（应用数学专业论文）随机系数的随机前沿面模型.pdf

中文摘要 生产函数是经济数学与数量经济学中的一个重要概念 它是一种技术关系 表明在一定的技术水平下 由每一组特定的生产要素组合构成的投入所能得到 的最大产出 通常将严格符合上述定义的生产函数称为生产前沿或前沿生产函 数 同时也与传统的回归统计方法确定的 平均生产函数 相区别 生产前沿 与生产的技术无效性是联系在一起的 同时生产前沿又与生产可能集的边界很 好的吻合起来 它是度量生产的有效性的重要工具 通过了解生产行为无效的 根源及程度 进而提出相应的改进对策和目标 可以有效地节省能源 减少浪 费 同时它又是与成本前沿函数对偶的 因而对前沿面的研究是很有价值的 生产前沿的研究方法主要有 参数方法 非参数方法 本文的主要工作是 1 本文首先在合理分析生产集与生产函数的理论的基础上 全面分析总 结了研究生产前沿的非参数方法一一数据包络分析 d e a 方法 指出了它的 局限性 2 研究生产前沿的参数方法包括确定性前沿面模型和随机前沿面模型方 法 分析总结了确定性前沿模型的估计方法 在合理分析生产行为的随机性的 基础上 针对随机前沿面模型因含有双误差而造成的估计上的困难 以c d 生 产函数为例 采用极大似然估计法 全面讨论了管理偏差服从截断正态分布 半正态分布 指数分布及伽马分布时 随机前沿面模型的求解模型 在假定随 机前沿面模型中的系数为多元正态分布的情形下 采用极大似然估计法 详细 推导了管理偏差服从上述各分布时的随机系数的随机前沿面模型的求解模型 3 采用将管理偏差先看作参数进行参数扩张的一般对随机前沿面的 b a v e s 估计方法 基于m c m c 方法中的g i b b s 抽样 在假定管理偏差为不同分 布时 详细推导了一般随机前沿面模型和随机系数的随机前沿面模型的b a v e s 估计方法 并给出了随机系数服从特殊的多元正态分布的情形下 随机系数的 随机前沿面模型的b a v e s 估计的算法 推导证明了随机前沿面模型对生产技术无 效性进行估计的方法 4 实证中表明极大似然估计可以很好的解决随机前沿面模型中误差项的 分解 并比较分析了随机系数的随机前沿面模型与一般随机前沿面模型的差异 指出了一般随机前沿面模型的局限性 关键词 随机前沿面模型 随机系数 极大似然估计 g m b s 抽样 a b s t r a c t p r o d u c t i o nf u n c t i o ni sa i l i m p o r t a i l t i d e ai n e c o n o m ym a t h 锄a t i c s a n d q u a l l t i t ye c o o m i c s 1 ti sat e c 量i i l o l o g yr e l a t i o n s h i pw h i c hi n d i c a t e st h em a x i m u m p r o d u c t i o nu n d e rc e n a i nt e c h n o l o 酉e sw i t ha 掣o u po fp m d u 砸o nr e q u i s i t e s u s u a l l y w ec a ua p r o d u c t i o nf i i n c t i o nap r o d u c t i o 丘o n t i e ro r 丘d n t i e rp r o d u d i o n f l l n c t i o nj fi t a i l s w e r sf o rt h ed e f i l i i t i o na c c u r a t e l y w h i c hd i 丘e r e n t 丘d mt h ea v e r a g ep r o d u c t i o n f u n c t i o nb a s e do nc o n 击t i o n a lr e 伊e 锚i o ns t a t i s t i c s p l o d u c t i o n 丘d n t i c rc o m a d sw i t h l h et e c h n j c a l i n e f f i c i e n c y 柚d i ti sa l s ot a l l i e s 谢t ht i l c b o u n d a r y o f p o s s i b l e p r o d u c t i o ns e t p r o d u c t i o nf r o n t i e ri sa ni m p o n a n lt o o li nm e 够u r i n gt h ee 伍c i e n c yo f p r o d u c t i o n 1 i t h t h ek n o w l e d g eo ft h ei n e f 右c i e n tf o o ta n dd e g r c ei n p r o d u c t i o n a d i o n s o n ec a nb f i n gf o 聊a f da d v a n c ec o u n t e m e 鸹u 咒s 蛆da i m s 锄dw i t t lar e s u