（应用数学专业论文）随机利率下金融衍生产品的定价.pdf

摘要 最近二十多年来金融衍生产品在全球范围内获碍迅猛发展 期权定价及投 资消费问题越来越引起国内外数学家 金融学家的广泛重视 如何确定金融衍 生产品的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键 在所有的衍生产品定价 中 期权定价的研究最为广泛 自1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 建立了著名的期权定 价模型 b l a c k s c h o l e s 模型以来 期权定价理论得到迅猛发展 近年来 国际 金融衍生市场除了人们熟知的欧式期权和美式期权之外 还涌现出了大量由标 准期权变化 组合 派生出的新型期权 期权定价理论是现代金融学的重要组 成部分 促进了金融市场的繁荣 它与投资组合理论 资本资产定价理论 市 场有效性理论及代理问题一起 被认为是现代金融学的五大理论模块 本文研究了随机利率下外汇期权的定价问题 利用随机分析的原理和金融 工程的思想 以偏微分方程理论作为主要工具 对随机利率下外汇期权的定价 问题做了有益的探索 得到了一些具体结论 全文共分为五章 第一章 主要介绍了期权定价理论的意义 起源 发展 研究动态和研究 方法以及本文的主要内容 第二章 主要介绍了标准欧式期权的基本定价模型和求解方法 另外还简 单介绍了一下短期利率模型v a s i c e k 模型 第三章 本文讨论了双币种期权的定价问题 这里主要讨论了三种情形 固定汇率下的国外看涨期权 以本国货币命名的国外看涨期权和浮动汇率下的 国外看涨期权 利用偏微分方程的理论和方法 在汇率服从几何布朗运动 本 国利率服从短期利率模型v a s i c e k 模型的假设下分别给出了定价模型和显式的 定价公式 第四章 在上一章的假设上进一步讨论了亚式双币种期权的定价问题 这 里也讨论了三种情形 固定汇率下敲定价服从几何平均的国外看涨期权 汇率 服从几何平均的国外看涨期权 汇率和敲定价都服从几何平均的国外看涨期 权 同样利用偏微分方程的理论和方法 也分别给出了相应的定价模型和显式 的定价公式 第五章 主要是讨论外国利率服从短期利率模型v a s i c e k 模型 汇率服从几 何布朗运动的欧式触发式汇率期权的定价问题 建立了该期权的定价模型 并 给出了显式的定价公式 最后通过实际数据分析了解的金融意义 关键词 期权定价 随机利率 亚式期权 汇率期权 定价公式 1 i a b s t r a c t t h et h e o r ya n dp r a c t i c eo f d e r i v a t i v e8 e c u r i t i e sh a v e b e e nd e v e l o p e dv e r yf a s ti nt h er e c e n tt w e n t y3 r e a r sa l lo v e rt h ew o r i d m a n ym a t h e n l 8 t i c a ls c i e n t i s t sa n df i n a n c i a le c o n o m i s t s p a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt ot h ep r o b l e m so no p t i o n sa n di n v e s t m e n t c o d s u m p t i o n s i n c e 1 9 7 3 i nw h i c hf i s c h e rb l a c ka n dm y r o ns c h o l e sp r o p o s e daf a m o t l so p t i o np r i c i n gr o o d e l b l a c k s c h o l e sm o d e l o p t i o np r i c i n gt h e o r yh a sd e v e l o p e dq u i c k l y r e c e n t l y i na d d i t i o nt o k n o w ne u r o p e a no p t i o n sa n da m e r i c a no p t i o n s t h e r ea p p e a rm a n yn e wv e r i e ww h i c h a r ec h a n g e d c o m p o s e d d e r i v e db yv a n i l l ao p t i o n si ni n t e l 2 1 a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t o p t i o np r i c i n gt h e o r y t h ei m p o r t a n tp a r to fm o d e r nf i n a n c e h a sp r o m o t e dt h ep r o s p e r i t y o ff i n a n c i a lm a r k e t t o g e t h e rw i t ht h ep