模块二第一到第七教.doc

模块二第一章 空间几何体 学习目标1、识记柱、锥、 台、球及其简单的组合体的结构特征;能识别一个几何体是由哪一些简单的几何体组合而成的。2、能描述平形投影和中心投影，能用平形投影的方法画空间图形的三视图与直观图。3、能理解空间几何体的三视图，能画出空间简单几何体的三视图;并能根据几何体的三视图想象立体模型。4、了解斜二测画法，会用斜二测画法画出空间几何体的直观图。5、识记柱、锥、 台、球的表面积和体积公式，并能运用公式求表面积和体积。第一讲 空间几何体基础知识1、多面体的结构特征圆 柱或或圆 锥或圆 台球或（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体，叫做棱柱。（2）棱锥 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （3）棱台：棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫棱台。2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及转轴： 3、空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图，是用正投影得到，在这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。（2）画三视图的基本要求是：长对正，高平齐，宽相等。4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴和y轴的夹角为或， z轴与x轴和y所在的平面垂直。（2）原图形中平行于坐标轴的线段直观图中仍然平行，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。5、平行投影与中心投影 平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。6、多面体的表面积（1）圆柱的表面积：（2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积：（4）球的表面积：7、几何体的体积公式：（1）柱体：（2）锥体：（3）台体：（4）球体：课前热身1、下列结论正确的是（ D ）A、各个面都是三角形的几何体是三棱锥B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转所形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D、圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 D3、如图所示，长方体ABCD 中，用截面截下一个棱锥 C，则棱锥C的体积与剩余部分的体积之比为 1：5 BCA4、如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积。（其中）解：作，则 故所求表面积为：范例分析例1 下列命题中，不正确的是（ C ） A、棱长都相等的长方体是正方体B、有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C、有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D、底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体变式训练关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ B ）A、棱柱的侧棱长都相等 B、棱锥的侧棱长都相等C、棱台的上下底面是相似多边形 D、有的棱台的侧棱长都相等点评：识记常见空间几何体的结构特征例2 一个五面体的三视图如下，主（正）视图与侧（左）视图是等腰直角三角形俯视图为直角梯形，部分边长如图所示 ，则此五面体的体积为 2 412221主（正）视图 侧（左）视图 正视图 侧视图 122 俯视图 俯视图例2图 变式图变式训练如图为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为（ C ） A、6 B、 C、24 D、32 点评：严格按排列规则放置三视图，并用虚线画出长、宽、高的关系，对准确把握几何体很有利。例3 已知正三角形ABC的边长为，那么的平面直观图的面积为S变式训练：用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC1 ，如图示，则原图的面积为点评：画几何体的直观图一般采用斜二测画法，认真理解规则中的“斜”和 “二测”，把握好角度和长度的变化。例4 一个多面体的三视图如下，则此多面体的222222外接球的表面积是（ C ）A、 B、 C、 D、变式训练：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3,那么这 正视图 侧视图 个球的体积为点评：涉及球与柱、锥的切接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。俯视图达标练习1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ C ）A、圆柱 B、圆锥 C、球体 D、圆柱 、圆锥、球体的组合体2、 当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于（C）A、45 B、60 C、90 D、120 3、如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（ A ）o1xCBo1xo1xADxo14、如图所示由哪个平面图旋转得到的（ A ）ABCCD5、如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ A ）正视图 侧视图 正视图 侧视图 正视图 侧视图 俯视图 甲 俯视图 乙 俯视图 丙 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱A、 B、 C、 D、6、底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，那么截面圆的面积为。