l t o fs a v i n ge n e r g i e sa n dr e d u c i n gw a s t e a n di ti sa l s ot h ec o u n t e r p a no fc o s tf l d n t i e r f u n c t i o n s oi ti sm e a n i f i g f i i l t os t u d yt l l e 丘o n t i e r t h em a i nm e t h o d si ns t u d y i n gt h ep r o d u c t i o nf r o n t i e fi sp 缸锄c t r i cm e t h o da 1 1 d t h en o n p a r 锄e t d cm e t h o d t 1 l em a i nc o n t e n to ft h i sd i 鼯e n a t o ni sa sf 0 1 l o w s 1 b a s e do n t h er a t i o n a la n a l y s i so fp m d u c t i o ns c ta n dp m d u d i o n f i i n c t i o n t h e a u t h o r a i l a l y s e s a n ds u m m a r i z e st h e n o n p a r 锄e t r i c m e t h o do f s t u d y i n g t h e p f o d u c t i o n f 如n t i e f 一 d a t ae n v e l o p m e n t a 皿a l y s i s d e a a n dp o i n t so u t i l sf j n i t y 2 t h e s oc a l l e d p a r 姗e t c m e t h o do f s l u d y i n g t h c p m d u c t i o n 矗d n t j e r i n c l u d i n gp o s 主t 王v ef 如n t j e fa l l ds t o c h 舾t i cf 如n t i e rm o d e l s a a l y z e 黝ds u 胁a r i z e t h e m e t h o d so fp o s i t i v em o d e l s b 鹊e do nt h er a t i o n a l 锄a l y s i so fp f o d u c t i o na c t i o n f o r t h ed i f f i c u l t i e so fe s t i m a t i o w i n ld o u b l ee r r o rc o m p o n c n 峨t a k i n g 灿b d o u 斟a s p r o d u c t i o nf u n c t i o n a sa ne x a m p i e t h ea u t h o ra d o p t sm a x i m u mi i l e l i h o o de s t i m a t j o n t oc o n s t n l c tt h es o l v i n gm o d e lo ft h es t o c h a s t i cf r o n t i e rm o d e l sw i t hm a n a g c m e n t c o m p o n e n t s d i s t r i b u t e s a c c o f d j n g t ot n l n c a t e dn o 册a l d i s 证b u t i o n h a l fn o 丌r l a l d i s t b u t i o n e x p o n e n t i a id j s t r i b u t i o na n dg a n l m ad i s t d b u t i o n u n d e rt h ea s s u m p t i o n o fc o e f f i c i e n t sd i s 啊b u t e da c c o r d i n gt o m u l t i p l yn 0 加a ld i s t 抽u t i o n s t h es o l v i n g m o d e l so fs t o c h a s t i cf r o n e rm o d e l sw j t hr a n d o mc o e f f c i c n t sa f cc o n s t n l c t e db y a d o p t i n gm a x i m u m l i k e l i h 0 0 de s t i m a t i o n 3 f o l l o w i n gs t a l l d 缸dp f a d i c ei nb a y e s i 卸强a l y s i so fs t o c h a s t i cf b n t i e r s w e t r e a tt h em a