o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y t h ec a p i t a la s s e tp r i c i n g t h e o r y t h ee f f e c t i v e n e s st h e o r yo fm a r k e ta n da c t i n gi s s u e i ti sr e g a r d e db 8o n eo ft h ef i v e t h e o r ym o d f l e si nm o d e r nf i n a n c e i n t h i sp a p e r w es t u d yt h ep r i c i n gi s s u eo ft h ee x c h a n g eo p t i o nu n d e rs t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t e w ee x p l o r et h ei s s u eo fp r i c i n gi s s u eo fe x c h a n g eo p t i o na n dg a i nm a t e r i a l c o n c l u s i o n t h em a j o rw o r ki ss u p p o r t e db yp r i n c i p l e so fs t o c h a s t i ca n a l y s i sw i t ht h ei d e s o ff i n a n c i a le n g i n e e r i n g a n dt h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 t h es i g n i f i c a n c e o r i g i n d e v e l o p m e n t a c a d e m i ct r e n d sa n dr e s e a r c hm e t h o d so fo p t i o np r i c i n ga n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 t h ep a p e rs u m m a r i z e st h eb a s a lp r i c i n gm o d e lo fv a n i l l ae u r o p e a no p t i o n a n dt h es o l v i n gw a yf o rp r i c i n gt h eo p t i o n s a l s ot h em o d e lo fs h o r ti n t e r e s tr a t e v a s i c e k m o d e l a r es i m p l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 w es t u d yt h ep r i c i n go fq u a n t oo p t i o n s t h e r ea r ed i v i d e di n t ot h r e e c a t e g o r i e s f i x e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l c a l lo nf o r e i g ne q u i t yd e n o m i n a t e di n d o m e s t i cc u r r e n c y f l o a t i n ge x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l a n dw ed e r i v et h ep r i c i n g m o d e la n dp r i c i n gf o r m u l a so nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed o m e s t i ci n t e r e s tr a t ef o l l o w st h e v a s i c e ks h o r t r u ni n t e r e s tr a t em o d e la n dt h ee x c h a n g er a t ef o l l o w sg e o m e t r i cb r o w n i a n i nc h a p t e r4 t h ea s i a nq u a n t oo p t i o n sa r ed i s c u s s e d a l a ot h e r ea r ed i v i d e di n t o t h r e ec a t e g o r i e s f i x e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l lw i t ha v e r a g e ds t r i k e a v e r a g e d e