与 相 等 的 向 量 有 数 学 探 究 次 平面向量的线性运算 第 课 时 向 量 加 法 减 法 运 算 及 其 几 何 意 义 自 学 导 引 向 量 的 加 法 三 角 形 法 则 邻 边 为 起 点 的 对 角 线 平 行 四 边 形 法 则 满 足 平 行 四 边 形 法 则 和 三 角 形 法 则 长 度 相 等 方 向 相 反 零 向 量 向 量 加 向 量 的 相 反 向 量 向 量 的 减 法 表 示 从 向 量 的 终 点 指 向 向 量 的 终 点 的 向 量 的 起 点 相 同 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 解 析 如 图 第 题 图 解 析 平 行 四 边 形 对 角 线 相 等 为 矩 形 槡 东 北 方 向 第 题 图 解 如 图 所 示 设 表 示 水 流 的 速 度 表 示 渡 船 实 际 垂 直 过 江 的 速 度 以 为 一 边 为 对 角 线 作 平 行 四 边 形 则 就 是 渡 船 的 速 度 在 中 即 渡 船 要 垂 直 地 渡 过 长 江 其 航 向 应 为 北 偏 西 解 四 边 形 为 平 行 四 边 形 又 知 四 边 形 为 菱 形 为 正 三 角 形 槡 解 由 知 与 所 在 直 线 垂 直 即 又 为 平 行 四 边 形 四 边 形 为 菱 形 即 应 满 足 即 矩 形 的 对 角 线 相 等 当 与 所 在 直 线 垂 直 时 满 足 不 可 能 的 两 条 对 角 线 不 可 能 平 行 与 不 可 能 为 共 线 向 量 也 就 不 可 能 为 相 等 向 量 了 拓 展 训 练 知 能 提 升 平 行 四 边 形 第 题 图 解 析 如 图 固 定 以 为 起 点 作 则 的 终 点 在 以 为 圆 心 为 半 径 的 圆 上 由 图 可 见 当 在 处 时 取 最 小 值 当 在 处 时 取 最 大 值 解 可 作 菱 形 使 则 第 题 图 即 为 正 三 角 形 又 第 题 图 解 如 图 所 示 过 作 则 槡 且 且 槡 即 证 明 因 为 分 别 是 的 中 点 所 以 有 得 数 学 探 究 解 析 由 平 行 四 边 形 法 则 知 当 该 平 行 四 边 形 为 菱 形 时 对 角 线 平 分 内 角 第 课 时 向 量 数 乘 运 算 及 其 几 何 意 义 自 学 导 引 相 反 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 伸 长 或 压 缩 倍 再 伸 长 或 压 缩 倍 与 直 接 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 先 伸 长 或 压 缩 倍 所 得 结 果 相 同 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 先 伸 长 或 压 缩 倍 再 与 表 示 向 量 的 有 向 线 段 先 伸 长 或 压 缩 倍 后 相 加 与 直 接 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 伸 长 或 压 缩 倍 所 得 结 果 相 同 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 先 相 加 再 伸 长 或 压 缩 倍 与 将 表 示 向 量 的 有 向 线 段 先 伸 长 或 压 缩 倍 再 相 加 所 得 结 果 相 同 存 在 唯 一 实 数 使 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 证 略 解 与 共 线 存 在 实 数 使 得 即 是 不 共 线 的 非 零 向 量 基 础 达 标 证 略 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 且 与 有 公 共 点 故 三 点 共 线 解 析 若 三 点 共 线 则 即 消 去 得 解 析 由 原 式 可 得 解 得 证 明 又 解 解 如 图 利 用 向 量 求 和 的 平 行 四 边 形 法 则 作 出 向 量 从 图 中 可 知 三 点 共 线 证 明 如 下 第 题 图 因 为 故 有 所 以 又 因 为 有 公 共 点 所 以 三 点 共 线 数 学 探 究 证 明 设 则 又 向 量 与 共 线 又 是 公 共 点 故 三 点 共 线 平面向量的基本定理及坐标表示 第 课 时 平 面 向 量 基 本 定 理 自 学 导 引 平 面 向 量 基 本 定 理 基 底 两 个 向 量 不 共 线 夹 角 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 变 式 练 习 解 假 设 与 共 线 则 即 这 个 方 程 组 无 解 表 明 使 的 不 存 在 与 不 共 线 基 础 达 标 解 又 三 点 共 线 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件 知 存 在 实 数 使 得 即 有 得 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 由 题 知 故 选 解 析 由 图 观 察 并 