n a g e m e n tc o m p o n e n t sa sp a r a m e t e r s b a s e do no n em e t h o do fm c m c g i b b ss a m p l i n g u n d e rt h ea s s u m p t i o no fd j 肌r e n ld i s t r i b u t i o n so fm a n a g e m e n i c o m p o n e n t s a n d i n f e rt h e b a y e s i a n e s t i m a t i o no fc o m m o s t o c h a s t i cf i d n t i e r i l m o d e l sa n dt h es t o c h a s t i cf r o n t i e r sw i t hr a n d o mc o e f f i c i e n t s a l s ow ed r o v i d et h e b a y e s i a n e s t i m a t i o no fs t o c h a s t i cf 而n t i e rm o d e l sw i t hc o e 蚯c i e n t s d i s t r i b u t e s a c c o r d i n gt os p e c i a lm u l t i p l yn o 彻a 1 m e a s u r e m e n tm e t h o d0 fj n e 艏c i e c ya l s oi s i n f e e da n dd r o v e d 4 d e m o 璐t r a t i o n ss h o wm 麟i i u ml i k e l i h o o de s t j m a t i o ni saw o n d e r f u lw a yt o d e c o m d o s et h ee r r o r si ns t o c h 勰虹cf 幻n t i e rm o d e l s t h ed i 丘色r e n c eb e t w e e nt h e c o m m o ns t o c h a s t i cf 如n t i e rm o d e l sa n dt l l es t o d b a s t i cf 如n t i e rm o d e l sw i t h r 卸d o mc o e f f i c i e n t si s c o m p a r e da l l da n a l y z e da n dt h el i m i t a t i o n0 fc o m m o n s t o c h a s t i cf o n t i e rm o d e l si sd 0 i n t e do u t k e y w o r d s s t o c h a s t i cf m n t i e r m o d e i s r a n d o m e m c i e 拓 m a x i m u m l i k e l d 幅t i m a t i o n g i b b s 鼹m p h n g j 武汉理i 大学硕 f 学位论文 1 1 选题的目的和意义 第1 章引言 在经济理论中 生产行为的有效性问题正引起人们越来越大的关注 通过 对生产决策单元 d m u 进行效率分析 了解生产行为无效的根源及程度 进而 提出相应的改进对策和目标 可以有效地节省能源 减少浪费 生产前沿是生 产有效性分析与测量的重要工具 所谓生产前沿或前沿生产函数是根据已知的 一组投入产出观测值 构造出投入产出一切可能组合的外部边界 使得所有投 入产出观测点都落在这个边界的 下方 并且与其尽可能的接近 因此 生产 前沿是对一个经济系统最优生产行为的一个有效描述 另外 生产前沿又和成 本前沿是对偶的 有了生产前沿将其适当的变换一下 就可以作为成本前沿 进行成本使用率最优的估计与预测 了解了最优成本的情况 我们就可以采取 措旌 使得在 定的产出下使得成本最小 所以研究生产前沿是很有实用价值 的 生产前沿是a i 鲫e r l 0 v c l j 和s c h m i d t 及m e e u s e nv a i ld c nb 0 c k 于1 9 7 7 年 提出的 根据其研究方法的不同可以分为参数前沿面模型和非参数前沿面模型 c h 锄e s c o 叩e r 和r h o d e s 于1 9 7 8 年提出的数据包络分析 d 艮q 的非参数方法 是研究生产前沿的一个划时代的里程碑 该方法是利用数学规划方法 将有效 的生产单元组合起来 构造出 悬浮 于整个观测点的分段超平面 即生产前 沿面 以此评估每个生产单元的综合效率的数量指标 但是d e a 方法建立的不 是统计模型 因而不能做更多的统计分析 研究生产前沿的参数方法 是指在投入和产出之间假设存在明确的数学表 达式 它又分为确定性生产前沿面模型 又称为确定性前沿生产函数 和随机 生产前沿面模型 又称为随机前沿生产函数 其中更符合客观实际情况的是随 机前沿面模型 但是因为该模型中包括通常意义的随机误差和一个管理偏差 