x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l l a v e r a g e de x c h a n g er a t ef o r e i g ne q u i t yc a l lw i t h2 v e f a g e ds t r i k e a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r i c i n gf o r m u l a sa n dm o d e la r ed e r i v e d i nc h a p t e r5 w ed i s c u s st h ep r i c i n gf o rac l a s so ft r i g g e r e de x c h a n g er a t eo p t i o no n t h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed o m e s t i ci n t e r e s tr a t ef o l l o w st h ev a s i c e ks h o r t r u ni n t e r e s tr a t e m o d e la n dt h ee x c h a n g er a t ef o l l o w sg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n a n dd e r i v e dt h ep r i c i n g f o r m u l a sa n dm o d e l i nt h ef i n a lp a r to ft h i sp a p e r t h ef i n a n c i a lm e a n i n go ft h es o l u t i o n o ft h em o d e li sa l s oa n a l y z e d i k e yw o r d s 0 p t i o np r i c i n g s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e a s i a no p t i o n e x c h a n g er a t eo p t i o n p r i c i n gf o r m u l a i v 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外 不包含其他人或机 构已经发表或撰写过的研究成果 其他同志对本研究的启发和所做 的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 作者签名 日期 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校 r 以公布论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其它手段保 存论文 保密的论文在解密后遵守此规定 作者签名 导师签名 日期 第一章前言 第一章引言 期权 o p t i o n 是指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量 的某种特定商品的权利 期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一 它 在股票期权激励 金融风险管理及公司财务管理中有着广泛的应用 期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场 但由于制度不健全等因素 影响 期权交易的发展一直受到抑制 直到1 9 7 3 年4 月2 6 日芝加哥期权交易所 c b o e 开张 进行统一化和标准化的期权合约买卖 期权交易才规范化并迅 速发展壮大起来 现在 期权交易已经遍布全世界 中国的金融市场起步较晚 目前我国的期权交易还处于试运行阶段 但自1 9 9 5 年郑州商品交易所被接纳为 国内唯一的 国际期权市场协会 会员开始 中国期权市场发展已经历了1 0 多 年 1 0 多年来 中国期权市场从三方面迈出了坚实步伐 即期权制度体系建设 期权市场需求开发和期权技术系统设计 中国期权市场发展的速度越来越快 关 于期权的研究将成为2 l 世纪中国期货业改革和创新的主旋律 期权定价的研究工作主要归纳为如下几个方面 1 鹊b l a c k s c h o l e s 模型 推广到带跳的扩散过程和随机波动情形 以便解释从实际期权市场中观察刘的用 b l a c k s c h o l e s 模型无法解释的现象 2 研究依赖价格变化路径的奇异期权的 定价和它的数值计算方法 3 研究不完全市场 主要是带跳的随机过程或一 般的半鞅过程摸型 中的期权定价 套期保值或砷冲以及最优滇费一投资组合问 题 4 研究带 摩擦 的金融市场中的期权套期保值或对7 中 这里所指的摩 擦包括交易费 税收 买卖价差和各种约束条件 5 带违约风险的期权定价 问题 6 不对称信息下的市场交易 期权定价的方法主要有 b l a c k s c h o l e s 期权定价方法 二又树方法 有限差分方法 蒙特卡罗模拟方法 确定性套利方 法 套例定价方法和区间定价方法 