陕西省安康市高考数学四模试卷 理（含解析）.doc

陕西省安康市2015届高考数学 四模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|1x4，b=x|x2，则a（rb）等于( )a（1，2b2，4）c（2，4）d（1，4）2已知i是虚数单位，则=( )aib+ic1di3五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图，则这五位同学这次考试的数学平均分为( )a88b89c90d914已知角的终边在第二象限，且sin=，则tan等于( )abcd5在等差数列an中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差d等于( )a1b1c2d26“m=2”是“直线xy+m=0与圆x2+y2=2相切”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7执行如图程序框图，输出的结果为( )a20b30c42d568若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积为( )ab2c2d69下列三个数：a=ln，b=ln，c=ln33，大小顺序正确的是( )aacbbabccacbdbac10已知函数f（x）=sin（x+）（其中0|）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（，0），为了得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象( )a向右平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向左平移个单位11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，则双曲线c的离心率为( )abcd12对于函数f（x），若a，b，cr，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是( )a0，+）b0，1c1，2d二、填空题（每小题5分，共20分）13二项式（x）6的展开式中x4的系数是_14已知向量，满足|=1，|+|=，且，的夹角为，则|=_15实数x，y满足则不等式组所围成的图形的面积为_16已知数列an的前n项和sn满足an+3snsn1=0（n2，nn+），a1=，则nan的最小值为_三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asinb=5c，cosb=（）求角a的大小；（）设bc边的中点为d，|ad|=，求abc的面积18某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记x为抽取女生的人数，求x的分布列及数学期望19已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=1，ab=2，e，f分别是ab、pd的中点（1）求证：af平面pec；（2）求平面pec与平面ecd夹角的余弦值20已知椭圆c：+=1，（ab0）的离心率等于，点p（2，）在椭圆上（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆c的左右顶点分别为a，b，过点q（2，0）的动直线l与椭圆c相交于m，n两点，是否存在定直线l：x=t，使得l与an的交点g总在直线bm上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由21设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围选修41：几何证明选讲22如图，abc是直角三角形，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）求证：o、b、d、e四点共圆；（2）求证：2de2=dmac+dmab选修44：坐标系与参数方程23平面直角坐标系中，曲线c1的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线c2的方程为=2sin（1）求c1和c2的普通方程；（2）其c1和c2公共弦的垂直平分线的极坐标方程选修45：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（）若a=1，解不等式f（x）4；（）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围陕西省安康市2015届高考数学四模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=x|1x4，b=x|x2，则a（rb）等于( )a（1，2b2，4）c（2，4）d（1，4）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由全集r及b，求出b的补集，找出a与b补集的交集即可解答：解：a=（1，4），b=（，2，rb=（2，+），则a（rb）=（2，4），故选：c点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知i是虚数单位，则=( )aib+ic1di考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数除法公式直接计算解答：解：=i故选：a点评：本题考查复数的代数形式的乘除计算，是基础题，解题时要注意复数运算法则的合理运用3五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图，则这五位同学这次考试的数学平均分为( )a88b89c90d91考点：众数、中位数、平均数 专题：计算题；概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，计算数据的平均数即可解答：解：根据茎叶图中的数据，得；这5位同学考试的数学平均数为：（84+86+88+95+97）=90故答案为：c点评：本题考查了计算一组数据的平均数的问题，是基础题目4已知角的终边在第二象限，且sin=，则tan等于( )abcd考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：由终边为第二象限角，根据sin的值，求出cos的值，即可确定出tan的值即可解答：解：角的终边在第二象限，且sin=，cos=，则tan=故选：d点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键5在等差数列an中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差d等于( )a1b1c2d2考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：在等差数列an中，由条件利用等差数列的性质求得a2=5，且 a5=2，设公差为d，则由a5a2=3d，求得d的值解答：解：在等差数列an中，a1+a3=10=2a2，a4+a6=4=2a5，a2=5，且 a5=2，设公差为d，则由 a5a2=3d=25=3，求得 