两个误差项 使得模型的估计相当困难 随机系数的随机前沿面模型是针对 随机前沿面模型中假定各个生产单元使用相同的生产工艺 设备等 而面临 同样的生产前沿这一局限性提出的 这个模型在原有模型的基础上假定回归 系数也为随机变量 这样就更增加了模型的估计和应用的困难 武汉理 人学硕十学位论文 本文的研究目的主要是完善生产前沿的理论 给出随机前沿面模型及随机 系数的随机前沿面模型参数的估计 为人们运用随机前沿面模型对生产技术有 效性的评估提供有效的工具 1 2 和本课题有关的国内外研究现状 确定性前沿生产函数是把影响产出的全部要素归入一个单侧的误差项中 作为生产非有效性的反映 这样确定性的生产前沿限定了所有观测点均位于边 界上或边界下方 显然 这样的生产前沿很符合生产函数的理论概念 但是它 对观测数据的误差比较敏感 稳定性较差 其模型估计的修正最小二乘 c o l s 方法是把样本中生产最好的点作为公共的前沿 显然这样是很不符合实际的 在此基础上a i g n e r 等于1 9 7 7 年系统地研究了随机前沿生产函数 将随机扰动 分为两部分 其中一部分表示在任何统计关系中均可以发现的统计误差 称之 为随机误差项 另外一部分是一个非负误差项 用来表示技术无效 非负误差 项反映的事实是 每个生产决策单元的产出必须位于其随机生产前沿面的下方 任何这样的偏差都是由于控制因素造成的 如技术和经济无效 生产者和其雇 员的努力程度等 这一部分称之为管理误差项 这种随机前沿面模型既反映了 生产函数的最优性 又体现了样本数据的统计特性 是一种比较理想的参数生 产前沿 但因模型中含有两个随机误差项 使得模型的估计相当复杂 目前 国内对该模型的估计方法的研究很少 国外的研究主要是假定随机误差服从零 均值 有限方差的正态分布下 管理偏差拟定为截断正态分布 指数分布等 基于g i b b s 抽样对模型参数进行b a y e s 估计 生产前沿研究方法的一个划时代里程碑是c h a r n e s c o o p e r 和r h o d e s 于 1 9 7 8 年提出的称之为数据包络分析 d e a 的非参数方法 该方法建立的不是统计 模型 它是利用数学规划方法估计出有效的生产前沿面 即经验的前沿生产函 数 因而不能做更多的统计分析 并且d e a 方法的理论基础还不是很完善 随机系数的随机前沿面模型是假定各生产单元可能因使用不同的技术 设备 工艺等而面临不同的生产前沿 这样模型的估计就更加困难 文献 2 6 中给出了 基于g i b b s 抽样方法 对管理偏差服从指数分布时模型的估计 而对管理偏差服 从其他分布的情形还没有人讨论 随机系数的随机前沿面模型也可以利用极大 似然估计方法进行估计 但是目前国内外也还没有人进行推导 武汉理j 人学硕士学位论文 1 3 本文的主要工作 对比目前国内外对生产前沿面的研究 本文做了以下几个方面的创新研究 1 综述了生产集与生产函数的理论的基础上 及建立在此理论上的生产 前沿非参数方法数据包络分析 d e a 2 在分析总结关于确定性前沿模型估计方法的基础上 给出了一种新的 修正最小二乘 c o l s 估计方法 3 在合理分析生产行为随机性的基础上 针对随机前沿面模型因含有双 误差而造成估计上的困难 在文献 3 4 的基础上 总结完善了极大似然估计法对 管理偏差服从 半正态分布 截断正态分布 指数分布 伽马分布时 随机前沿面模型的估计方法 在假定随机前沿面模型的系数为多元正态分布的 情形下 采用极大似然估计法 详细推导了管理偏差服从上述几种常见的单边 分布时 随机系数的随机前沿面模型的估计方法 4 采用将管理偏差先看作参数进行参数扩张的方法 基于m c m c 方法 中的g i b b s 抽样 推导了一般随机前沿面模型在管理偏差为指数分布时的b a y e s 估计 在已有管理偏差为指数分布的b a y c s 估计的基础上 详细推导了随机系数 的随机前沿面模型在回归系数服从多元正态分布时 对管理偏差为 事正态 分布 伽马分布时 模型参数的b a v c s 估计方法 同时给出了随机系数服从特 殊的多元正态分布的情形下 随机系数的随机前沿面模型参数的b a v e s 估计方 法 推导并证明了随机前沿面模型对生产技术无效性进行估计的方法 5 实证表明极大似然估计可以很好地解决随机前沿面模型中误差项的分 解 并比较分析了随机系数的随机前沿面模型与一般随机前沿面模型的差异 指出了一般随机前沿面模型的局限性 本文结构如下 第2 章 给出了数据包络分析的理论基础 生产集和生产 函数的理论 第3 章 总结了数据包络分析基本模型和应用 并指出其局限性 第4 章 给出了一般随机前沿面模型 在管理偏差为不同单边分布下 模型的 极大似然估计 第5 章 推导了基于管理偏差为几种常见的单边分布下 随机 系数的随机前沿面模型的极大似然估计模型 以及基于g i b b s 抽样的b a v e s 估计 方法的算法 第6 章 给出了一个小例子来说明极大似然估计在估计随机前沿 面模型及随机系数的随机前沿面模型中的应用 通过比较 说明了随机系数的 随机前沿面模型的合理性 同时 以一个实际的农用地的例子进行了对比分析 武汉理 大学硕十学位论文 第2 章生产集与生产函数的数理分析 2 1 生产集 生产提供了消费者消费的商品 包括服务 