《线性代数考研资料》第四章 线性方程组.doc

专业 权威 轻松 快乐 华慧考研：/第四章 线性方程组一、齐次线性方程组1（98，十二题，5分）已知线性方程组 （）的一个基础解系为，试写出线性方程组（）的通解，并说明理由【分析】一般地，若AB0，就应想到B的每一列均为Ax0的解，本题也可用向量形式证明A的行向量的转置为（）的解，但相对较复杂一些【详解】（）的通解为 ，其中为任意常数理由：方程组（），（）的系数矩阵分别记为A，B，则由题设可知，于是，可见A的n个行向量的转置向量为（）的n个解向量由于B的秩为n，故（）的解空间维数为2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩为2n与（）的解空间维数之差，即为n，故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（）的一个基础解系，于是得到（）的上述通解2（01，九题，6分）设为线性方程组Ax0的一个基础解系，其中为实常数。试问满足什么关系时，也为Ax0的一个基础解系【分析】首先应理解基础解系的概念，是Ax0的一个基础解系，必须证明均为Ax0的解，而且是线性无关的，而基础解系应满足两个条件：解向量；线性无关且向量个数为Snr(A)【详解】由于均为的线性组合，所以均为Ax0的解，下面证明线性无关，设 即 由于线性无关，因此其系数全为零，即 其系数行列式 可见，当，即当s为偶数，；s为奇数，时，上述方程组只有零解，因此向量组线性无关，从而也为Ax0的一个基础解系3（03，选5题，4分）设有齐次线性方程组Ax0和Bx0，其中A，B均为mn矩阵，现有4个命题： 若Ax0的解均是Bx0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax0的解均是Bx0的解； 若Ax0与Bx0同解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax0与Bx0同解以上命题中正确的是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】应选（B）【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与，迅速排除不正确的选项【详解】若Ax0与Bx0同解，则n秩(A)=n-秩(B),即秩(A)秩(B),命题成立可排除（A），（C）；若秩(A)秩(B)，则不能推出Ax0与Bx0同解如，则秩(A)=秩(B)=1,但Ax0与Bx0不同解，由此，命题不成立，排除（D），所以答案选（B）4（04，20题，9分）设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数的可能取值进行讨论即可【详解1】对方程组的参数矩阵A作初等行变换，有 当时，r(A)=1n,故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为，于是方程组得通解为，其中为任意常数当时，对矩阵B作初等行变换，有可知时，r(A)=n-1n故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数【详解2】方程组的系数行列式为 当，即或时，方程组有非零解当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为，其中为任意常数当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 故方程组的通解方程组为 由此得基础解系为于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数二、非齐次线性方程组1（00，填4题，3分）已知方程组无解，则【分析】首先明确方程组无解的充分必要条件是【详解】化增广矩阵为阶梯形，有可见，当时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解。注意，当时，系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解2（02，选4题，3分）设有三张不同平面的方程，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵都为2，则这三张平面可能的位置关系为：则（A） （B） （C） （D）【答】应选（B）【分析】由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为2，故得知方程组有解，而且解空间的维数321，即共同构成一条直线，所以选（B）项。但错误地选（C）或（D），其原因是误认为这两种情形均有公共解，事实上，（C）仅是两两方程有公共解，（D）是某方程分别与另两方程有公共解，都不是三个方程有公共解。【详解】由题设，线性方程组 系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2，由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程组有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（A）只有一个交点，（C），（D）无交点，因此只有（B）符合要求。3（02，九题，6分）已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关,如果,求方程组的通解【分析】对于详解2，关键在于求线性方程组的通解，再由的秩，并对照以及，便可求得结果【详解1】令，则由得，将代入上式，整理后得，由线性无关，知解此方程组得，其中k为任意常数【详解2】由线性无关和知A的秩为3，因此的基础解系中只包含一个向量。