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二次函数各种题型汇总 一、利用函数的对称性解题 （一）用对称比较大小 例1、已知二次函数y=x2-3x-4，若x2-3/23/2-x10，比较y1与y2的大小 解：抛物线的对称轴为x=3/2，且3/2-x10，x2-3/20，所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧， 由已知条件x2-3/23/2-x10，得：x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，所以y2y1 （二）用对称求解析式 例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。解：因为顶点坐标为（1，4），所以对称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：x1=13=4，x2=1+3=2则两交点的坐标为（4，0）、（2，0）； 设抛物线的解析式为顶点式：ya（x+1）+4，把（2，0）代入得a=4/9。 所以抛物线的解析式为y=4/9（x+1）2+4 （三）用对称性解题 例1：关于x的方程x2+px+1=0（p0）的两根之差为1，则p等于（） A.2B.4C.D. 解：设方程x2+px+1=0（p0）的两根为x1、x2，则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为（x1，0），（x2，0）。因为抛物线的对称轴为x=p/2，所以x1=p/21/2，x2=p/2+1/2，因为x1x2=1。所以(p/21/2)(p/2+1/2=1，p2=5 因为p0，所以p= 例2、如图，已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（） A（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3） 解：由点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A，B关于x=2对称。设点B的横坐标为xB，点A的坐标为（0，3）， 所以，（0+xB）/2=2，xB=4 B点坐标为（4，3）例2（2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是多少解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为（1，0），ax2+bx+c0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3例3、（2010，浙江金华）若二次函数y=x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2是多少； 解：依题意得二次函数y=-x2+2x+k的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0）， 抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1，交点坐标为（-1，0）关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的解为x1=3或x2=1故填空答案：x1=-1例4：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则ab+c的值为（ ） A.0 B.1 C.1 D.2解法1：将P代入得：9a+3b+c=0由对称轴得：-b/2a=1, 得b=-2a 9a+3b+c=3a+c=0 即a+2a+c=0 则 a-b+c=0解法2：由抛物线的对称轴:x=1，及点P（3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x=1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1，0）满足关系式，因为点p，Q在x轴上所以a-b+c=0，故选A例5、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=（-2+6）/2=2，于是设该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标为（x2,-8)，则有2=（3+x2）/2，从而得x2=1，故答案为(1,-8). 例6、已知抛物线上有不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)求抛物线的解析式 分析：关键是确定一次项系数b观察抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称 解：的对称轴为x=-b（-1/22）=b 因为抛物线上不同的两点E(k+3，-k2+1)和F(-k-1，-k2+1)纵坐标相同，点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=（k+3)+(-k-1)2=1，抛物线的解析式为y=1/2x2+x+4-+例7（2010，山东聊城）如图5，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；分析：（1）由点C（0，3）知c3，只需求得a、b两个未知的系数，根据点A（1,0）和对称轴x=1，利用待定系数法可求解；（2）由抛物线的对称性知，直线x=1是AB的垂直平分线，因此MAMB，要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小，所以点M就是直线BC与抛物线对称轴的交点解：（1）抛物线经过点C（0，3）c3，yax2+bx-3。又抛物线经过点A（1，0），对称轴为x=1，所以a-b-3=0 b/2a=1 解得 a=1 b=-2抛物线的函数关系式为yx22x-3由B（3，0），C（0，3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.当点M（1，-2）时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小（2）点A（1,0），对称轴为x=1，点B（3，0）连接BC,交对称轴x=1于点M.点M在对称轴上，MA=MB,直线BC与对称轴x=1的交点即为所求的M点.