因此生产作为经济的供应 自 然成为经济学的主要研究对象之一 生产的技术有效性一直备受人们的关注 而研究生产有效性的非参数d e a 方法依赖于生产函数理论 下面结合文献 4 1 给出生产集与生产函数的数理分析 利用观察到的有效样本数据 对部门或单元 称为决策单元 d e c i s i o n m a k i n gu n i t s 简称d 删 进行生产有效性评价 确定的d 刖都可以看作是相 同的实体 而被d m u 利用的物质或影响d m u 生产行为的变量为输入 由d m u 形 成的产物或利益为输出 d 队方法就是建立在对输入和输出数据的综合分析基础 上 以确定有效的d m u 或相对效率的高低 并指出d m u 非有效的原因与程度 所以生产集是生产理论的基础 作为生产主体 与消费者恰相对应 生产者由一些有独立决策功能的单位 组成 决策单位可以是公司 也可以是个体经营者或居民户 统称为厂商 从 市场行为的角度看 厂商的投入产出决策才具有真正的重要性 因此 这里对 厂商内部结构与运行机制一概不予考虑 对厂商来说 由于使用技术设备的不 同 外界环境的影响及管理的政策不同 往往使得投入不能达到最大产出 这 里把最大产出与实际产出的差异归因于误差 记投入空间 一 其中每个元素z 一 弓 z 一 科 为一束投入要素 称为投入向量 z 1 s f l 一肼 表示要素f 的数量 这里通常假定 2 0 记产出 空间月 其中每个元素口一 吼 勖 月 为一束产品 称为产出向量 吼 1 女e m 表示产品t 的产出数量 这样y 一 一z 鼋 彤构成一个生产向量 生产者选择一个y 一 一z 牙 舻 意味着他确立了一个生产计划或投入产出决 策 为方便起见 我们记d 维实数集为 d 维非负实数集群 d 维正实数集碟 生产理论主要是依据一定的原则和信息确定或预测生产者的选择 很明显 如果生产者的选择范围小一些且更明确一些 以上问题的解决就更容易些 因 此 确定生产者的选择集yc 很重要 y 就称为生产者的生产集 其中的元 素为生产向量 通常由生产技术 市场 法律及合同等限定 这就注定了生产 集的多样性 因此指定符合某个标准的或通用的生产集 通常是不恰当的 尽管 武汉理一人学硕士学位论文 如此 我们还是可要求y 满足某些普遍条件 首先 不妨无例外的假定y 是非空 闭集 迸一步的假设则依具体情况取舍 最主要的各选条件如下 p i 不存在无投入的产出 y n r o 即若ym 以 儿 y 有某 个 o 就必有某个 c 0 1 s l s 工 r 不可逆性 y n 一y o 即若 y 则必有一 隹y 除非y o 这意味着不能将投入与产出换位 若投入z 产出吼是一个可行的生产方案 则 投入吼产出刁是不可行的 除非 一刁 吼 一o 只 免费销毁 一硝 y 即若y 7 s y y 则必y l 这意味着 无 限制地增加投入与减少产出在技术上总是可行的 例如 可任意地销毁某些原 料或报废某些产品 当然 这并不是说生产者一定会这样做 只是理论上不排 除这样做的可能性 r 允许停业 o 这一假设通常是合理的 但是也有例外的情况 例如有原料进货合同约束的情况就不允许停业 为不失一般性 通常可假定条件 p 至 p 可满足 至于下面所述的规 模收益条件与凸性条件 尽管对于许多结论是必不可少的 但并非被普遍满足 r 规模收益性质 1 常数规模收益 口y y f v 矗 o 即y 是一个以0 为顶点的锥 这意 味着可以无限制地扩大或缩小生产规模 2 递减规模收益 口y y v 口 0 1 即容许缩小生产规模 3 递增规模收益 口y s y v 口 1 即容许扩大生产规模 r 凸性 口y 1 一口 y v 口 0 1 即y 是一个凸集 2 2 生产函数 下面我们讨论生产单一产品 即对产出向量g m 一1 时的情形a 在生产多 种产品时 我们可以虚拟一个复合产品来代替一组产品 这时y y 可表成 y 一z q 屯 g 定义一个函数厂 一r 令 l rl 一z q z r qs z 2 一1 显然 z 就是厂商投入z 所能获得的最大产出 称它为厂商的生产函数 其等价定义为 对每个z 假定q 8 g r 一z 留 y 是非空紧集 于是 武汉理工大学硕士学位论文 存在函数 满足 z a 1 1 擎吼z r 2 2 容易验证式 2 2 的定义等价于式 2 1 且式 2 2 表明对于单一产 品的情况 完全可通过生产函数来刻画生产集 以下设y 表示为式 2 一1 下面给出由生产函数 z 的适当解析性质来表达 生产集y 的相应性质 直接由式 1 可见y g 当 回连续时r 是闭集 下 面给出几个小命题 命题2 1 p o 一o 事实上 由式 1 有y n 一 一z q z o gs 0 一 o 口 o s 鼋s o 一 0 一 o 一0 a 命题2 2 p 2 一 o o 类似于上面的推理 y n 一 g z 趟 gs z o g t g o 一 0 一 0 一o 假定厂 0 o 无投入就无产出 是很自然的 而这就保证了生产集y 满足条件 p p 2 命题2 3 p 1 单调增 投入增加产出必增加 证明 设o szs z 7 若y 满足条件 r 则从 一z z 推出 一z z y 从而 z s z 可见 回单调增 反之 若 单调增 一z q y 一z q s 一 口 贝 g q s z 蓦 z 命题2 