见文献 9 目前从事期权定价研究的主 要有如下三类人 概率论和随机分析学者 随机控制论学者和偏微分方程学者 近年来 我国研究期权的人越来越多 对期权定价理论的研究正方兴未艾 按照所赋予的权利不同 期权可分为看涨期权 c a l lo p t i o n 和看跌期权 p u to p t i o n 按照执行时间的不同 期权可分为欧式期权和美式期权 然而随着金融市 场的不断发展与完善 涌现出许多新型期权 如两值期权 障碍期权 亚式期权 回望期权 彩虹期权 一篮子期权等 这些新型期权的出现既繁荣了衍生证券市 场 又促进了期权定价理论的发展与完善 随着经济全球化的发展 利率市场的不确定性日益增加 为了抵御利率风险 人们正越来越多的使用利率衍生产品 最近二十多年来 海外利率衍生产品市场 发展很快 在我国 随着市场经济体制的不断完善 资本市场逐步开放 利率市 场化的内外部条件正在逐步具备 各种利率衍生产品正由各金稻机构逐步较快地 推向市场 因此 研究利率衍生产品的定价具有重要的现实意义 上海师范大学硕士论文 2 利率的一个重要特征是具有均值回归现象 并且受市场不确定因素的影响而 呈现随机波动现象 因此v a s i c e k 于1 9 7 7 年首先提出了一个符合上述特点的短期 利率模型 该模型结构简单 作为衍生债的零息票债价格函数具有指数仿射 结构型的表达式 从而容易得到其他利率 后来人们提出了各种其它的随机利率 模型 除了v a s i c e k 模型外 还有c o x i a g e r s o l l r o h u l l w h i t e b l a c k k a r a s i n s k i 等 模型 2 1 2 2 经济全球化使得各国经济的依存度加大 汇率 本国利率和外国利率形成的 交叉货币市场上有关衍生产品的定价问题已经得到了多方面的关注 本文主要考 虑欧式外汇期权的定价问题 就本国利率和外国利率都是常数 汇率服从几何布 朗运动的情形 文f 1 1 1 2 给出了显式的定价公式 1 9 9 1 年 a m i n 和j a r r 唧 2 3 就本国利率和外国利率都服从h j m 模型 汇率服从几何布朗运动的情形 也给 出了显式的定价公式 本文则就本国利率服从v a s i c e k 模型 汇率服从几何布朗 运动的情形 讨论外汇期权的定价问题 在第二章中 主要介绍了标准欧式期权的基本定价模型和求解方法 另外还简 单介绍了一下短期利率模型v a s i c e k 模型 在第三章中 本文讨论了双币种期权的定价问题 这里主要讨论了三种情形 固定汇率下的国外看涨期权 以本国货币命名的国外看涨期权和浮动汇率下的国 外看涨期权 利用偏微分方程的理论和方法 在汇率服从几何布朗运动 本国利 率脆扶短期利率模型v a s i c e k 模型的假设下分别给出了定价模型和显式的定价公 式 在第四章中 在上一章的假设上进一步讨论了亚式双币种期权的定价问题 这里也讨论了三种情形 固定汇率下敲定价服从几何平均的国外看涨期权 汇率 服从几何平均的国外看涨期权 汇率和敲定价都服从几何平均的国外看涨期权 也分别给出了相应的定价模型和显式的定价公式 在第五章中 讨论了一种触发式汇率期权的定价问题 文f 6 1 1 7 1 讨论了本国利 率和外国利率都是常数 汇率服从几何布朗运动下欧式外汇期权的定价问题 文 f 8 1 则讨论了汇率服从几何布朗运动下欧式触发式汇率期权的定价问题 文 9 9 考 虑了本国利率和外国利率服从远期利率模型 汇率服从几何布朗运动的欧式外汇 期权的定价问题 在本章中 则主要是讨论外国利率服从短期利率模型v a s i c e k 模 型 汇率服从几何布朗运动的欧式触发式汇率期权的定价问题 建立了该期权的 定价模型 并给出了显式的定价公式 最后通过实际数据分析了解的金融意义 本文是在b l a c k s c h o l e s 框架下来进行讨论的 利用结构化方法来建立期权的 定价模型 并采用偏微分方程的求解方法来求解出相应定价模型的解的显式表达 式 墨三主叁查堡垒垒堡垒 第二章基本概念和理论 早在1 9 7 3 年 b l a c k s c h o l e s 就已经假定原生资产价格的变动遵循几何布朗运 动 从而建 i 连续情形下原生资产价格变动的行为模型 由此得出了著名的 8 定价模型 m o n t e n 于1 9 7 3 年推广了该模型 由于他们对期权定价理论的杰出贡 献 1 9 9 7 年的诺比尔经济学奖授予了s c h o l e s 和m o n t e n 本节将简单介绍b s 定 价模型1 1 3 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的基本假设为 i 无税收 i i 无交易费用 i i i 无风险利率r 股票期望收益率卢和波动率矿均为常数 且不支付股息 i v 投资者可按无风险利率任意的借入或贷出 无买空限制 v 无套利机会 询股票价格s t 遵循几何布朗运动 d s t u s t d t 七口s t d z t 罾 矿霹啬嘲差州姐 黧嚆s t m k 羞 吖淼畦 0 t n 服从正态分布 它的均值和方差分别为 鼬 吼 俨h r 一 e 叫 啦 v a r q 丢 1 一e 2 2 1 2 2 1 3 这里职 r 表示测度q 意义下的条件期望算子 v a r q i r 表示测度q 意义下 