7、把曲线和y2围成的图形绕x轴旋转,所得旋转体的体积为 。8、用任意一个平面去截正方体，下列的平面图形可能是截面的是 。正方形 长方形 等边三角形 直角三角形 菱形 六边形9、一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长。解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则解得： 10、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 （1）请画出该几何体的直观图，并求它的体积 （2）证明：ABCB(C)侧视图A正视图B俯视图1(3)若D是棱的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面,并证明你的结论。析：（1）几何体的直观图如图，(2)可证：(3)可取的中点F，证明面面第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标1、了解平面的概念和特性，能直接运用三个公理解决一些简单的空间点、线、平面关系的问题。2、理解空间中直线与直线之间的三种位置关系，会判定的两直线平行、垂直或异面，会求简单空间图形中两条异面直线所成的角。3、理解空间中直线与平面之间的三种位置关系。4、能运用直线与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面平行问题；5、能运用平面与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面平行问题。6、能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面垂直问题，会求简单空间图形中直线与平面所成的角；7、能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面垂直问题，会求简单空间图形中平面与平面所成的角。第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识1、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类：（2）异面直线所成的角定义：设是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，把所成的锐角（或直角），叫异面直线所成的角（或夹角）。范围：3、直线和平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示4、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两平面相交斜交有无数个公共点点在一条直线上垂直有无数个公共点在一条直线上5、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。6、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。课前热身1、（教材改编题）有以下命题：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线有且只有一个平面 经过三点确定一个平面 若平面与平面相交，则它们只有有限个公共点 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面其中真命题的个数为（C）A、5个 B、4个 C、3个 D、2个2、分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（D）A、异面 B、平行 C、相交 D、以上都有可能3、如图是一个正方体的展开图，如果它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（B）GHEFDBACA、 B、 C、 D、4、如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线所成角的大小为范例分析例1 下列结论：（1）公理1可用集合符号叙述为：若（2）四边形的两条对角线必相交于一点；（3）若（4）梯形是平面图形，其中正确结论的序号是（3）（4）点评：本题是直接根据三个公理解题，能将符号语言翻译成文字语言，意在让学生“识记”公理及直接应用例2 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且AFBDECHG求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明：E、H分别是AB、AD的中点，由中位线定理知：在由公理4知：四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底两腰EF、GH所在直线必相交于一点PP直线EF、EF面ABC 点P面ABC，同理可得：P平面ADC点P在平面ABC和平面ADC的交线上又平面ABC平面ADCACP直线AC故EF、GH、AC三直线交于一点点评：本题属于“理解”层次，意在学生能利用有关结论判定空间两直线的位置关系及点与平面的位置关系。