d=1，故选：b点评：本题主要考查等差数列的性质应用，属于中档题6“m=2”是“直线xy+m=0与圆x2+y2=2相切”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解可得到m的值，即可得出结论解答：解：由圆x2+y2=2，得到圆心（0，0），半径r=，直线xy+m=0与圆x2+y2=2相切，圆心到直线的距离d=r，即=，整理得：|m|=2，即m=2，“m=2”是“直线xy+m=0与圆x2+y2=2相切”的充分不必要条件，故选：a点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键7执行如图程序框图，输出的结果为( )a20b30c42d56考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n，t的值，当s=25，t=30时，满足条件ts，退出循环，输出t=30解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0，t=0不满足条件ts，s=5，n=2，t=2不满足条件ts，s=10，n=4，t=6不满足条件ts，s=15，n=6，t=12不满足条件ts，s=20，n=8，t=20不满足条件ts，s=25，n=10，t=30满足条件ts，退出循环，输出t=30，故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的s，n，t的值是解题的关键，属于基本知识的考查8若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积为( )ab2c2d6考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意可知三棱柱是底面边长为2，高为1的三棱柱，侧棱与底面垂直，利用矩形 的面积公式求解即可解答：解：根据题意可知三棱柱是底面边长为2，高为1的三棱柱，侧棱与底面垂直，故其侧面积为321=6，故选：d点评：本题考查了简单的空间几何体的三视图的运用，关键是恢复原图形，判断几何体的特殊性质，难度不大，属于基础题目9下列三个数：a=ln，b=ln，c=ln33，大小顺序正确的是( )aacbbabccacbdbac考点：对数值大小的比较 专题：计算题；导数的综合应用分析：由题意设f（x）=lnxx（x0），求导判断函数的单调性，从而比较大小解答：解：设f（x）=lnxx，（x0），则f（x）=1=；故f（x）在（1，+）上是减函数，且3，故lnln33ln，即acb；故选a点评：本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小，属于基础题10已知函数f（x）=sin（x+）（其中0|）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（，0），为了得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象( )a向右平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向左平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由周期求得，根据图象的对称中心求得的值，可得函数的解析式，再根据函数y=asin（x+）的图象变换规律得出结论解答：解：由题意可得函数的最小正周期为 =2，=2再根据2+=k，|，kz，可得=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）+=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：d点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，则双曲线c的离心率为( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用条件可得a（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论解答：解：双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，a（）在双曲线上，=c（c，2c）在双曲线上，c46a2c2+a4=0e46e2+1=0e1e=故选b点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题12对于函数f（x），若a，b，cr，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是( )a0，+）b0，1c1，2d考点：指数函数的图像与性质 分析：因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围解答：解：由题意可得f（a）+f（b）f（c）对于a，b，cr都恒成立，由于f（x）=1+，当t1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件当t10，f（x）在r上是减函数，1f（a）1+t1=t，同理1f（b）t，1f（c）t，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t，解得1t2当t10，f（x）在r上是增函数，tf（a）1，同理tf（b）1，2f（c）1，由f（a）+f（b）f（c），可得 2t1，解得1t综上可得，t2，故实数t的取值范围是，2，故选d点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题二、填空题（每小题5分，共20分）13二项式（x）6的展开式中x4的系数是6考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数解答：解：展开式的通项为tr+1=，令6rr=4，解得r=1，此时t2=c61x4=6x4，则展开式中x4的系数是6，故答案为：6点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，求出展开式的通项公式是解决本题的关键14已知向量，满足|=1，|+|=，且，的夹角为，则|=2考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由，可得，代入解出即可解答：解：，化为，解得故答案为2点评：熟练掌握向量的运算公式及其数量积运算是解题的关键15实数x，y满足则不等式组所围成的图形的面积为1考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积公式进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则不等式组围成的图形为三角形，其中a（0，1），b（1，0），c（2，1），则三角形abc的面积s=，故答案为：1点评：本题主要考查三角形面积的计算，以及二元一次不等式组表示平面区域，比较基础16已知数列an的前n项和sn满足an+3snsn1=0（n2，nn+），a1=，则nan的最小值为考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得数列是以3为首项，以3为公差的等差数列，求出其前n项和后代入nan，然后由数列的函数特性求得nan的最小值解答：解：an+3snsn1=0（n2，nn+），snsn1+3snsn1=0，a1=，snsn10，化简得：，（n2，nn+），数列是以3为首项，以3为公差的等差数列，则，从而=（n2），要使nan最小，则需最小，即n=2时最小，此时当n=1时，故对任意nn*，nan的最小值为点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asinb=5c，cosb=（）求角a的大小；（）设bc边的中点为d，|ad|=，求abc的面积考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（）利用同角三角函数关系求得sinb的值，利用2asinb=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sina和cosa的关系，求得tana的值，进而求得a（）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案解答：解：（ i）在abc中，2a=5c3a=7c，3sina=7sinc，3sina=7sin（a+b），3sina=7sinacosb+7cosasinb，即3sina=7sina+7cosasina=cosa，即（），又3a=7c，bd=，c=3，则a=7，点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化18某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记x为抽取女生的人数，求x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：应用题；概率与统计分析：（1）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；（2）由题意，x所有取值0，1，2在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=52=3根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望解答：解：（1）设该公司共n人，由题意得，解得，n=500；则a=500（180+120+70+20+30）=80；（2）x的所有取值为0，1，2，则在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=52=3p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，x的分布列为：x012pex=0+1+2=点评：本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求法，熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键19已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=1，ab=2，e，f分别是ab、pd的中点（1）求证：af平面pec；（2）求平面pec与平面ecd夹角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取pc的中点m，连结mf、me，通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）以a为原点建立空间直角坐标系，则所求值即为平面pec的法向量与平面abcd的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可解答：（1）证明：取pc的中点m，连结mf、me，又f是pd的中点，mfdc，且bf=dc，又dcae，mfae，又e是ab的中点，且ab=cd，mf=ae，四边形aemf是平行四边形，afem，又em平面pec，af平面pec，af平面pec；（2）解：以a为原点建立空间直角坐标系如图，则a（0，0，0），b（2，0，0），c（2，1，0），d（0，1，0），e（1，0，0），f（0，），p（0，0，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面pec的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，得=（1，1，1），而平面abcd的法向量为=（0，0，1），=，所求平面pec与平面ecd夹角的余弦值为点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题20已知椭圆c：+=1，（ab0）的离心率等于，点p（2，）在椭圆上（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆c的左右顶点分别为a，b，过点q（2，0）的动直线l与椭圆c相交于m，n两点，是否存在定直线l：x=t，使得l与an的交点g总在直线bm上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得：，解得即可（2）当lx轴时，m，n，联立直线an、bm的方程可得g猜测常数t=8即存在定直线l：x=t，使得l与an的交点g总在直线bm上当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x2），m（x1，y1），n（x2，y2），g（8，t）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）12y2=0，只要证明三点b，m，g共线即可利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明解答：解：（1）椭圆c：+=1，（ab0）的离心率等于，点p（2，）在椭圆上，解得a2=16，b2=4，c=椭圆c的方程为（2）当lx轴时，m，n，直线an、bm的方程分别为，分别化为：=0，=0联立解得g猜测常数t=8即存在定直线l：x=t，使得l与an的交点g总在直线bm上证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x2），m（x1，y1），n（x2，y2），g（8，t）联立，化为（1+4k2）x216k2x+16k216=0，=（12，t），=（x2+4，y2），三点a，n，g共线t（x2+4）12y2=0，=由于=（4，t），=（x14，y1），要证明三点b，m，g共线即证明t（x14）4y1=0即证明4k（x12）=0，而3（x22）（x14）（x12）（x2+4）=2x1x210（x1+x2）+32=0，4k（x12）=0成立存在定直线l：x=8，使得l与an的交点g总在直线bm上综上可知：存在定直线l：x=8，使得l与an的交点g总在直线bm上点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题21设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=a+在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围解答：解：（）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）在（1，+）上为减函数，f（x）=a+0在（1，+）上恒成立，a=（）2，令g（x）=（）2，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为，a，即aa的最小值为（）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（）知，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）=a+=（）2+a，f（x）max+a=，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a，即a时，由（），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=ae2+，a，a当a0，即0a时，xe，e2，lnx，1，f（x）=a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=ax0+，要使f（x）min，a=，与a0矛盾，a0不合题意综上，实数a的取值范围为，+）点评：本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用选修41：几何证明选讲22如图，abc是直角三角形，abc=90，以ab为直径的圆o交ac于点e，点d是bc边的中点，连接od交圆o于点m（1）求证：o、b、d、e四点共圆；（2）求证：2de2=dmac+dmab考点：与圆有关的比例线段 专题：证明题；直线与圆分析：（1）连接be、oe，由直径所对的圆周角为直角，得到beec，从而得出de=bd=，由此证出odeodb，得oed=obd=90，利用圆内接四边形形的判定定理得到o、b、d、e四点共圆；（2）延长do交圆o于点h，由（1）的结论证出de为圆o的切线，从而得出de2=dmdh，再将dh分解为do+oh，并利用oh=和do=，化简即可得到等式2de2=dmac+dmab成立解答：解：（1）连接be、oe，则ab为圆0的直径，a