的条件方差算子 由 2 1 1 可见 鼬 t 2 这表明 v a s i c e k 模型下的短期利率均值应 岛t 当时间8 趋于无穷大时将趋于 蒂数 当r t 时 声 s 将下降趋于 当n 时 口 s t 将上升趋于 这种现象称为均值回归现象 均值回归现象在实际经济生活中普遍存在 当 利率偏高时 借款者对资金的需求将减少 结果回造成利率的下降 当利率偏高 时 借款者对资金的需求往往趋高 从而引起利率的上 于卜 上海师范大学硕士论文 6 第三章双币种期权的定价 3 1 引言 随着近年来投资全球化的增长 双币种期权获得了广泛的应用和发展 双币 种期权是这样一种未定权益 即期权的收益取决于国外货币下金融衍生产品的价 格 而实际的支付是以本国货币来支付 双币种期权的收益函数可由国外资产价 格和汇率组合而成 因此我们就可获得许多可选的投资和对冲的机会 文 1 4 中 讨论了常数利率下的标准双币种期权 文1 5 j 中则考虑了常数利率下欧式双币种 期权的定价 本文讨论了本国利率服从短期利率模型 v a s i c e k 模型 下的欧式双 币种期权的定价 尽管在这里利用了文f 4 中的 双币种预洗 法 即修正风险中 性下的漂移率和波动率 并模仿了文 5 中的结构 但由于前面的文献均只考虑 常数利率下的情况 因此本文的研究及其结果是有意义的 在这里我们只讨论本 国货币下的期权定价问题 国外货币下的情况可类似得出 3 2 预备知识 显然 随机利率下的双币种期权有五个独立变量 即汇率f 国外货币下的 资产价格s 本国货币下的资产价格s 本国利率r 和时间变量t 注意s 和 s 有如下关系 s s f 3 1 因此该期权既可能是变量s f 酽 s r 和t 的函数 在全文中 则有 见 5 1 d s s d f f d 9 p d r r 和t 的函数 也可能是s f r 和t 或 假设这几个变量服从如下分布 s a l t 口s d z u f d t o f d z 讧铲m 盯s d z 1 口 扣一r 出 听d z 3 2 p s u s 讳f p s f 仃s o f 砖 建 碡十2 p s f a s 玎f 磅 7 一q p 卵即即 硌 r q 6 r j q 3 3 假设d t r 为t 时刻到期支付l 元的本国货币下的无风险债在t 时刻的价 第三章双币种期权的定价 7 格 则d t r 在风险中性世界和以上市场利率模型下所满足的偏微分方程为 箬刈 筹 2 等一 o 3 t 上述方程的解为 d t r 唧育 日 百 其中 硼 一 1 一唧一 弘 剐 一页 t 一 t 一 矿6 一 7 2 2 霹 2 t 刁 一一 互f 本文是在b l a c k s c h o l 船框架下进行讨论 这里我们根据双币种期权收益函数 结构的不同讨论了三种情形下的期权定价 即固定汇率下的国外看涨期权 以本 国货币命名的国外看涨期权和浮动汇率下的国外看涨期权 3 3 固定汇率下的国外看涨期权 该期权在到期目的收益为 订 s t r t t f 0 m a x s t x o 其中晶为固定汇率 而为国外货币下的敲定价格 定理3 1 该期权的价值呀 r t 满足如下微分方程 筹州 磐 碚s 等 i 1 2 铲磐 砰筝 p r s 盯r a s s 籍卅一o 证 在t 时刻构造投资组合 n 竹一a s f 一 2 d 使得i i 在时段 t t d t 内是无风险的 因此 d i i m 口一 i f d s a d s d f 一 1 f s q d t 一 2 d d r 眨一 l s f a 2 d d t 3 5 由i 公式有 d d 署出 百c g d 咖 等出咖 o 6 一r 百o d o 筹 d t 12 等如 矗筹握 3 6 上海师范大学硕士论文 8 珊 百o v 2 出 等m 等办 筹娜 磐打打 蓦猡办 警疵 r s 筹班州a r 警出十 以妒磐出 扣筹出 n s 四西s 蒜出 即s 等协 西磐蜴 3 把 3 6 3 7 代入 3 5 式 消除风险项 取 啦 等 螗辨 再把它代入 3 5 式得呀 sr t 所满足的p d e 为 警州 百o v 2 椰磐 磐 扣磐 p s o o s s 籍卅 o 3 s 记方程 3 8 为c 呀 0 那么定解问题为 伽v 2 s 慧r tt f o m a x s r 吨0 3 9 i 一鼍 o p 利用偏微分方程的方法求解定解问题 3 9 可得如下定理 定理3 2 若满足假设条件 3 1 一 3 4 则定解问题 3 9 有如下解析解 昭 s r t 昂 t 一 s e 延乒 d 1 一曲e 簪 池 其中 z 表示标准正态分布函数 露 去j 乙e 一譬幽 f 譬铲0 d s 一 正铲 s 如 d l 堕掣掣堕 如娟一以 m k 彳 一 如2d i 一 证 作变换c 沲t 善 z 告 则定解问题 3 9 变为 f 瓦d u 1 叭 z 2 硪铲u 碟 r z 荔 o 3 1 0 u z r 蜀m a x 巧一 砖 一 其中 铲 击 箬 2 晖2 以一轨s 田听吉等 a q 2 磅一2 p v s a s a 一a 再作变换 i n z 则 3 1 0 变为 嚣身雪髡蓑拦孝刨 江 第三章双币种期权的定价 9 其中声 t 6 一r i 孑 r 令c 茹 t 矿 祁口一o w x t 其中 口 一参 卢 一竖2 y 2 则 3 1 1 变为 罾 却 等一o 瓦裔至宣稿矿嘞咄 再作变换7 詹铲 