例3 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（D）A、一定平行 B、一定相交 C、一定异面 D、相交或异面点评：本题属：“理解”层次，意在学生能将“文字语言”翻译成“图形语言”从而利用有关结论进行判定。BECDFA例4 空间四边形ABCD中，AB=CD,且AB与CD所成的角为30,E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。G解：取AC的中点G，连结EG、FG则(或它的补角)为EF与AB所成的角，（或它的补角）为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30=30或150由EG=FG知为等腰三角形当=30时，75当150时，15故EF与AB所成角的大小为15或75点评：本题属“简单应用”层次，意在让学生掌握求两异直线所成角的步骤与方法，从而加深理解立体几何中的计算问题贯彻一作二证三计算等步骤达标练习1、若直线上有两个点在平面外，则下列结论正确的是（A）A、直线在平面外 B、直线在平面内 C、直线上所有点都在平面外 D、直线与平面相交2、直线两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（B）A、1 B、3 C、6 D、03、如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（B）A、12对 B、24对 C、36对 D、48对4、空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（C）A、4个 B、5个 C、6个 D、12个5、是异面直线，那么直线 （B）A、同时与相交 B、至少和中一条相交C、至多与中一条相交 D、与中一条相交，一条平行6、如图，三棱柱的侧棱垂直底面，点分别是的中点，若所成的角的余弦值是（A）A、 B、 C、 D、7、长方体中，则所成的角是（A）A、60 B、90 C、30 D、458、若E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形；若空间四边形ABCD的对角线AC与BC垂直，则EFGH 是矩形;若空间四边形ABCD的对角线AC与BD相等，则EFGH是菱形。9、如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形;，EFHDDCDADBD分别是FA、FD的中点（1）证明：四边形BCHG是平行四边形; （2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？（1）证明：由已知FG=GA,FH=HD四边形BCHG为平行四边形（2）解：C、D、E、F四点共面。证明如下：由： 四边形BEFG为平行四边形 AEBCD由（1）知共面又DFH C、D、E、F四点共面。10、如图所示，正方体中.（1）求所成角的大小（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求 与所成角的大小（1）解：连结由已知, 四边形为平行四边形所成的角在故所成的角为60（2）由已知 由(1)知.又四边形ABCD是正方形，于是所成为角为90第三讲直线、平面平行的判定及其性质基础知识1、直线与平面平行（1）定义：如果直线与平面无公共点，则直线与平面平行，记作。（2）判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。用符号表示为： （3）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，用符号表示为：。2、平面与平面平行的判定与性质（1）定义：如果平面与平面无公共点，则平面与平面平行，记作：。注：两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面/面线/面”。（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。用符号表示为：，。（3）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。用符号表示为： 。注：线线平行，面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如，得不到，同时，也得不到。课前热身1、（教材改编题）如图，正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（D）A、B、C、D、2、已知是两条不重合的直线，是一个平面，有以下四个命题：；，其中真命题的个数是（ A ）A、1个B、2个C、3个D、4个3、若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（D）A、内的所有直线都与直线异面B、内不存在与直线平行的直线C、内的直线都与相交D、直线与平面有公共点4、已知正方体，下列结论中，正确的结论是（只填序号）；平面平面；平面范例分析例1 如图，矩形和梯形有公共边，求证：平面。ABDCGEF证明：过点作交于，连结又四边形是矩形又是矩形，于是四边形是平行四边形故 又平面平面平面点评：此题是线面平行的判定定理的直接应用，意在让学生熟练线面平行的判定定理。例2 如图所示，正三棱柱，各棱长均为分别是的中点，求证：平面平面。证明：中，又平面，平面平面又四边形为平行四边形 又平面平面平面又平面平面点评：此题是面面平行的判定定理的直接应用，意在让学生学会证明面面平行，弄清楚要证面面平行，先证明线面平行。ABFGCHDE例3 如图，在四面体中，截面平行于对棱和，试问截面在什么位置其截面面积最大？解：平面且平面平面 平面面 同理可证： 截面是平行四边形设（即为异面直线和所成的角或其补角）又设 则由平面几何知识得：两式相加得：即又且为定值当且仅当即时，取最大值。