4 由 0 0 推出y 必定满足 前面我们已经指出 对于生产集的条件 p 至 p 都是很基本的 因而 不妨假定所用到的生产函数 0 总是连续的 单调增的 且厂 o o 下面进一 步考虑的条件则只是选择性的 命题2 51 是常数规模收益的一 是1 次奇次的 若 是n 次奇次的 则y 是常数规模收益 递减规模收益与递增规模收益分别对应口一1 tl 口 l 证明 取定口 o 首先证明 口y c 争q 厂 z s d z v z r 1 2 3 若口y c y z 一 则由 一z z l 推出 一口z 矿 z y 于是 武汉理j i 人学硕 学位论文 口 z e 鲥 反之 设巧 z s 口z 一z g 则4 9s 矿 z s 北 这 表明 一船 凹 y 这即证得式 2 3 显然关系式 2 3 即等价于命题5 命题2 6 y 是凸集一 是凹函数 证明 首先设 是凹函数 一z 口 一 虿 y 口 o 1 则 叼 口百 矿 z 4 刁s 以 口却 这就推出口 一z 口 口 一i 刃 y 因此y 是 凸集a 反之 设y 是凸集 手 z 一 口 o 1 由 一z z y 习 l 及 的凸性得出 一盯一口芎 盯 z 口 因此盯 z 口 手 墨 以 口匀 这表明 是凹函数 下面用一个典型的例子来说明上述结论 在生产函数的研究中c d 生产函数有着重要的地位 c d 生产函数是由美国 数学家c h a r l e sw c o b b 和经济学家p a u lh d a u 9 1 a s 在1 9 2 8 年共同提出的 c d 生产函数在提出时进行了一些假设 在两投入要素下其数学形式为 p 麒4 2 4 其中p 是产出量 k l 分别为资本投入量及劳动投入量 a 为技术进步水平亦 称效率系数 a 和芦都是常数 下面给出c d 生产函数 2 4 的数学性质 性质l c d 生产函数 2 4 是连续且光滑的 事实上 由于k 口 卢均大于0 因此 c d 生产函数 2 4 关于k l 是连续的 又d p d k a p a l 存在且连续 因而又是光滑的 性质2 c d 生产函数 2 4 是k l 的单调增函数 性质3 c d 生产函数 2 4 是a 口次齐次函数 因为彳 尴 肛 4 r 4 即足 这就证明了c d 生产函数 2 4 是口 卢 次齐次函数 特别地 当口 卢a 1 时 c d 生产函数 2 4 为线性齐次函数 亦即具有规模收益 同样地 当生产是递减规模收益与递增规模收益分别对应 口 卢 o 时 l v 2 尸 o 从而矩阵v 2 p 是负定的 这就推 出 当口 卢 1 时p 是 上的凹函数 因此 当口 卢s 1 时 对应于p 的生产 集y 是凸集 当口 后 1 是y 是凸锥 武汉理工人学硕士学位论文 第3 章生产前沿面的一般研究方法 如前一章分析 在生产理论中生产函数体现了一种技术关系 它表明了一 组具体生产要素的组合所可能产出的最大产出量 反映了生产的最优性和客观 性 根据各厂商实际投入产出数量 利用一定的数学手段求出其相应的可能最 大产出量 再进一步求得这一最大产出量与投入要素数量之间的对应关系才符 合生产函数的概念 为了与传统回归分析所得到的 平均生产函数 相区别 通常将严格满足定义的生产函数称为生产前沿或前沿生产函数 它是研究生产 系统效率的有效工具 直观地描述生产前沿 就是根据已知的一组投入 产出的观测数据 构造 出投入产出的一切可能组合的外部边界 使得所有的投入产出观测值组成的点 都落在这个边界的 下方 或者恰好落在边界上 从定义可以看出 生产前沿 是对一个经济系统最优生产行为的描述 代表着一组要素投入量所对应的 最 大 生产能力 通过比较实际生产活动与生产前沿的差距 可以反映出生产单 元生产活动技术效率上的损失 从而可求得相对有效性 根据研究方法的不同 生产前沿可分为参数方法和非参数方法 参数方法是 指计量经济学中的数理统计方法 即在投入与产出之间假设明确的生产函数数 学表达式 然后根据一组投入产出观测数据 在满足某些条件下 利用回归分 析的方法确定表达式中的参数 参数方法中的随机前沿模型既反映了生产的最 优性 也体现了样本数据的统计特性 是一种比较理想的参数生产前沿 但是 此模型需要同时假定随机误差项及管理偏差的分布 对随机误差我们一般假定 其为零均值 方差有限的正态分布 而管理偏差一般假定其为半正态分布或指 数分布等单边分布 而某些情况下这些假定的分布可能与客观情况不一致 为 了克服这一点t o s h i y u k is u e y o s h i 利用数据包络分析 d e a 作为分析工具 来确 定管理偏差的大小 获得回归模型 这就是研究生产前沿的非参数方法即d e a 数据包络分析方法是一种用于评估具有同质投入产出d m u 的相对有效性的方 法 它以数学规划为工具 仅仅依靠分析d m u 的输入输出数据来评价其相对有 效性 为了完善生产前沿理论 并将研究生产前沿的参数方法和非参数方法进 行比较并给出本文的主要模型 下面在第2 章关于生产集和生产函数理论的基 础上 简略的介绍数据包络分析 d e a 理论 而参数随机前沿面模型将在下 面的章节详细介绍 8 武汉理i 人学硕士学位论文 3 1 数据包络分析理论 d a l a d e v e l o p m e n ta n a i y s i s 3 1 1d