设直线BC的函数关系式为y=kx+b，由B（3，0），C（0，3），解得y=x-3,由x=1,解得y=-2.当点M（1，-2）时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小例8、二次函数图像经过A（-3，1）、B（1，1）、C（-1，3）三点，求二次函数的解析式。 分析：由观察可知点A（-3，1）、B（1，1）是抛物线上对称的两点。根据结论2，可知直线是此抛物线的对称轴，所以点C（-1，3）恰为抛物线的顶点。设二次函数的解析式为（顶点式），所以。从而可确定二次函数的解析式为。 例9. 已知抛物线经过点A（-3，-5），且。试求抛物线经过除A点以外的另一定点的坐标。 分析：按照常规思维写出解析式，再确定某一常数点，思维受阻。考虑到，从而可知对称轴为。根据结论3，A（-3，-5）关于对称轴的对称点A一定在抛物线上，A点的坐标为（1，-5）。因而另一定点的坐标为（1，-5）。例10、已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点B，求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，所以点A在抛物线上。（2）顶点B（1，0），；设抛物线与轴的另一交点为C，B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作AD轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，解得或（舍）。故。例11. 如图2所示，圆O的直径为2，AB、EF为互相垂直的两条直径，以AB所在直线为y轴，过点A作x轴，建立直角坐标系。 （1）写出E、F的坐标； （2）经过E、F两点的抛物线从左至右交x轴于C、D两点，若，试判定抛物线的顶点是否在圆内。 （3）若经过E、F两点的抛物线的顶点恰好在圆O上，试求抛物线的解析式。 分析：（1）E点的坐标为（-1，1），F点的坐标为（1，1）； （2）根据结论2可知，E、F关于对称轴对称，从而可知对称轴为。C、D是抛物线与x轴的两个交点，根据结论1，易知C点坐标为。设解析式为，建立方程组 可得解析式为。易知顶点在线段AB上。因为，故知抛物线顶点在圆内。 （3）根据抛物线的对称性和圆的对称性可知，抛物线的顶点只能为B点或A点，现分两种情况讨论。（1）当B点为顶点时，设解析式为（顶点式），所以。解得，所以解析式为。（2）当A点为顶点时，设解析式为，所以。解得，所以解析式为。 注意：求抛物线的解析式的过程中，为避免方程组中出现相同的方程，对称的两点中，只用其中一个点的坐标来列方程。 二、二次函数a、b、c之间的关系题型及字母求值的题型1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，给出下列结论： b24ac0； 2a+b0；a-b+c=0,2a+b=0, 所以b=-2a,c=-3a,所以abc= -123.解答：选D 2、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法中正确的个数为（） a0 2a+b=0 a+b+c0 当1x3时，y0 A1 B2 C3 D 解：图象开口向下，能得到a0；对称轴在y轴右侧，x=1，则有=1，即2a+b=0； 当x=1时，y0，则a+b+c0； 由图可知，当1x3时，y0 故选C 3、已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= abx2+(a+b)x A. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为 C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 【解析】M(a,b)，则N(a,b)，M在双曲线上，ab=；N在直线上，b=a+3,即a+b=3； 二次函数y= abx2+(a+b)x= x2+3x= (x3)2+，有最大值，最大值为，【答案】B 4、在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（ B） A1 B2 C3 D6 【解析】因为是左或右平移，所以由求出抛物线与轴有两个交点（3,0），（-2,0）将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小 5、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：abc0；a-b+c0； 3a+c0； 当-1x0其中正确的是_(把正确说法的序号都填上) 【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 抛物线的开口向下，a0， 与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c0， 对称轴为x=1，得2a=b，a、b异号，即b0， 又c0，abc0，故正确； 抛物线与x轴的交点可以看出， 当x=1时，y0，ab+c0，故正确； 当x=1时，y0， 而此时ab+c =3a+c，即3a+c0；故正确； 观察图形，显然不正确【答案】 6、对于二次函数，有下列说法：其中正确的说法是 它的图象与轴有两个公共点； 如果当1时随的增大而减小，则； 如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则； 如果当时的函数值与时的函数值相等， 则当时的函数值为 【解析】根据函数与方程的关系解答；4m24（3）4m2120，它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确； 找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；当x1时y随x的增大而减小（注意x的取值包含1，一般情况下，二次函数的增减性是以对称轴为界限，但不包含对称轴，即x的取值不能包含对称轴的值，）函数的对称轴x=m，在直线x1的右侧，故本选项错误； 将m1代入解析式，求出和x轴的交点坐标；将m1代入解析式，得yx22x3，当y0时，得x22x30，即（x1）（x3）0，解得，x11，x23，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误； 