即当截面的顶点分别为棱的中点时，截面积最大。点评：本题是利用线面平行的性质，实现由线面平行到线线平行的转化，旨在培养学生转化能力。ACaMBDbENB例4 如图，是异面直线，与分别是上的两点，直线平面，直线平面，若，求证：。证明：连结交平面于点面，平面面 又在中，即为的中点又面，平面面，又为的中点 必是的中点点评：本题是利用面面平行，来证线线平行，并且添加了适当的线。意在灵活运用性质定理。达标练习1、若，则与的关系是（D）A、相交B、平行C、 D、或2、直线都平行于平面，则的位置关系是（D）A、平行B、相交C、异面D、以上均有可能3、已知平面内有无数条直线都与平面平行，那么（D）A、B、与相交C、与重合D、或与相交4、已知为异面直线，平面，平面，则（B）A、与都相交B、与中至少有一条相交C、与都不相交D、与中一条相交5、已知，则在内过点的所有直线中（D）A、不一定存在与平行的直线B、只有两条与平行的直线C、存在无数条与平行的直线D、存在唯一一条与平行的直线6、已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（D）A、B、平面C、平面D、7、已知直线和平面，则在下列命题中：若，则；若，则；若，则；若，则，其中假命题为（只填序号）8、正方体中，棱长为，为中点，过作一截面，则截面面积为。9、如图所示，在三棱柱中，为棱的中点，求证：平面。证明：连结，交于点，连结，则与互相平分CADBE，又是的中位线，又平面，平面平面10、如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？ABCQPDO解：当为的中点时，平面平面，证明如下：为的中点，为的中点面，面面分别为的中点，又平面，面，平面又平面平面平面第四讲直线、平面垂直的判定及其性质基础知识1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，就说直线与平面垂直，记作。注：若已知，则垂直于平面内的所有直线，即“线面线线”（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示为：，（3）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行用符号表示为：2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。PAO规定：当直线与平面垂直时，直线和平面所成的角是直角。当直线与平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角是的角。如图，就是斜线与平面所成的角。（2）线面角的范围：3、平面与平面垂直（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。如图（1）,记作：二面角 或二面角或二面角AB（1）ABO（2）（2）二面角的平面角如图（2），二面角若有（i）（ii）（iii），则就叫做二面角的平面角。注：二面角的平面角的定义可归纳为：“棱上取点，面内作线，线棱垂直，线线成角”；二面角的大小可以用它的平面角来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；平面角是直角的二面角叫直二面角。（3）平面与平面垂直定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；画法：记作：面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号表示：面面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直符号表示：VABC注：两个平面都垂直于平面，则与可能平行也可能相交，若，则。课前热身1、（教材改编题）在三棱锥中，则下列结论一定成立的是（C）A、B、C、D、OABCP2、（教材改编题）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，则图中互相垂直的平面共有（B）A、4对B、3对C、2对D、1对PACB3、如图，三棱锥中，平面，则直线与平面所成的角是（C）A、B、C、D、4、菱形，如图所示，沿对角线将向上折起，使，则二面角的余弦值的大小为：（A）DABCDABOCA、B、C、D、范例分析PCAMBNDE例1 如图，已知垂直于矩形所在的平面，分别是的中点，若，求证：平面。证明：如图，取的中点，连结分别为的中点，又为的中点，四边形为平行四边形，又平面为等腰直角三角形，又平面，而面，又平面平面点评：本题直接用线面垂直的判定定理来证明，旨在让学生熟练线面垂直的判定。例2 如图，在矩形中，沿对角线把折起，使移到，且在平面内的射影恰好落在上。BCDACO（1）求证：；（2）求证：平面平面证明：（1）由题意知：平面平面平面平面又，平面平面平面，（2）平面，又面，平面平面点评：本题是面面垂直的判定与性质定理的综合应用，旨在让学生理解线面垂直与面面垂直的转化。例3 在三棱锥中，两两垂直，求二面角的正切值。解：过作交于点，连结PHBAC两两垂直平面于是，又平面，是二面角的平面角在中，在中，故二面角的正切值为点评：本题是利用定义来作出二面角的平面角，然后再解直角三角形，皆在让学生熟练求二面角的平面角的步骤。ABCDO例4 如图，在长方体中，, ，求与平面所成角的正弦值解：连结交于点O，连结BO长方体中，于是四边形为正方形又,于是在平面中的射影为与平面所成的角在=故与平面所成角的正弦值为点评：本题属“简单应用”层次。求直线和平面所成的角关键是找直线与平面所成的角，而找直线和平面所成的角的关键是找到直线在平面内的射影。