（江苏专版）2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 数列 第12讲 高考中的数列专题限时集训 理.doc

1 专题限时集训专题限时集训 十三十三 高考中的数列高考中的数列 建议用时 45 分钟 1 2016 苏州期中 已知数列 an 的奇数项是公差为d1的等差数列 偶数项是公差 为d2的等差数列 sn是数列 an 的前n项和 a1 1 a2 2 1 若s5 16 a4 a5 求a10 2 已知s15 15a8 且对任意n n n 有an an 1恒成立 求证 数列 an 是等差数列 3 若d1 3d2 d1 0 且存在正整数m n m n 使得am an 求当d1最大时 数列 an 的通项公式 解 1 由题意 得 a1 1 a2 2 a3 a1 d1 1 d1 a4 a2 d2 2 d2 a5 a3 d1 1 2d1 1 分 s5 16 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 7 3d1 d2 16 2 d2 1 2d1 d1 2 d2 3 a10 2 4d2 14 3 分 2 证明 当n为偶数时 an an 1恒成立 即 2 d2 1 d1 d2 d1 1 d21 当n为奇数时 an an 1恒成立 即 1 d10 恒成立 8 分 n 1 2 n 1 2 1 d1 d2 0 于是有d1 d2 s15 15a8 8 d1 14 d2 30 45d2 8 7 2 7 6 2 d1 d2 2 an n 数列 an 是等差数列 10 分 3 若d1 3d2 d1 0 且存在正整数m n m n 使得am an 由题意得 在m n 中必然一个是奇数 一个是偶数 不妨设m为奇数 n为偶数 am an 1 d1 2 d2 m 1 2 n 2 1 d1 3d2 d1 14 分 6 3m n 1 m为奇数 n为偶数 3m n 1 的最小正值为 2 此时d1 3 d2 1 数列 an 的通项公式为an error 16 分 2 2 2016 苏锡常镇调研二 已知数列 an 的前n项和为sn a1 3 且对任意的正整 数n 都有sn 1 sn 3n 1 其中常数 0 设bn n n n an 3n 1 若 3 求数列 bn 的通项公式 2 若 1 且 3 设cn an 3n n n n 证明数列 cn 是等比数列 2 3 3 若对任意的正整数n 都有bn 3 求实数 的取值范围 解 sn 1 sn 3n 1 n n n 当n 2 时 sn sn 1 3n 从而an 1 an 2 3n n 2 n n n 又在sn 1 sn 3n 1中 令n 1 可得a2 a1 2 31 满足上式 an 1 an 2 3n n n n 2 分 1 当 3 时 an 1 3an 2 3n n n n 从而 即bn 1 bn an 1 3n 1 an 3n 2 3 2 3 又b1 1 数列 bn 是首项为 1 公差为 的等差数列 2 3 bn 4 分 2n 1 3 2 证明 当 0 且 3 且 1 时 cn an 3n an 1 2 3n 1 3n 2 3 2 3 an 1 3n 1 3 3 2 3 cn 1 an 1 2 3 3n 1 又c1 3 0 6 3 3 1 3 cn 是首项为 公比为 的等比数列 cn n 1 10 3 1 3 3 1 3 分 3 在 2 中 若 1 则cn 0 也适合 当 3 时 cn n 1 3 1 3 从而由 1 和 2 可知 an error 当 3 时 bn 显然不满足条件 故 3 2n 1 3 3 当 3 时 bn n 1 1 3 3 2 3 若 3 时 0 bn bn 1 n n n bn 1 不符合 舍去 12 分 1 3 若 0 0 0 bn bn 1 n n n 且bn 0 1 3 2 3 只需b1 1 3 即可 显然成立 故 0 1 符合条件 a1 3 若 1 时 bn 1 满足条件 故 1 符合条件 若 1 3 时 0 从而bn0 故bn 要使bn 3 成立 只需 3 即可 1 2 3 2 3 于是 1 7 3 综上所述 所求实数 的范围是 16 分 0 7 3 3 2016 南京盐城二模 已知数列 an 的前n项和为sn 且对任意正整数n都有 an 1 nsn pn p为常数 p 0 1 求p的值 2 求数列 an 的通项公式 3 设集合an a2n 1 a2n 且bn cn an 记数列 nbn ncn 的前n项和分别为 pn qn 若b1 c1 求证 对任意n n n pn qn 解 1 由a1 s1 p 得a1 p 2 由a2 s2 p2 得a1 p2 所以 p2 p 2 又p 0 所以p 3 分 1 2 2 由an 1 nsn n 1 2 得error 得an an 1 1 n an 1 n 1 2 1 2 当n为奇数时 an an 1 an 1 n 1 2 1 2 所以an n 1 8 分 1 2 4 当n为偶数时 an an 1 an 1 n 1 2 1 2 所以an 2an 1 n 2 n 2 n n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所以an error 10 分 3 证明 an 由于b1 c1 则b1与c1一正一负 1 4n 1 4n 不妨设b1 0 则b1 c1 1 4 1 4 则pn b1 2b2 