e a 理论基础 数据包络分析 d a t ad e v e l o p m e n ta n a l y s i s 简称d e a 是美国著名运筹 学家a c h a r n e s 和w 1 r c o o p e r 等 1 9 7 7 在 相对效率评价 概念基础上发 展起来的一种新的分析理论 它主要采用数学规划方法 将有效的生产单元组 合起来 构造出 悬浮 于整个观测点的分段超平面 即生产前沿面 以此评 估每个生产单元的综合效率的数量指标 由d e a 可将各d m u 定级排序 以确定 有效的d m u 或相对效率的高低 并指出d 删非有效的原因与程度 提出相应的 决策信息 另外 d e a 还可以判断各个d m u 的投入规模的适合程度 给出各d m u 调整其投入规模的方向和程度 并且它无需假设任何形式的生产函数 3 1 2d e a 基本模型 5 3 1 9 7 8 年第一个d e a 模型一c 2 r 模型发表 此后新的模型不断出现 最初的 c 2 r 模型是对决策单元的规模有效性和技术有效性同时进行评价 即c 2 r 模型中 的d e a 有效的决策单元既是最佳规模又是技术管理水平最好 显得有些苛刻 为了更正确地评价有效生产前沿 1 9 8 5 年a c h a r n e s 和w w c 0 0 p e r 等人又提出 了c 2 g s 2 模型 专门用来评价决策单元的技术有效性 1 c 2 r 模型 c r 模型是d e a 的最基本模型 这一模型对被估单元的规模有效性和技术有 效洼同时进行评估 该模型对应的有效生产前沿为一过原点的平面 它实际上 是由观测到的有限个决策单元的生产行为所构成的经验生产前沿面 由于该模 型所对应的生产可能集是一凸锥 因此其中有效的生产单元同时为技术和规模 有效 设有h 个决策单元d m u 1 2 n 每个决策单元都有m 项投入 x 工驴五 一 7 s 项输出一一 m y 驴 y 7 记x 2 阻置 以 y f k k l 分别称为多指标输入矩阵和多指标输出矩阵 设 v v v 以 7 和 7 分别是输入和输出的权向量 则d m u 的总输 入 和总输出d 分别为 v l v k l 罱j j v 和q 1 u h 2 y 卫 y d 叠x 7 显然 武汉理一 人学硕 学位论文 总输入 i 越小 总输出 l 越大 则d m u 的效率越高 为此 d e a 用总输出与总输 入之比的大小来衡量d m u 的有效 令 d j 几 缳7 霹v 则称e j i 为d m u 的效率评价指数 在上式中 权向量 和v 都是待定的 它们的每一个分量都是 非负的 对每一个d m u 我们求使瓦达到最大值的权向量 因此 得到d e a 的 c 2 r 模型 f 对每一个d m u i 解以下极大化问题 凳一毛 弘 凳s 1 圳 芦 芑o v 苫0且 一o v o 这是一个分式规划问题 利用1 9 6 2 年c h a r n e s 和c o o p e r 对于分式规划的 c h a r n e s c o o p e r 交换 f f v w 一押 p m 则 f 可化为等价的 线性规划问题 m a x 妒p 毛 咖5 薹 1 1 小n x w 1 w 苫o v 芑0 且w 0 v 0 n u n日 z 量口置 d c k l a 匕 k r2o 1 2 一 丹 日 e 1 d c 强 为 0 的对偶形式 线性规划 足 的解一和西称为d m u 的最佳权向量 它们是使d m u 的效率值e 达到最大值的权向量 注意 作为线 性规划 乒 的解 w 和一不是唯一的 所以在 0 中施加限制条件f w 1 定义3 1 若线性规划 0 如 的解一和西满足 e p 西一1 则称d m u 为弱d e a c 2 r 有效 巨 称为效率指数 定义3 2 若线性规划 p 的解中存在解一2 0 西 o 并且置 川 1 则称d u 为d e a c 2 r 有效 利用线性规划的对偶定理和紧松定理 可以得到关于d e a 有效的等价定义 定义3 3 若 印 的任意最优解口 a 1 2 n 都满足口 l 1 0 武汉理 i 人学硕 学位论文 z 一 疗 y j a j 目 m 则称d m u t 为d e a 有效的 利用 是 和 d 判断d m u 的d e a 有效性时并不直接 早在t 9 5 2 年 c h a r n e s 在处理线性规划的退化问题时 在非a r c h i m e d e s 域上引进了非 a r c h i m e d e s 无穷小概念 给出了摄动法 对于d e a 模型 d c 嗦 c h a r n e 和c 0 0 p e r 给出了具有非a r c h i m e d e s 无穷小量 的d e a 模型 d p s s 一 s 荟 z 一一2 荔l 喝 噬妇 j 1 2 一 h 5 一 0 5 苫0 其中e 一 1 1 7 e e 一 1 1 一 1 7 e 事实上 存在一个正数s 使得下面的定理成立 定理3 1 2 3 若 d k 的最优解口 一 1 2 l 满足一 一1 s 一 o 5 一0 贝0d m u 为d e a 有效的 2 b c c 模型 5 2 生产集的锥性假设有时是不现实或不合理的 因此去掉该项假设 当生产可 能集t 只是满足凸性 加入条件 