达标练习1、直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是（D）A、平行 B、垂直 C、在平面内 D、无法确定2、过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有（D）A、一个 B、无数个 C、不存在 D、一个或无个3、下列结论： ; ，其中正确的结论是 （ A ）A、 B、 C、 D、4、已知直线平面表示直线，表示平面，有以下四个结论BAC 若与相交，则必与相交，其中正确的结论个数是（C）A、4 B、3 C、2 D、15、如图，的斜边BC在平面内，两直角边AB，AC与平面所成的角分别为30，45，则平面ABC与平面所面的锐二面角的大小为（C）A、30 B、45 C、60 D、906、三棱锥PABC中，PA=PB=PC=BC, ,则直线PA与底面ABC所成的角为（D）A、90 B、45 C、30 D、607、已知平面，和直线m，给出条件 （1）当满足条件 时，有（2）当满足条件 时，有8、四面体的所有棱长都相等，顶点到底面的距离为，侧面与底面所成的二面角为60则此四面体的全面积为，体积为9、如图，在三棱锥S中，底面ABC是边长为的正三角形，D为AC的中点（1）求证：平面SBD（2）若二面角SACB为直二面角，求三棱锥SABC的体积证明：（1）为正三角形，D为AC的中点ASDBC又在中，又（2）二面角为直二面角，在10、 (2009年湖南水平考试题改编)如图所示，已知平面BCD，分别是AC、AD的中点，(1)求证：平面ABCABDCNM（2）若，求直线AC与平面BCD所成的角解（1）分别是AC、AD的中点，又平面BCD , 又（2）面BCD，为直线AC与平面BCD所成的角在故直线AC与平面BCD所成的角为30第三章 直线与方程学习目标1、理解倾斜角与斜率的概念，会根据倾斜角求直线的斜率，能运用斜率公式，根据已知直线上的两点求直线的斜率。2、掌握两直线平行与垂直的条件，并能运用它们判定两直线平行与垂直。3、掌握直线的点斜式和斜截式方程，并能运用它们求直线的方程。4、掌握直线的两点式和截距式方程，并能运用它们求直线的方程。5、掌握直线的一般式方程，并能根据直线的一般式方程求直线的斜率，截距及作直线的图形。6、理解两直线交点坐标即两直线方程对应的方程组的解，会由两直线的方程求两直线的交点坐标。7、理解两点间的距离公式，能运用公式求两点间的距离。8、理解点到直线的距离公式，能运用公式求点到直线的距离。9、识记两条平行直线间的距离公式，能直接运用公式求两条平行直线间的距离。第五讲 直线与方程基础知识1、直线的倾斜角和斜率：一条直线向上的方向与轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。2、两条直线平行和垂直的条件（1）两条不重合的直线的斜率分别为，则。（2）两条直线的斜率分别为，则。3、直线的方程（1）点斜式方程：直线过点，且斜率为，方程为：。注意：不表示垂直于轴的直线。（2）斜截式方程：直线的斜率为，且与轴交点，方程为。与轴交点的纵坐标，叫直线在轴上的截距（纵截距）。（3）两点式方程：已知两点，（其中），则过两点的直线的方程为：。（4）截距式方程：直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，直线在轴上的截距为，则直线方程为：（5）直线的一般式方程：（其中不同为0）4、两直线的交点坐标两条直线与的交点坐标是方程组的解；当方程组只有一组解时，两条直线相交；当方程组无解时，两条直线平行；当方程组有无数组解时，两条直线重合。5、两点间的距离公式，点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式。已知，则。特别地，原点，任一点到原点的距离。已知点，直线，则到直线的距离（当或时，上式也成立）两平行直线间的距离为。课前热身1、直线经过原点和点，则它的倾斜角是（ ）AA、B、C、或D、2、过点且与直线平行的直线方程是 。3、下列结论倾斜角为的直线的斜率为；经过两点的直线不存在斜率；直线的斜率为；直线的斜率为0。其中正确结论的序号是 。4、经过直线和的交点，且垂直于第一条直线的直线方程为 。5、点关于直线的对称点是（ ）DA、B、C、D、范例分析例1 过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，求面积最小时直线的方程。解：由已知，直线的斜率存在且，设的方程：令得；令，得，当且仅当，即（正值舍去）时取等号，这时方程为：点评：求直线的方程，一般用待定系数法，但在用四种特殊形式的方程求直线方程时，一要注意不同的条件，选择恰当的形式，二要注意每种形式的适用范围。例2 直线过点，直线过点。（1）若，求的值；（2）若，求的值。解：当时，直线的斜率不存在，这时，与不垂直，当时，（1） 则（2） 则故当时，；当时，。点评：求斜率问题时，一定要先考虑斜率是否存在。例3 求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。分析：截距可正可负，也可以为0，所以要分情况讨论。解：（i）当截距为0时，直线的斜率存在，可设直线方程为，又直线过点，则有。（ii）当截距不为0时，设直线，且，又直线过，则，即。综上，或为所求。点评：截距问题要考虑截距是否为零，它是分类讨论的一个标准。例4 已知点，点是轴上的点，求取最小值时点的坐标。解：如图，在轴上任取一点，作关于轴做对称点，连连交轴于，则 又 点为所求。的方程为：即令，得，点达标练习1、过点与的直线的倾斜角的正切值为（ ）BA、2B、C、D、2、如果直线与直线互相垂直，那么的值等于（ ）DA、1B、C、D、3、与直线平行且距离为的直线的方程是（ ）CA、B、C、和D、和4、点三点共线，则的值为（ ）DA、B、C、4D、75、原点到直线的距离为 。6、与直线关于轴对称的直线方程为（ ）BA、B、C、D、7、以点和为端点的线段的中垂线的方程是 。8、不论怎样变化，直线恒过定点 。9、已知的顶点，边上的中线所在的直线方程：，边上的高所在直线方程为，求（1）顶点的坐标；（2）直线的方程。