（基础数学专业论文）二元外代数对应的线性矩阵问题.pdf

中文摘要 捅要 由s e r g e i c h u kv v 所引入的线性矩阵问题是矩阵问题的一种优美的表述方 式 所谓矩阵问题 粗略地说 就是研究某些矩阵的集合在一定的允许变换下的相 似问题 而发现相似标准形就是其中心问题之一 b e l i t s k i i 约化算法是在一定的允 许变换下约化任一矩阵到与其相似的典范形的有效算法 这可被看作j o r d a n 标准 形理论的推广 二元外代数是一类重要的有限维代数 在数学及其它许多领域有着广泛的 应用 本文首先给出二元外代数所对应的线性矩阵问题 利用b e l i t s k i i 算法 我 们计算了该线性矩阵问题的所有不可分解矩阵的典范形 并得到了二元外代 数的不可分解表示的维数向量只有 n 扎 n 凡 扎 n n 扎 n 一1 n l n l n 一 1 凡 扎 扎 n 和 几 1 n 1 n 1 礼 1 n 礼 n 佗 三种情形 关键词 二元外代数 线性矩阵问题 不可分解矩阵 典范形 b e l i t s k i i 算法 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t l i n e a rm a t r i xp r o b l e mi n t r o d u c e db ys e r g e i c h u kv vs e e m st ob eav e r ye l e g a n t f o r m u l a t i o no fm a t r i xp r o b l e m t h es o c a l l e dm a t r i xp r o b l e m s p e a k i n gr o u g h l y i st o s t u d yt h es i m i l a r i t yp r o b l e mo fas e to fm a t r i c e su n d e rs o m ea d m i s s i b l et r a n s f o r m a t i o n s a n dt of i n ds t a n d a r df o r mu n d e rs i m i l a r i t yi so n eo fi t sc e n t r a li s s u e s b e l i t s k i i s a l g o r i t h mi sa l le f f e c t i v et o o lt oc a l c u l a t et h ec a n o n i c a jf o r mo fa n ym a t r i xu n d e ra c e r t a i na d m i s s i b l et r a n s f o r m a t i o n i tc a nb er e g a r d e da sag e n e r a l i z a t i o no fj o r d a n s s t a n d a r df o r m e x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e si sac l a s so fi m p o r t a n tf i n i t ed i m e n s i o n a la l g e b r a s w h i c hh a sa ne x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nm a t h e m a t i c sa n do t h e rf i e l d s i nt h i sp a p e r w ef i r s td e s c r i b et h el i n e a rm a t r i xp r o b l e ma s s o c i a t e dt oe x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e s a n dt h e n b a s e do nt h eb e l i t s k i i sa l g o r i t h m w ec a l c u l a t ea l lt h ec a n o n i c a lf o r m s o fi n d e c o m p o s a b l em a t r i c e so v e rt h el i n e a rm a t r i xp r o b l e m a n dg e tt h a tt h e r ea r eo n l y t h r e es o r t so fd i m e n s i o nv e c t o r so fi n d e c o m p o s a b l er e p r e s e n t a t i o n so fe x t e r i o ra l g e b r a i nt w ov a r i a b l e s t h o s ea r e 礼 礼 扎 佗 n n 礼 礼 礼一1 n 一1 礼一1 礼一l 几 亿 凡 扎 a n d 佗 1 几 1 n 1 佗 1 佗 n 礼 礼 k e yw o r d s e x t e r i o ra l g e b r ai nt w ov a r i a b l e s l i n e a rm a t r i xp r o b l e m i n d