s d s t f 铲 s d s f p r 则上述问题变为 面o w 一 鬻 o 1w 簏 z 0 f 茹 二麓 一一m 积 一研 0 i i p z r e 一 m 积 一研 o 由p o i s s o n 公式可得 脚 去e e 一喏帕 如 志e e 一咩帅 将上面的计算结果回代可得定解问题 3 9 的解的表达式为 垤 只r 幻 f e o r t s e 壁 归 d 1 一x f 8 c n d 2 1 3 4 以本国货币命名的国外看涨期权 该期权在到期日的收益为 堙 s t f r 竹 t m a x 岛s t 一翱 m a x s 一茹d o 其中 a 为本国货币下的敲定价格 显然瑶 只只r t 呀 n f 由文 5 可知只要确定磅 碟 那么类似定理1 我们就完全可以得到略 s 只r t 满足的偏微分方程 定理3 3 堙 s 只r t 满足如下微分方程 丝o t a b r 警 髻 磋f a b 曙y 弘s 2 鲁 a f f 钟 丽9 砰警 s s 慧m 叩f f 淼协卿啦s 怒州姐 上海师范大学硕士论文 1 0 由定理3 2 直接可得曙 s r t 满足的解析式 因此我们有下面的定理 定理3 4 该期权的价值呀慨f r t 为 v d 2 s f r t 蜡 r t 汁 妒e 止乒 d 3 一托e 孛 d 4 其中 z 表示标准正态分布函数 去屁e 一譬幽 f 譬铲 s d s 一 丘铲 s d s d 3 堕 塑 也 也一以一蒡 p 荔 v c 口 口 铲 芽z 碡一2 冉s 呀听五藏t 碍 一r 一 护 若该期权在到期日的收益为 增 s t 砰 r t 功 e t m a x s t 一西 0 则垤 s t 斥 r 丁 b 垮 s t 印 t m a x s t x 0 显然堙 s f r t f 呼限r t 同理我们可知 叼慨e r t 有与曙慨只r t 完全相同的微分方程 只是此时终值条件发生了改变 又由定理3 2 直接可得昨 s r t 满足的解析式 注意 此时漂移项磅变为6 岔因此有如下结果 定理3 5 该期权的价值呀 se r t 满足 v 2 s f r t f 叼 只 e o r t p e 止 盥 蟊 一恐e 孛 如 其中 z 表示标准正态分布函数 z 了1 鬲j e 譬幽 f f 扩 s 如一 露铲 s 如 如 堕豢婴 矗 d l 一伲一嘉忙署 c 口 z 叮 铲 矛砖 砖一2 p r s 即西五面 t 一r 一 孑2 t 证明与定理3 3 是类似的 在此略去 第四章亚式双币种期权的定价 第四章亚式双币种期权的定价 4 1 引言 亚式期权是一张期权合约 在期权到期日的收益依赖于在整个或部分期权有 效期内原生资产所经历的价格平均值 取平均值的过程有两种形式 一种是离散 的 一种是连续的 在期权合约中平均值的形式也有两种 一种是几何平均而另一 种是算术平均 由于人们对算术平均比对几何平均更容易理解 因此在金融市场 中采用算术平均亚式期权比几何平均亚式期权更普遍 但是我们注意到在b l a c k s c h o l e s 框架下原生资产的价格和汇率都假定为服从对数正态分布 因此从计算期 权金的角度看 几何平均亚式期权要比算术平均亚式期权简单得多 在下面分析 亚式双币种期权的定价中我们总是假设平均值是连续的几何平均的形式 现在假设在区间 0 硼上取平均值 其中t 是期权到期日 t 表示当前时间 且0 tst 原生资产价格过程s 在 0 t 上的连续几何平均定义为 e 印 m t n 洲r 同样地可以定义汇率f 的连续几何平均 其中 皤 唧 搿h 即 打 0 t s r 4 1 0 t t 4 2 假设d t r 为t 时刻到期支付1 元的本国货币下的无风险债在t 时刻的价 格 则d t r 在风险中性世界和以上市场利率模型下所满足的偏微分方程为 署州 筹 争第一r d o 4 s 上述方程的解为 d t r 唧酗r 幅 t 其中 一1 1 e x p c t t 忡 拯蚶等必一掣 4 2 固定汇率下敲定价服从几何平均的国外看涨期权 该期权在到期目的收益为 v t 品 印 g 昂m a c 曲一g 圣 0 上海师范大学硕士论文 其中晶为固定汇率 定理4 1 该期权的价值满足下面的微分方程 警刊a r 警 瑶s 等 虿1 2 万o a t v a 4 i 警 伽听啊s 籍 字h 毒 筹一r 呀 o 4 a 证明 在t 时刻构造投资组合n i i 四一 x 1 s f o 一 2 d 使得i i 在时段 t t d t 内无风险 因此 由i t 公式衣 d i i 卅一 l 昂d 一 2 d d r 略一 1 s f o a 2 d d t 4 5 d d t 箸出 筹办 云l 丽a 2 d 打d r d 6 一r 石o d 百o d 疵 j i 2 等出 西等d z r 4 6 明 筹出 等拶 筹办 筹a s 稻 哇筝撕 器姗 畿犯s 筹疵 r s 籍巩 口 6 叫百a r t 疵 1 一2c e i 拶2 v 2 出 匆筝蝓嘶s 蓦出 c r s s 等掘 珥等饵 畿甄 4 z 把 4 6 4 7 代入 4 5 消去风险项 取 年去筹 赴 笳 再把它代入 4 5 式得呀 只r j g s t 所满足的p d e 为 筹 o a v l 磋s 等 如s 2 碧 互1 砖筝 p r s a r a s s 籍 孚h 麦 筹一r 呀 o 4 8 第四章亚式双币种期权的定价 