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 可 知 解 析 由 向 量 夹 角 定 义 可 知 与 的 夹 角 为 的 补 角 而 所 以 与 的 夹 角 为 或 解 析 以 为 边 作 平 行 四 边 形 则 由 得 平 行 四 边 形 为 矩 形 由 图 形 易 知 直 线 在 轴 上 的 截 距 为 第 题 图 证 明 与 共 线 存 在 唯 一 实 数 使 得 与 共 线 存 在 唯 一 实 数 使 得 由 得 即 又 与 不 共 线 由 平 面 向 量 基 本 定 理 得 有 即 故 与 共 线 解 连 接 并 延 长 交 于 则 为 的 中 点 设 则 比 较 得 数 学 探 究 解 析 由 知 点 为 的 重 心 设 点 为 底 边 的 中 点 则 所 以 有 故 第 课 时 平 面 向 量 的 正 交 分 解 坐 标 表 示 及 坐 标 运 算 自 学 导 引 正 交 分 解 几 何 法 字 母 法 坐 标 法 这 两 个 向 量 相 应 坐 标 的 和 这 两 个 向 量 相 应 坐 标 的 差 这 个 实 数 乘 原 来 向 量 的 相 应 坐 标 终 点 的 坐 标 始 点 的 坐 标 相 同 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 槡 变 式 练 习 解 变 式 练 习 解 由 和 得 设 点 则 由 可 得 解 得 所 以 点 的 坐 标 是 基 础 达 标 解 因 为 所 以 又 可 得 解 设 顶 点 的 坐 标 为 由 得 解 得 顶 点 的 坐 标 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 特 殊 化 不 妨 设 利 用 坐 标 法 以 为 原 点 为 轴 为 轴 建 立 直 角 坐 标 系 则 解 析 由 得 即 解 由 题 意 若 在 轴 上 只 需 所 以 若 在 轴 上 只 需 所 以 若 在 第 二 象 限 只 需 数 学 探 究 解 设 点 则 即 若 点 在 第 一 三 象 限 的 角 平 分 线 上 则 得 第 课 时 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 自 学 导 引 与 共 线 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 且 与 共 线 变 式 练 习 解 若 与 平 行 则 所 以 此 时 所 以 当 时 与 平 行 且 反 向 基 础 达 标 解 由 知 解 得 证 明 且 即 是 一 个 梯 形 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 因 为 所 以 选 项 正 确 当 与 方 向 相 反 时 不 成 立 所 以 选 项 错 误 向 量 的 平 方 等 于 向 量 的 模 的 平 方 所 以 选 项 正 确 所 以 选 项 正 确 故 选 解 析 设 选 项 无 解 选 项 解 得 故 中 的 可 把 表 示 出 来 同 理 选 项 同 选 项 无 解 解 析 或 解 析 由 可 设 设 则 由 又 点 在 坐 标 轴 上 则 或 所 以 或 解 设 与 同 向 槡 槡 槡 即 而 故 点 的 坐 标 是 解 设 其 余 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 因 为 是 的 中 点 所 以 解 得 设 的 中 点 则 而 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 既 是 的 中 点 又 是 的 中 点 所 以 即 解 得 同 理 解 得 所 以 数 学 探 究 解 设 点 则 三 点 共 线 又 三 点 共 线 即 由 得 所 以 点 的 坐 标 为 平面向量的数量积 第 课 时 平 面 向 量 数 量 积 的 物 理 背 景 及 其 含 义 自 学 导 引 的 长 度 与 在 的 方 向 上 的 投 影 的 积 锐 角 钝 角 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 解 由 得 即 变 式 练 习 基 础 达 标 解 析 由 菱 形 的 边 长 为 可 知 答 案 选 解 解 由 槡 得 又 与 不 垂 直 由 与 夹 角 为 且 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 因 为 为 单 位 向 量 且 其 夹 角 为 所 以 解 析 在 方 向 上 的 投 影 为 正 确 正 确 正 确 由 于 值 不 确 定 故 错 误 解 由 得 即 解 又 与 的 夹 角 为 钝 角 解 得 考 虑 到 此 时 二 者 夹 角 可 能 为 而 不 是 钝 角 应 把 这 种 情 况 排 除 当 夹 角 为 时 即 两 向 量 共 线 反 向 时 又 槡 当 槡 时 与 的 夹 角 为 故 的 取 值 范 围 是 槡 槡 解 假 设 则 即 即 由 已 知 即 故 存 在 使 数 学 探 究 解 析 方 法 一 即 又 且 槡 槡 槡 方 法 二 夹 角 为 槡 槡 化 简 整 理 得 第 课 时 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 