由，知为齐次线性方程组的一个解，所以其通解为，k为任意常数再由，知为非齐次线性方程组的一个特解于是的通解为，其中k为任意常数4（03，十题，8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有惟一解，进而转化为系数矩阵于增广矩阵的秩均为2，本题看似复杂，其实不难，计算量比较大，该题综合考查了矩阵的秩的计算，行列式的计算，以及对解的判断问题【详解1】必要性：设三条直线交于一点，则线性方程组有惟一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于但根据题设，故必要性：由，则从必要性的证明可知，故秩()3由于 故秩(A)=2，于是，秩(A)= 秩()=2因此方程组（*）有惟一解，即三直线交于一点【详解2】必要性：设三直线交于一点，则为的非零解，其中于是但根据题设，故充分性：考虑线性方程组 将方程组(*)的三个方程相加，并由可知，方程组(*)等价于方程组 因为故方程组(*)有惟一解所以方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点5（05，21题，9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵B（k为常数），且AB0，求线性方程组Ax0的通解【分析】AB0，相当于告之B的每一列均为Ax0的解，关键问题是Ax0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩【详解1】由AB0知r(A)+r(B)3,又 (1) 若r(A)=2,必有r(B)=1,此时k=9方程组Ax0的通解是，其中t为任意实数(2)若r(A)=1,则Ax0的通解方程是且满足，如果 ，方程组的通解是，其中为任意实数；如果，方程组的通解是，其中为任意实数【详解2】（1）如果，则秩r(B)=2,由AB0知，因此，所以Ax0的通解是，其中为任意实数（2）如果k=9，则秩r(B)=1,那么，r(A)=1或2若r(A)=2,则Ax0的通解是，其中t为任意实数若r(A)=1,对，设，则方程组的通解是 6（06，（20）题，9分）已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解（）证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2（）求的值及方程组的通解【分析】本题讨论带参数的取值与解的关系，根据已知条件，必须利用非齐次线性方程组与其导出组的关系以及基础解系与系数矩阵秩的关系来求解【详解】（）设是非齐次方程组三个线性无关的解，令 则是导出的齐次方程组的两个解由可得 因为线性无关，所以必有 即由此得线性无关因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故，由此得，另一方面，导出组的系数矩阵 存在2阶不等于零的子式 所以，综上所述，即得r(A)=2（）因为非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵A的秩相等，由（）得r(A)=2,故增广矩阵 的秩也为2，用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形 由此得即利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组 确定自由未知数 由此得通解为 其中为自由未知数2011年考研英语远程辅导全程班考研考什么？考的就是英语！每年考研英语超过60分的考生占总报考人数的比例不足15%，国家最高控制分数线从没超过58分。专业课再优秀，如果英语不过关，也与硕士无缘。可是，英语基础本来就不怎么样，学起来又枯燥；备考时间不多，又苦于没有有效的复习方法；自学的效果非常差，怎样才能在短时间内突破考研英语瓶颈呢？词汇记不住：是我们的记忆有问题，还是学习方法不对？阅读看不懂：是依靠大辞典，还是有更好的办法？写作、翻译无从下手：自认为构思还可以，可就是表达不出来，有什么玄机呢？针对广大考生存在的问题，华慧考研英语专业辅导团队集多年考研辅导经验，精确把握历年考研英语的命题思路，针对学员的英语基础开设不同层次的辅导班。 免费试听网址：/free/index.asp?zt=kaoyan复试指导班（报班300元即赠送此课程）个性化指导 100元基础学习班( 词汇+语法)40课时 原价400元，优惠价350元模块突破班(完型+翻译+阅读+写作)90课时 原价700元，优惠价550元专项突破班(基础学习班+模块突破班)130课时 原价1100元，优惠价780元系统全程班(专项突破班+串讲冲刺班)160课时 原价1600元，优惠价980元 专项突破班结合考试规律，全面提炼课程知识精华，侧重讲解重点、难点和考点。在较短时间内，强化学员对课程内容的掌握，提高学员驾驭和应用所学知识的能力，使学员真正做到举一反三、触类旁通。同时，通过对大量极具代表性的综合习题解题思路及过程的深入剖析，指明未来考题中可能出现的“误区”、“陷阱”所在，帮助学员提高答题技巧，减少答题错误，熟悉考试题型、掌握命题规律、提高解题能力，以达到事半功倍的复习效果。 串讲冲刺班全面串讲、模考等手段，强化应试能力和技巧，结合历年考试特点，预测考试方向，逐一讲解重要考点，分析考点出题形式，讲解答题思路，传授应试技巧，对考试题型进行归纳讲评，使学员适应考试氛围，以最佳状态面对考试。 咨询时间早上10：00晚上24：00（周六、周日及节假日期间不休息）24小时服务电话电话607在线咨询QQ: 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