记方程 4 8 为c 呀 0 那么定解问题为 锩窿 辞 昂m 叫岛一四川 4 9 利用偏微分方程的方法求解定解问题 4 9 可得如下定理 定理4 2 若满足假设条件 3 1 3 4 则定解问题 4 9 有如下解析解 呀 sr g 函t d 蜀 口一t e 丝出q 兰 丝 西 一e 6 高 d 8 1 x q z 表示标准正态分布函数 去j 乙e 譬玉 f2 r s d s f 2 r s d s z 击i n 譬 鞣 u 三霉b u d 鬻1 i o u 书护等 螂 再作变换厅 互t 西u z 考 那么 4 1 0 就化为 豢梨护a uc 翳o u zf o m a x 1 妒一o 即 一e 纠r o 礴乏豢鬟 1 亲2 1c 2 d 筹 邮 丢等 m r 法等 肼s 田西击箸 i 咋西丽 碚一吐 令疗 互t e a z 郇仃一o w 蜀t 其中口 p t 2 7 t m t 一矿 t 钾 t 则上 述定解问题可转化为 稿o w c 竺蠢盏一 圭查堑堇盎堂塑 笙圭 一 三生一 作变换r 2 7 s d s n 口z y s a s f t 一f 则 4 1 2 就转化为 页aw裔l蓊俨ww z兰e a z 肿呻 肛m i 0 妒 z f 0 m a x 1 一e 纠1 o 由p o i s s o n 公式可得 wcz 去广 一哮妒 s dscz 2 了彖上 8 一 矿妒 5 喜 一迢 一m r 1 一 手 d 5 丽 一 8 8 叭 严5 再把它回代到 4 9 即可得 订 s 亡 d f o e p c r q e 皿华丝 d 7 一e 蜘掣 d 8 司 4 3 汇率服从几何平均的国外看涨期权 该期权在到期日的收益为 谨 岛 r t 碍 t 睇 l a x 曲一x o 显然 此时瞄满足的p d e 方程与砑完全相似 只是把含有g s 微分项换作g f 的微分项即可 即有下面的定理 定理4 3w 两足的p d e 力 磐 口 a r 警 磅s 磐十弘12 妒筹 互1 霹筹 怕西即s 纂 字 n 杀 筹一r 蜡一o 记t y a 4 1 为 增 0 那么增满足如下定解问题 黥 蕊耻哪s t x o m a x s t 1 咐 岛 行 睇 t 哪 我们知道此时在国外货币下 该期权在到期目的收益可表示为 v s r 岛舟g t 警m a x 潞一x i f c p o c 4 1 4 2 蔓里主垩查墨至壁塑壑堕塞垒二 旦 疆蒸箨畦愕汪 切一s f s 磊 宰h a 鬻一r 吩 0 t 婵 3 记上述方程为c 巧 0 那么坼满足如下定解问题 w 啉c v s m o 铞 即 一m a x s t 也0 h 4 1 坼 曲 仰 g 善 即 一五 o 弘 现在我们只要求出巧的值 那么马上由垤 f 巧可得垤的值 因此有下面的 定理 定理4 4 垤有如下解析解 增 只g p t f g d e p 口一4p 虹出孚生地 d 一x e 互譬堕坦 d 其中n 表示标准正态分布函数 z 去 e 一譬缸 f 露2 7 8 幽一 南 鲤业舻 小咝学 证 现在我们来求解定解问题 4 4 作变换矿 r t v s l g f 婀 则定 解问题 4 4 化为 其中 4 5 4 6 塑铲扣丝盼 妒 甲q 争舻 拶一一蛹嘴蕊 馨一 t r即俨乒 致 r 叩币 p 裨 一 毋钟 翮槲 砉 黧簦砻瑶巾器心 再作变换矿 z t w d z 霉 d 旯l j 上面定解问题就化为 其中 耨c 竺躲兽象郇肛 4 8 4 9 4 o z 外 e a z p 口一n w z t 其中d 一面 t 2 彳 t 卢一一矛 2 4 彳 赢 那么 4 9 就变为 弱嗟魏一 吵 作变换1 露2 s d s p f 2 r s d 8 f r 下 则上面的问题又变为 薪o w 1 甄0 2 w 酬 z 嘞吵 由p o i s s o n 公式可得 眦扑丽1e e 一嘻帅冲 志 e 掣e 一 i n s x t 出 再把它回代到 4 4 又由增 f 巧就可得式所需的结论 4 4 汇率和敲定价格都服从几何平均的国外看涨期权 4 1 0 翌铲 缸 i 苏篡 唔加翌艄 稀篓一 鲫一所卜 q z dd一 荔而 j户r 0 哟耖粥 一 2s 一 卅加竺慨取 一 一d j l l l i i 订订p科湖雄 第四章亚式双币种期权的定价 1 7 该期权在到期日的收益为 略 岛 r t 舔 解 t 鲜m a x 一 皤 o 这里增满足的方程与呀和垤完全相似 只是此时g 和舔作为独立项 同时出现在增中 那么在w 的微分项中同时拥有了g 和g 吾的微分项 因此 我们完全可用同样的方法得到叼的微分方程 定理4 5 垤满足如下的偏微分方程 警州 磐删s 筹 砖铲警 秒12 掣 肿 s 纂 丁g f m 瓦f 丽o v i d 孚l n 葛 筹一r 增 o 4 1 2 此时曙要满足如下的终值条件 增 曲 仰 醒 g t g m a x s w 一 舔 0 下面我们来求上面问题的解 这里同时参照4 2 和4 3 中的方法可求得叼的 值 与4 3 类似 此时在国外货币下该期权在到期目的收益可表示为 y 衙 f r 仰 舔 睇 刃 警m a x 涵一铝 o 胛 此时h f r g s g f t 满足方程 鲁十d 6 叫警 s 等 砟f 筹 靠妒碧 扣碧 砖铲碧 矗 s 霎岳 西盯 羔鲁 p f s 即时f s i 蔫 宰h 磊 筹 字h 毒 筹一r 巧 记上述方程为 巧 0 那么巧满足如下定解问题 