模 夹 角 自 学 导 引 槡 槡 槡 槡 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 由 与 的 夹 角 是 钝 角 则 解 得 又 不 会 反 向 变 式 练 习 存 在 基 础 达 标 解 析 由 题 意 即 所 以 槡 槡 槡 选 解 槡 槡 设 与 的 夹 角 为 槡 槡 解 若 与 垂 直 则 由 得 即 当 时 与 垂 直 若 与 平 行 则 有 解 得 即 当 时 与 平 行 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 将 上 面 两 式 左 右 两 边 分 别 相 减 得 解 析 槡 槡 槡槡 解 设 则 又 即 为 所 求 解 析 因 为 槡 当 且 仅 当 即 时 取 最 小 值 为 解 槡 槡 槡 槡 即 又 解 又 即 槡 槡 槡 槡 槡 当 即 时 取 得 最 大 值 槡 此 时 数 学 探 究 解 析 若 与 共 线 则 有 故 正 确 因 为 而 所 以 故 选 项 错 误 选 选 项 可 验 证 是 正 确 的 平面向量应用举例 自 学 导 引 向 量 的 线 性 运 算 及 数 量 积 几 何 问 题 转 化 为 向 量 问 题 向 量 运 算 翻 译 向 量 的 线 性 运 算 向 量 模 向 量 垂 直 的 等 价 条 件 向 量 平 行 共 线 的 等 价 条 件 槡 槡 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 槡 即 槡 变 式 练 习 证 明 在 平 行 四 边 形 中 为 对 角 线 与 的 交 点 设 又 与 不 共 线 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 故 点 为 的 中 点 即 对 角 线 和 互 相 平 分 变 式 练 习 解 设 木 块 的 位 移 为 则 槡 槡 在 竖 直 方 向 上 的 分 力 的 大 小 为 则 所 以 即 与 所 做 的 功 分 别 是槡 与 基 础 达 标 解 析 由 条 件 知 原 式 解 选 择 正 交 基 底 在 这 个 基 底 下 故 槡 槡 解 设 物 体 在 力 作 用 下 发 生 的 位 移 为 则 所 做 的 功 为 拓 展 训 练 知 能 提 升 第 题 图 解 析 如 图 故 选 解 析 槡 槡 又 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 析 由 可 知 为 的 中 点 即 为 圆 的 直 径 又 因 为 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 所 以 所 以 与 的 夹 角 为 解 如 图 为 的 中 点 且 为 的 中 点 第 题 图 四 边 形 为 平 行 四 边 形 同 理 可 得 又 与 所 在 的 直 线 重 合 即 三 点 共 线 解 设 则 又 与 共 线 从 而 不 共 线 故 解 如 图 所 示 第 题 图 设 水 流 速 度 为 以 为 圆 心 以 船 速 的 大 小 为 半 径 作 圆 则 向 量 的 终 点 在 圆 上 由 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 知 合 速 度 的 起 点 在 点 终 点 在 圆 上 一 点 设 小 船 行 驶 到 对 岸 的 位 移 为 在 中 设 则 即 故 要 使 最 小 则 应 有 角 最 大 由 平 面 几 何 知 识 可 知 当 与 圆 相 切 时 角 最 大 且 故 故 船 应 该 逆 水 而 上 且 船 头 与 河 岸 的 夹 角 为 时 小 船 行 驶 到 对 岸 时 位 移 最 小 证 明 即 解 设 点 的 坐 标 为 由 题 设 知 即 又 共 线 即 有 由 式 整 理 得 点 的 坐 标 为 解 槡 槡 槡 槡 槡 证 明 槡 槡 槡 槡 槡 槡 即 数 学 探 究 章 末 达 标 测 试 一 解 析 由 定 义 知 在 方 向 上 的 投 影 为 槡 槡 故 选 解 析 由 得 又 即 为 等 腰 三 角 形 解 析 以 为 基 向 量 则 由 可 得 二 解 析 槡 槡 因 为 所 以 故 解 析 因 为 所 以 三 解 槡 槡 槡 设 则 有 即 解 得 解 由 题 意 得 即 又 因 为 所 以 即 故 因 为 所 以 则 由 故 代 入 得 而 所 以 证 明 与 共 线 又 为 公 共 点 则 三 点 共 线 解 与 垂 直 即 解 得 槡 第 三 章 三 角 恒 等 变 换 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 第 课 时 两 角 差 的 余 弦 公 式 自 学 导 引 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 证 明 变 式 练 习 基 础 达 标 槡 槡 解 槡 槡 槡 槡 槡 解 槡 槡 槡 槡 槡 槡 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 原 式 解 析 槡 槡 为 锐 角 分 析 观 察 已 知 角 和 所 求 角 可 知 故 可 