根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m2013代入解析式；当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，对称轴为x1006，则1006，即m1006，原函数可化为yx22013x3，当x2013时，y201322013201333，故本选项正确【答案】（多填、少填或错填均不给分） 7、（2013年广西玉林市，11，3）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A B C D 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c1，选项错误； 抛物线的对称轴为x=- =1，2a+b=0，选项正确； 由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac0，即b24ac，选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，方程的两根为x1，x2，且- =1，及- =2， x1+x2=- =2，选项正确，综上，正确的结论有故选C 8、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，则一定有（A ）A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 C.没有实根 D.无法确定因为a0，可知x=-1时 ，函数值y0，所以方程两个根分别位于-1两侧,显然这两个根不相等。9、已知二次函数y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，则一定有（ A ） A 、b2-4ac0 B 、b2-4ac=0 C 、b2-4ac0 D 、b2-4ac0 解：a0 抛物线的开口向下 a-b+c0 当x=-1时，y=a-b+c0 抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac010、已知：abc，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A B C DA、由图知a0，-b/2a=1，c0，即b0，已知abc，故本选项错误；B、由图知a0，而已知abc，且a+b+c=0，必须a0，故本选项错误；C、图C中条件满足abc，且a+b+c=0，故本选项正确； D、a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误故选C11、二次函数的图像如图所示，那么、，a+b+c，a-b+c这几个代数式中，值为正的有（ A ） A、6个 B、3个 C、2个 D、1个解：由图知a0,对称轴x=-b/2a0,知b0,抛物线与y轴交于负半轴，c0, 所以abc0,因为图像与x轴有两个交点，所以b-4ac0,由对称轴x=-b/2a1.a0知-b2a,即2a+b0由图知当x=1时,y=a+b+c0.由图知当x=-1时,y=a-b+c0.由图知当x=-2时,y=4a-2b+c012、二次函数的图像如图所示，OAOC，则下列结论： 0； ； ； ； 。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 解：由函数图象可以得到以下信息：a0，b0，c0，则abc0,错误；（开口朝上，a0，对称轴在y轴右侧，x=-b/2a0，b0，抛物线与y轴交于负半轴，c0）抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0,正确；OA=OC, A点横坐标等于c, 则ac2+bc+c=0, 则ac+b+1=0, ac+b=-1，故ac-b=-1,不正确；对称轴x=-b/2a1,2a+b0,正确；OAOB=|xAxB|=- c/a,故正确；当x=-2时,4a-2b+c0,错误；故选B13、若抛物线的最低点在轴上，则的值为 2 。解：根据题型，函数抛物线的顶点在x轴上，且开口朝上，m-10，再根据顶点的y坐标为零即可求得。 三、二次函数的平移 1、抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 解析：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位故选B答案：B2、已知下列函数：y=x2， y= -x2， y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：.3、已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为。又因为，易知原抛物线过点（1，0），解得 原抛物线的解析式为：抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称； 4、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ c ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、14 5、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 解：因为二次函数的图像经过点（0，3），说明这是该函数和y轴的交点，图象向左平移2个单位后以Y轴为对称轴，说明该函数的对称轴为X=2的一条直线，图像向下平移1个单位后与X轴只有一个公共点，说明顶点是（2,1），设这个二次函数图像的解析式为y=a（x-2)2+1把点（0，3）代入得a（x-2)2+1=3 解得a=1/2，所以y=1/2（x-2）2+1=1/2x2-2x+3所以二次函数图像的解析式为y=1/2x2-2x+3 6、已知二次函数的图象过点（0，3），图象向左平移2个单位以后y轴为对称轴，图象向下平移1个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（） A. y=1/2x2-2x+1 B. y=1/2x2+1 C. y=1/2x2+2x+3 D. y=1/2x2-2x+3 二次函数的图象过点（0，3），各选项中c=3的只有C，D两个选项 向左平移2个单位以后y轴为对称轴，说明原函数解析式的对称轴在y轴的右边，而只有D选项的对称轴在y轴的右边故选D四、交点个数与字母的取值例1、已知函数y=(x-1)2-1(x3), y=(x-5)2-1(x3),则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为（ D ） A.0 B.1 C.2 D.3画出图像,易知当根据图象知道当y=k=3时，对应成立的x有恰好有三个，例2、已知函数y=|x2-2x|,若使y=k成立的x值恰好有两个，则k的值为( ) A. -1 B.0 C.1 D 以上均正确方法一，你把A,B,C的答案带进去。