解：直线方程为即为（1）由 解得顶点的坐标为（2）设顶点的坐标为，点在直线上线段的中点点在中线上即由联立，解方程组得即，又直线的方程为，整理得。10、求直线关于直线对称的直线方程。解：解法1：由得交点取直线上一点，设点关于的对称点由且线段的中点在直线上有得所求直线过与所求直线方程为即解法2：设为所求直线上任意一点，关于直线的对称点由且线段的中点在直线上又在直线上即点评：直线关于直线的轴对称问题可转化为点的对称求解，轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法。第四章 圆的方程学习目标、1、会根据条件求圆的标准方程，能由圆的标准方程求圆心坐标和半径，并能判别点与圆的位置关系。2、能判别一个不含项的二元二次方程是否表示圆，会求圆的一般方程和由圆的一般方程求圆心坐标及半径。并能求一些简单的动点的轨迹方程。3、了解圆与圆的位置关系的判定，会根据圆的方程判定圆与圆的位置关系。4、知道空间直角坐标系，能用空间直角坐标系刻画空间点的位置。5、识记空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离。6、掌握直线与圆的位置关系的判定，会根据直线和圆的方程判定直线与圆的位置关系。7、了解坐标法，能建立平面直角坐标系，利用直线与圆的方程解答一些简单的实际问题。第六讲 圆的方程基础知识1、点与圆的位置关系：点在圆上，点在圆内和点在圆外的判定，主要依据这个点和圆心的距离与半径的大小关系来判定。2、求圆的方程：常用“待定系数法”，其大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）由条件列出关于或的方程组；（3）解出或。注：圆心的三个重要性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆的圆心共线。3、圆与圆的位置关系：判断两圆的位置关系主要是利用两圆的圆心距与两圆半径和（或差）的关系，设两圆半径分别为，圆心距为，两圆位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解两圆的交点坐标即两圆的方程对应的方程组的解。4、确定空间点的坐标，求空间两点间的距离。若，则线段的中点坐标为点关于坐标原点的对称点为点关于横轴（轴）的对称点为点关于纵轴（轴）的对称点为点关于竖轴（轴）的对称点为点关于平面的对称点为点关于平面的对称点为点关于平面的对称点为已知，则课前热身1、点在圆的内部，则的取值范围是（ ）AA、B、C、或D、2、已知圆心为的圆经过两点和，且圆心在直线上，则圆的方程为 。3、圆的公切线有（ ）CA、1条B、2条C、3条D、4条4、已知点，在轴上有一点满足，则的坐标为 。5、已知圆：及直线，若直线被圆截得的弦长为，则= 。范例分析例1 已知方程：，若，试确定方程表示的曲线。分析：将原方程化为：，对的取值进行讨论即可。解：原方程配方得当，即时，原方程表示圆心在，半径为的圆；当，即时，原方程表示点；当，即时，原方程不表示任何图形。 点评：本题主要考查二元二次方程表示圆的条件。例2 若圆经过点和，试根据下列条件分别求出圆的方程。（1）若圆的面积最小，求圆的方程；（2）若圆心在直线：上，求圆的方程。解：（1）要使圆面积最小，则线段为圆的直径则圆方程为：即（2）解法1： 线段的中点为 线段的中垂线为：，即解方程组 得 圆心为由两点间距离公式，知半径所求圆方程为：解法2：设圆方程为：由已知得 解得所求圆方程为：点评：运用垂径定理求圆心和半径可简捷解决本题；待定系数法求圆的方程是基本方法。例3 求过点且与圆切于原点的圆的方程。解法1：圆 圆心为 过和原点的直线方程为 设所求圆在圆上，且在直线上 解得于是所求圆的方程是：解法2：，原点在所求圆上，又弦的中垂线必过圆心 圆心必在直线上 又圆心在直线上 圆心为，从而 故所求圆方程为点评：待定系数法求圆的一般方程。例4 已知两定点，如果动点满足，求点的轨迹所包围图形的面积。分析：先求出轨迹方程，再求轨迹包围图形的面积。解：设动点 由得整理得即为：所以点的轨迹是一个半径为2的圆，面积为。点评：求点的轨迹方程的一般步骤为建系设点，找等量关系列方程，化简并检验。达标练习1、点一定在（A ）AA、平面内B、平面内C、平面内D、轴上2、如果圆：与轴相切于原点，则有（C ） A、B、C、D、3、方程表示的图形是（B ） A、圆B、半圆C、四分之一圆D、直线4、圆上的点到直线的距离的最小值是（ C ） A、2B、C、D、5、已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心坐标满足的关系式为（ D ） A、 B、或C、D、或6、已知方程表示圆，则半径为 2 ，圆心坐标为 （，2 ） 。7、已知，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程为 。8、求证：以为顶点的三角形是等腰直角三解形。证明：且 为等腰直角三解形9、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为：，点在边所在的直线上。求边所在的直线的方程；求矩形外接圆的方程；若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。解： 得又直线过 边所在直线方程即由得交点矩形对角线交点为 为矩形外接圆的圆心又矩形外接圆的方程为动圆过点，则为该圆的半径又动圆与圆外切 设整理可得：动圆的圆心的轨迹方程为10、如图，某圆拱桥的水面跨度是20米，拱高为4米，现有一船宽9米，在水面以上部分高3米，故船可以在桥下通行无阻，近日该地连降大雨，水位暴涨了1.5米，为此，必须加重船载，降低船身，求当船身至少应降低多少米时，船才能通过桥洞？（精确到0.01米）解：建立如图所示的直角坐标系设圆拱桥所在圆的方程为：