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 解 解 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 证 明 又 即 数 学 探 究 第 课 时 两 角 和 与 差 的 正 弦 余 弦 正 切 公 式 自 学 导 引 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 槡 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 解 又 为 第 三 象 限 角 槡 槡 槡 解 且 且 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 解 析 槡 解 解 由 于 可 得 数 学 探 究 解 且 即 即 原 式 个 第 课 时 两 角 和 与 差 的 正 弦 余 弦 正 切 公 式 自 学 导 引 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 解 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 是 方 程 的 两 个 实 数 根 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 槡 槡 当 即 时 取 得 最 大 值 解 析 或 解 析 两 式 平 方 后 相 加 得 或 又 此 时 解 由 题 设 知 在 中 即 为 等 腰 三 角 形 解 是 锐 角 且 槡 槡 槡 槡 又 均 为 锐 角 槡 槡 槡 槡 槡 数 学 探 究 解 由 条 件 得 槡 将 条 件 代 入 得 槡 是 一 元 二 次 方 程 槡 槡 的 两 根 解 方 程 得 槡 由 知 槡 从 而 存 在 使 同 时 成 立 第 课 时 二 倍 角 的 正 弦 余 弦 正 切 公 式 自 学 导 引 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 解 槡 槡 变 式 练 习 基 础 达 标 槡 解 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 原 式 解 析 由 槡 两 边 平 方 得 解 析 原 式 解 槡 槡 槡 槡 解 槡 当 即 时 槡 当 即 时 槡 数 学 探 究 解 因 为 已 知 函 数 图 象 过 点 所 以 有 即 有 槡 解 得 由 知 所 以 槡 槡 所 以 因 为 所 以 所 以 当 即 时 取 最 大 值 当 即 时 取 最 小 值 简单的三角恒等变换 第 课 时 简 单 的 三 角 恒 等 式 证 明 自 学 导 引 三 角 变 换 不 同 于 代 数 式 变 换 后 者 往 往 着 眼 于 式 子 结 构 形 式 的 变 换 变 换 内 容 比 较 单 一 而 对 于 三 角 变 换 不 仅 要 考 虑 三 角 函 数 式 结 构 方 面 的 差 异 还 要 考 虑 三 角 函 数 式 所 包 含 的 角 以 及 这 些 角 的 三 角 函 数 种 类 方 面 的 差 异 它 是 一 种 立 体 的 综 合 性 变 换 从 函 数 式 结 构 函 数 种 类 角 与 角 之 间 的 联 系 等 方 面 找 一 个 切 入 点 并 以 此 为 依 据 选 择 可 以 联 系 它 们 的 适 当 公 式 进 行 转 化 变 形 是 三 角 式 恒 等 变 换 的 重 要 特 点 三 角 恒 等 变 换 所 涉 及 的 问 题 各 种 各 样 内 容 十 分 丰 富 我 们 要 总 结 出 一 些 有 规 律 性 的 数 学 思 想 方 法 和 技 巧 提 高 对 三 角 变 换 的 理 性 认 识 槡 槡 槡 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 证 明 变 式 练 习 证 明 由 得 得 两 式 相 减 得 基 础 达 标 解 即 槡 槡 槡 槡 证 明 左 边 右 边 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 因 为 槡 槡 所 以 的 最 小 正 周 期 为 解 析 即 即 解 析 槡 槡 槡 槡 由 函 数 的 图 象 可 知 周 期 证 明 左 边 右 边 证 明 由 条 件 得 两 边 分 别 展 开 得 整 理 得 两 边 同 除 以 得 解 因 为 槡 槡 所 以 设 则 有 槡 槡 槡 而 故 所 求 的 值 域 为 证 明 由 题 意 知 设 则 即 又 即 数 学 探 究 证 明 左 边 右 边 原 等 式 成 立 第 课 时 三 角 函 数 式 的 化 简 与 求 值 要 点 突 破 教 材 导 学 变 式 练 习 变 式 练 习 基 础 达 标 解 析 原 式 槡 槡 槡 解 解 槡 当 即 时 函 数 取 得 最 小 值 所 以 时 函 数 有 最 小 值 为槡 拓 展 训 练 知 能 提 升 解 析 是 第 二 象 限 的 角 且 槡 槡 故 选 解 析 槡 槡 函 数 的 最 小 正 周 期 解 由 得 解 原 式 解 原 式 证 明 左 边 右 边 原 式 成 立 解 由 已 知 即 槡 又 即 而 槡 故 即 从 而 槡 数 学 探 究 解 槡 槡 槡 槡 槡 所 以 因