3b3 nbn 1 4 2 42 3 43 n 4n 设s 则s 2 42 3 43 n 4n 1 4 2 43 n 1 4n n 4n 1 两式相减得s 3 4 2 42 1 43 1 4n n 4n 1 1 16 1 16 1 1 4 n 1 1 1 4 n 4n 1 7 48 1 12 0 n 2 从而an an 1 2 n 2 5 所以数列 an 为等差数列 4 分 当n k时 恒成立 当n k 1 时 两边取自然对数 整理得 kln q 2 ln n k n k 1 n k 1 1 k 8 分 记f x x 1 则f x ln x x 1 1 1 x ln 1 x x 1 2 记g t 1 t ln t 0 t0 1 t t 故g t 在 0 1 上为增函数 所以g t g 1 0 从而 f x 1 q 2 4 1 1 k 1 1 k 1 从而q 2 3 4 6 当q 4 时 2 4 2 只能k 2 此时bn 22n 3 符合 1 1 k 1 1 k 1 综上 bn 22n 3 16 分 5 2016 无锡期末 已知数列 an 与 bn 满足an 1 an q bb 1 bn n n n 1 若bn 2n 3 a1 1 q 2 求数列 an 的通项公式 2 若a1 1 b1 2 且数列 bn 为公比不为 1 的等比数列 求q的值 使数列 an 也是 等比数列 3 若a1 q bn qn n n n 且q 1 0 数列 an 有最大值m与最小值m 求 的取 m m 值范围 解 1 由bn 2n 3 且q 2 得an 1 an 4 所以数列 an 为等差数列 又a1 1 所以an 4n 3 3 分 2 由条件可知an an 1 q bn bn 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 q bn bn 1 q bn 1 bn 2 q b2 b1 a1 qbn qb1 a1 qbn 2q 1 6 分 不妨设 bn 的公比为 1 则an 2q n 1 2q 1 由 an 是等比数列知 a a1a3可求出q 2 2 1 2 经检验 an 2q n 1 此时 an 是等比数列 所以q 满足条件 10 分 1 2 3 由条件可知an an 1 q bn bn 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 q bn bn 1 q bn 1 bn 2 q b2 b1 a1 qbn qb1 a1 即an qn 1 q2 q a2n q2n 1 q2 q 因此q 1 0 所以a2n 2 a2n q2n 3 q2n 1 q2n 1 q2 1 0 则 a2n 单调递增 12 分 a2n 1 a2n 1 q2n 2 q2n q2n q2 1 0 则 a2n 1 单调递减 又a2n a1 q2n 1 q20 7 所以数列 an 的最小项为a2 q3 q2 q m 则 m m q q3 q2 q 1 q2 q 1 因为q 1 0 所以q2 q 1 1 3 所以 16 分 m m 1 3 1 6 2016 扬州模拟 若数列 an 中不超过f m 的项数恰为bm m n n 则称数列 bm 是数列 an 的生成数列 称相应的函数f m 是数列 an 生成 bm 的控制函数 1 已知an n2 且f m m2 写出b1 b2 b3 2 已知an 2n 且f m m 求 bm 的前m项和sm 3 已知an 2n 且f m am3 a n n 若数列 bm 中 b1 b2 b5是公差为d d 0 的等差数列 且b3 10 求d的值及a的值 导学号 19592039 解 1 m 1 则a1 1 1 b1 1 m 2 则a1 1 4 a2 4 4 b2 2 m 3 则a1 1 9 a2 4 9 a3 9 9 b3 3 3 分 2 m为偶数时 则 2n m 则bm m为奇数时 则 2n m 1 则bm m 2 m 1 2 bm error 6 分 m为偶数时 则sm b1 b2 bm 1 2 m 1 2 1 2 m 2 m2 4 m为奇数时 则sm b1 b2 bm sm 1 bm 1 m 1 2 4 m 1 2 m2 1 4 sm error 10 分 3 依题意 an 2n f 1 a f 2 8a f 5 125a 设b1 t 即数列 an 中 不超过a的项恰有t项 所以 2t a 2t 1 同理 2t d 8a 2t d 1 2t 2d 125a 2t 2d 1 即error 故 max a min 2t 2t d 3 2t 2d 125 2t 1 2t d 2 2t 2d 1 125 12 分 由error 得d 4 d为正整数 d 1 2 3 当d 1 时 max max 2t 2t d 3 2t 2d 125 2t 2t 4 4 2t 125 2t min min 2t不合题 2t 1 2t d 2 2t 2d 1 125 2t 1 2t 2 8 2t 125 8 2t 125 意 舍去 14 分 8 当d 2 时 max max 2t 2t d 3 2t 2d 125 2t 2t 1 16 2t 125 2t min min 2t 2t 1 2t d 2 2t 2d 1 125 2t 1 2t 1 128 2t 125 128 2t 125 适合题意 此时 2t a 2t b1 t b2 t 3 b5 t 6 t 3 b3 t 6 128