其实，A、D答案可以首先排掉，因为y=0.将C答案带进去X的值有3个。所以选B。方法二，画出y=|x2-2x|的图像，再用y=k这条直线去截。只有当k=0时交点有2个。k=-1时无交点。k=1时有3个交点。交点的个数即成立的x值的个数。例3、函数y=|x2-1|和函数y=x+k的图像恰有三个交点，则k的值是（1或5/4）解：1.先画y=x2-1图象.然后把x轴下方图象翻到上面.得y=|x2-1|图象.2.y=x+k是一个平行直线系.特点是斜率不变(不同直线系特点不同,还有的恒过某一定点).纵轴截距随k的变化而变化.3.平移直线.从下往上试.比如说与y=|x2-1|交于(1,0),正好是一个交点.然后继续往上平移,可以得到两个交点.不久就发现了,当与y=|x2-1|交于(-1,0)时,恰有3个交点.得k=1.然后继续向上平移一点,得到4个交点.在平移一点,当与y=|x2-1|中间突起部分相切时,也是恰好个交点.下面通过运算求这个切点.只考虑突起这部分函数.是y=-x2+1.让它与y=x+k联立,消去y得-x2+1=x+k.即x2+x+k-1=0.只有一个交点,判别式为0.即1-4*(k-1)=0.得k=5/4. 例4、已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a0） （1）求此二次函数图象与x轴交点A、B（A在B的左边）的坐标； （1）令ax2-2ax-3a=0（1分）解得x1=-1，x2=3（2分） 所以A（-1，0），B（3，0）（1分） 例5、已知二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有交点，求k的取值范围因为二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有交点，所以0。即（-7）2-4k(-7)0, k-7/4.且k0。例6、已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,(1)求m的取值范围 (2)当函数图象与x轴两交点横坐标倒数和等于-4时，求m值（1） =4(m-1)-4（m+1）（m+6）0，（2） 得到m-5/9。 （2）x1+x2=-b/a=-2（m-1）/(m+6)， x1x2=c/a=(m+1)/(m+6）, 1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-2m+2)/(m+1)=-4, 得到m=-3例7、抛物线 与坐标轴的交点个数是（）A3B2C1D0方法1：抛物线解析式，令x=0，解得：y=4，抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到，即，分解因式得： ，解得： , :。方法2：抛物线解析式，令x=0，解得：y=4，抛物线与y轴的交点为（0，4），判断0，则抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴的交点分别为（，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3【答案】选A五、二次函数的对称轴及顶点。 1、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 7 。 2、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ， 。六、函数与几何图形1、如图，已知ABC中，BC8，BC边上的高，D为BC上一点，EFBC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，DEF的面积为，那么关于的函数图像大致是（ ） 解：过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似比可知：EF/BC=(4-X)/4，即EF/8=(4-X)/4解得：EF=2（4-x），所以DEF的面积为：y=1/22（4-x）x= -x2+4x 因此选D2、若抛物线与四条直线，围成的正方形有公共点，则的取值范围是（ ） A、1 B、2 C、1 D、2解：根据题意得，抛物线的开口向上，a0，a越大，抛物线的开口越小，它与正方形的临界关系有两种种，第一经过点(2，1)，第二经过点(1，2)，其中经过点(1，2)的时候a取最大值，带入得a=2；其中经过点(2，1)的时候a取最小值，带入得a=1/4，所以得到1/4a23、如图，一次函数与二次函数的大致图像是（ C ） A B C D4、如图，一次函数y=ax+b与二次函数的大致图像是（ C ） A B C D七、解决实际问题：1、已知函数的图像过点（1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 3、抛物线，和直线（0）分别交于A、B两点，已知AOB900。（1）求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？4、如图，抛物线与轴的一个交点为A（1，0）。（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为52的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）；（2）304、（1）B（3，0）；（2）或； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小。八、函数与一元二次方程【例1】已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1） 又 或或 【例2】已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新：【问题】如图，抛物线，其中、分别是ABC的A、B、C的对边。（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，MNE与MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形；（2）当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）