4 1 3 瑟菇r o t 罐 g 丁 譬m a x 昂一 四 0 4 th i 岛 罐 g 丁 譬m a x 昂一 四 o 毛1 4 现在我们只要求出巧的值 那么马上由昭 f 巧可得昭的值 因此有下面的 定理 定理4 6 瞪有如下解析解 嵋 s r f g f 瓯 t d f s g f f 归 e 孛 d 1 一e 丝娣丝 d 1 2 上海师范大学硕士论文 证 现在我们只需要求出巧的值即可 作变换c 小 鼎 z 池警 则 4 1 4 就化为 其中 黧鬟妒矗嚣 佳埘 积t 币t 2 p 卵以即一班一 碚t 靠 t 口 6 一r 胁s 西如一币 p r p a r a e 4 1 6 面两 一 6 醇 嘉 一亍t 船 卿即一r 再作变换疗 z t u d z x o 则上面定解问题就化作 其中 u鬻 z侧荔例器一汹 t max 1 ez t u z t m a x 1 l 4 1 7 遗1 0d一 m 伍 茅砰 等 2 堕t 2 去 肼 豇吾警 a m 磊 面瓦 l 螃去筹 扣去等 两 如 令厅 z e a z 口 t 一 互t 其中q 一历 t 2 币 t 卢 一伍2 t 4 2 5 t 丽 幻 那么 4 1 7 就变为 百o w w z 梨t 篓m 扎a x 1 掣 1 e 1 2一e 1 o 作变换r f d 2 r s d s p j 2 r s d s f p f 则上面的问题又变为 磊ow 1磊o w0 z m a x 1 一0 矿 z 妒 z e 一 z e 纠1 4 1 9 4 2 0 第四章亚式双币种期权的定价 1 9 由p o i s s o n 公式可得 互f 丽1i i 0 0 一哮 d s 去 e 一哮e 一 1 e j r 幽 再把它回代到 4 1 4 即可得 v a s r f c f 国 t o s c a f 2 t e i t 卅 e 孛 d 一e 丝墚业 d 1 2 上海师范大学硕士论文 2 0 第五章触发式汇率期权的定价 5 1 引言 随着经济全球化的发展趋势越来越明朗 世界范围内的贸易交流逐渐频繁 而由于各国货币间的汇率不是恒定不变的 这使得交易过程中会由于货币兑换的 变动而产生额外的风险 因此 能够合理利用金融市场上的汇率期权达到规避风 险和套期保值的目的对于当今社会的发展是具有重要的实际意义 为了正确合理 地运用汇率期权 对其进行合理的定价是极其必要的 本文讨论了一种触发式汇率期权的定价模型 这类期权的定价分析可以就本 国利率 外国利率和汇率变化的不同形态和不同模型假设进行讨论 文 1 和 2 中讨论了汇率服从几何布朗运动的b l a c k s c h o l e s 框架 本国利率和外国利率都是 常数 下欧式外汇期权的定价 文 3 中则讨论了汇率服从几何布朗运动的b l a c k s c h o l e s 框架下欧式触发式汇率期权的定价模型 文 4 考虑了本国利率和外国利 率服从远期利率模型 汇率服从几何布朗运动的欧式外汇期权的定价问题 本文 则讨论了外国利率服从短期利率 v a s i c e k 模型 汇率服从几何布朗运动的欧式触 发式汇率期权的定价问题 建立了该期权的定价模型 并给出了定价公式 本文所要分析的外汇产品是2 0 0 5 年渣打银行推出的一支名为 汇弄4 投资创新 的美元理财创新产品 该产品是一个比较典型的触发式汇率产品 该产品具体的 合同条款如下 1 该产品最低投资额度为2 万美元 投资期限为3d q 2 该产品的基本收益率为5 以投资人投资日当天的澳元对美元的汇率为 基准 o 1 5 设为触发汇率 一o 0 5 设为协定汇率 3 3 个月内任意一天如果澳元对美元的汇率达到或超过了触发汇率水平 那 么投资者可以在当天提前取回所有的收益 并在3 个月期满时拿回本金 4 若在3 个月内澳元对美元的汇率始终没有达到触发汇率水平 那么在到期 日时 投资者可以取得约定的收益 但本金的取得有以下规定 1 若到期日 澳元对美元的实际汇率达到或高于协定汇率 那么投资者可以取回本金 2 若到期日澳元对美元的实际汇率低于协定汇率 那么本金将按照协定汇率兑换成 澳元返还给投资者 这个合同是一个与汇率有关的定期存款合同 而事实上由于该合同有一个可 第五章触发式汇率期权的定价 能提前支取利息的条款和期末由于实际汇率与协定汇率间的关系而产生的支取本 金的不同方案的条款 我们其实可以将这份合同看成是一个隐含的关于汇率的期 权合同 合同中又规定了在汇率达到合同约定的水平的时候 持有人是可以提前 支取利息的 这一条款实际上是一种触发式期权的条款 这个汇率水平被称为触 发点 而如果汇率始终没有达到合同中规定的汇率水平 那么合同持有人将在到 期日支取本金和利息 因此这是一份非标准的欧式期权 从上面的分析可以看到 我们可以将这份存款合同看着是一份欧式触发式汇 率期权 假设它的面值是1 美元单位 本文将通过合同中给出的条件建立模型 求出这份期权理论上内含的价值 本文中我们给出以下假设条件 i 市场不存在套利机会 i i 忽略交易摩擦产生的损失 手续费 税收等 i i i 汇率变动遵循几何布朗运动 0 q 半 r t r a t 蒯叫 5 1 这里 表示t 时刻澳元对美元的汇率 1 澳元 s 美元 r 表示美元的利率 r t 表示t 时刻澳元的利率 w 为标准布朗运动 盯为市场波动率 澳元利率采用v a s i c e k 模型 d r t o 6 一r t d