一1 无效性和最小性时 便可得到满足规 模收益可变的b c c 模型及其对偶形式如下 m i n 口一s s 一 p 5 珐再a x 5 一 8 置 善一l s 一 x 占c c 1 苫0 篁1 2 一 n s 苫0 s 苫o m a x 7 一 趾垮岸一x j w 一 s o x j w 一1 w 2 肛 e i 任意 b c c 式中 为规模收益指示量 若 为 日c c 的最优值 则 1 c o 规模收益递 增 2 o 规模收益不变 3 o 规模收益递减 晌 n 武汉理l 大学硕士学位论文 以上d e a 模型是在生产可能集丁 暖 y i 产出y 可由投入x 生产出来 满 足第1 章的公理性假设 凸性 无效性 锥性 最小性的条件的基础上建立的 模型 p 和 啡 是规模收益不变的d e a 模型 若是d e a 有效 则同时 为技术和规模有效 先不考虑松弛变量s 一和r 则模型 p 即为 d 即 表示在生产可能集t 内 保持产出 不减 同时将输入量置各分量按同一比例口 尽量减少 如果输入量不能减少即 见 式的最小值口 t1 则被评估单元为 有效单元 否则为无效单元 也可以这样解释 第i 个决策单元的输出向量l 被 其他单元的输出向量的组合从 上面 包络 而其输入向量置被其他单元输入 向量的组合从 下面 包络 当置和 不能被同时包络时 则第i 个d m u 为 有效单元 否则为无效单元 这也是d e a 方法为何如此命名的原因所在 3 其他d e a 模型 前面模型中决策单元的效率是输入输出的加权和之比 结合c o b b d o u d 弱s 生产函数 定义效率为输入输出加权之积的比 则可以得到c c s s 模型 5 2 l 以及 另一种乘积模型 当d e a 用来判断决策单元p a r e t o 最优性时 得到c c g s s 模型 5 3 另外还有体现决策者偏好的锥比率的c 2 w h 模型和研究具有无穷多个 决策单元的c 2 w h 模型 5 5 以及后来的综合d e a 模型c 2 w y 模型等 3 1 3d e a 方法在生产前沿面有效性分析中的局限性 d e a 方法对生产前沿面有效性分析的研究中 j m a l l a j a j l 将d 队原理和生 产前沿的数学表达式联合起来讨论 r d b a i i l e r r m t h r a l l 则应用d e a 方法 来评价生产规模收益并给出最佳生产规模的概念 他们在近期又针对d e a 模型 可能存在多个最优解的情况给出应用最优解来判别生产规模收益情况 另外还 有j k s e n g u p t a 关于随机生产前沿面有效性分析的研究以及应用目标规划和 d e a 方法评价随机生产配置有效性的研究 d e a 开辟了生产有效性分析的新途径 但无论在理论还是实际应用方面均有 待进一步的发展与完善 因为这种方法没有确定的模型 不好进行预测等外延 性研究 另外 此方法只是针对确定性生产前沿进行讨论 没有考虑随机因素 的影响 一定程度上不符合客观实际 随机前沿生产函数则解决了这个问题 武汉理工大学硕士学转论文 3 2 研究生产前沿的参数方法 研究生产前沿的参数方法又分为确定性的和随机性的 下面就模型的参数估 计方法分别加以概括性说明 并对模型进行简单的评价 3 2 1 确定 睫前沿生产函数 1 9 6 8 年 加g n e r 和c h u 第一次提出了确定性随机前沿面模型 他们把影响 产出的全部因素归入一个单侧的误差项中 作为生产非有效性的反映 使得产 出总是达不到最优 其模型为 昔 c x 声 e 一 0 3 一1 其中 僻 为确定性的前沿边界 o s e 1 反映了生产的无效性 z 为投入 向量 y 为实际产出量 这种确定性的前沿边界方法限定所有观测点均位于边界 上或边界的下方 假若有n 个厂商 每个厂商使用由k 种投入组成的投入列向 量的对数形式为x 生产单一产出的对数形式记为y 生产函数采用c d 形 式 则上面的确定性前沿模型可化为 y i 昌a x 一 i i 苫o f 1 2 一 3 2 式中卢 局 以 艮 是待估参数向量 其参数估计方法主要有以下3 种 1 目标规划方法 对确定性前沿生产函数参数卢的估计 d j 越印e f 和s e c h u 1 9 6 8 针对一 组投入产出观测数据 鼍 y f 一1 2 月 给出了下面的数学规划方法估计 j 觚 渺 伐 i 或者j 删 善 昭 们 2 i s j 五 卢 2 只 f 1 2 l s j 置 卢 y i f 一1 2 上述目标规划的原理是在非负偏差的条件下 使偏差之和或平方和达到最 小即可得模型参数的估计 由于该方法是纯代数的 既没有关于估计量统计性 质的描述 也没有统计检验值可参考 同时 对于列于规划中的观测值数目有 所限制 要由待估参数个数限定 通常要舍弃 些样本点 造成估计不稳定 另外 没有考虑到生产行为的随机性 如果存在异常点 显然会造成很大的误 武汉理 l 大学硕士学弦论文 差 如果假设 3 1 中的 有明确的概率分布 则通常采用极大似然估计 m l e 或修正最小二乘法 c o l s 来估计参数 2 m l e 方法 m l e 通常对 给出如下统计假设 为随机变量 其样本相互独立且具有确 定的统计分布 设 的概率密度函数为p 以 3 一1 的c d 生产函数为