有理数的运算讲义.doc

七年级（上）-有理数运算讲义有理数的运算一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的符号； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律) 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式. 带分数可分为整数与分数两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤： 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 例如：，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】 计算：【例2】 计算：； 计算：【例3】 计算：； 计算：【巩固】 若，则 0 若，则 0【巩固】 若，则 0； 若，且，则 0.【例4】 (第14届希望杯)有一串数：，按一定的规律排列，那 么这串数中前 个数的和最小【例5】 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为的形式，又可分别表示为的形式，则 【例6】 给出一连串连续整数：，这串连续整数共有 个；它们的和是 【例7】 个不全相等的有理数之和为，则这个有理数中( )A至少有一个是零 B至少有998个正数 C至少有一个是负数 D至多有995个是负数【巩固】 若，则以下四个结论中，正确的是( )A一定是正数 B可能是负数C一定是正数 D一定是正数【例8】 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：C）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A. 28C B. 29C C. 30C D. 31C【例9】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点，第一步向左跳个单位到点，第二步由点向右跳个单位到点，第三步有点向左跳个单位到点，第四步由点向右跳个单位到点， ，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是 求电子跳蚤的初始位置点所表示的数二、有理数基本乘法、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. (乘法交换律) 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例10】 计算：【例11】 计算： 计算：【巩固】 计算： 计算：.【例12】 积的值的整数部分是 【例13】 设个正整数，任意改变他们的顺序后，记作，若 ，则（ ） A一定是奇数 B一定是偶数 C当是奇数时，是偶数 D当是偶数时，是奇数【例14】 若，是互不相等的整数，且则的值为( )A0 B4 C D无法确定【巩固】 如果4个不同的正整数，满足，那么的值是多少？ 【例15】 如果均为正数，且，那么的值等于 【例16】 若，则是（ ）A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数【巩固】 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.【巩固】 如果，则一定成立的是( )A是的相反数 B是的相反数 C是的倒数 D是的倒数【巩固】 、为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A，、同号 B，、异号 C，、异号 D、同号【巩固】 若三个数互不相等，则在中，正数一定有( )A个B个C个D个：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例17】 计算： 计算：【巩固】 计算：； 计算：.【例18】 用“”或“”填空 如果，那么 0 ； 如果，那么 0 . (3) 如果，试确定的符号.【例19】 观察下面的式子： 小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？ 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【例20】 已知、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值等于它相反数的倍. 求 的值.【例21】 计算：三、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。四、有理数的乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。五、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例22】 计算： 二、应用公式【例23】 计算： 计算：三、整体代换【例24】 计算： 四、裂项【例25】 计算： 五、分离法【例26】 计算：【例27】 1, 数轴的原点上有一个蜗牛，第次向正方向爬个单位长度，紧接着第次反向爬个单位长度，第次向正方向爬个单位长度，第次反向爬个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第次处在点 求、两点之间的距离（用单位长度表示） 若点与原点相距个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，需要多少时间才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟个单位长度，经过小时蜗牛离点多远？【例28】