e c o m p o s a b l em a t r i x c a n o n i c a lf o r m b e l i t s k i i sa l g o r i t h m 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明 所呈交的论义是本人在导师的指导卜 独立进行研究所取得 的研究成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文彳i 包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担 论文作者签名 叮友掺 签名日期 二匆产期珈 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 即 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本 学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 并提供目录检索与阅览服务 学 校可以允许采用影印 缩印 数字化或其它复制手段保存学位论文 在不以赢 利为目的的前提下 学校可以公开学位论文的部分或全部内容 保密论文在 解密后遵守此规定 聊龇彳红 签名日期洳6 夕年厂甩6 日 第一幸绪论 第一章绪论 所谓矩阵问题 1 j l j 线性代数的组合问题 粗略地说 就是研究某些矩阵的集 合在一定的允许变换下的相似问题 如发现相似标准形就足其中心问题之一 箭图 q u i v e r 及偏序集的表示理论是矩阵问题的两个最典型的例子 1 对于矩阵 问题 人们发展了一系列的等价的表述形式 如微分分次范畴 2 2 b o c s i l i 具有余 代数结构的双模 3 l 双模问题f 4 j 等 其中i 扫s e r g e i c h u kv v 所引入的线性矩阵问 题 和c r a w l e y b o e v e yw w 引入的带导了的双模似乎是矩阵问题的一种优美的 表述方式 特别是利用b e l i t s k i i 算法 5 使得我们可以很容易地计算仟 矩阵在 限制变换下的典范形 b r i i s t l et 与s e r g e i c h u kv v 运用这一技巧给出了t a m e 代 数对于固定维数的单参数簇的上界 6 徐运阁和张英伯给出了任一矩阵不可 分解性的简便判则 并给出了矩阵白同态环维数的计算公式吲 基于d r o z d 双 模p 1 a 与a m o d 之间的表示等价 曾祥勇和张英伯建立了这两个范畴之间的几 乎可裂序列之问的对应 8 线性矩阵 日j 题与双模闽题成为处理这些相关问题的强 有力的工具 标准形问题是矩阵问题的核心内容之一 在数学的许多分支都有j 泛的应 用 如j o r d a n 标准形理论是线性代数的巾心理论之一 它就是在相似变换下将单 个矩阵约化为与之相似的j o r d a n 标准形矩阵 类似地 我们还有j a c o b s o n 标准形 等 但多个矩阵在一定的允许变换 即有某些特殊限制的变换 下的相似标准形的 问题却要复杂得多 如著名的r o j t e r l h 题 9 等 b e l i t s k i i 约化算法 5 是在一定的允许 变换下约化任一矩阵到与其相似的典范形的有效算法 这可被看作j o r d a n 标准形 理论的推广 外代数 也称格拉斯曼代数 是g r a s s m a n nh g 在1 9 世纪4 0 年代发现的定义 在 个向量空间v 上的代数 它的出现直接推动了一般代数理论的出现和发展 一百七十多年来 这一代数及其理论得到了广泛的应用和不断的发展 存工程物 理和微分几何 代数几何等许多数学领域都有广泛而又深入的应用 如著名的d e r h a m 的上同调理论 10 等 现在外代数也开始在代数几何 量子群等前沿数学领 域发挥重要作用1 1 1 1 4 在近年来的文献中可看到外代数在各个领域的应用 如文献 1 5 中郭仲衡用 外代数的方法给m 了主不变量表达式的系统形式推导 c a y l e y h a m i l t o n 定理的内 蕴证明 牛顿公式的直接证明及主彳i 变量导数的直接证明 外代数在代数学研究 湖北大学硕士学位论文 中也是十分重要的 它可用于对交换代数的研究 1 6 l 及群的研究 1 3 s e r g e i c h u kv v 建立了有限维代数的表示范畴与线性矩阵问题的矩阵范畴 之间的表示等价 5 因而研究代数的表示分类问题就可归结为发现对应的线性 矩阵问题的不可分解矩阵的典范彤问题 在近年来的文献中口j 看到有限维代 数的线性矩阵问题的研究取得了新的进展 如文献 1 7 中李龙才博士给出了代 数a 七 z y x 2 铡 y 的线性矩阵问题是指数增长的证明 义献 1 8 1 中徐运阁 和朱俊杰给出了a 型线性矩阵问题的典范形 为了更多地了解有限维代数的 线性矩阵问题 本文的主要目的是给出二元外代数所对应的线性矩阵问题 利 用b e l i t s k i i 算法 我们计算了该线性矩阵问题的所有不可分解矩阵的典范形 并得 到了二元外代数所有不 j 分解表示的分类 2 一 第 章 线性矩阵问题 第二章线性矩阵问题 本节的内容主要取自文献 5 2 1 线性矩阵问题 定义2 1 1 一个线性矩阵问题 彤 可以由以下数据给出 a 指标集t l 2 t 7 l j t l 的 4 个等价关系一 记等价类的集合为 t 一 舅 以 以 b 约化代数 是一个上三角矩阵代数 即 形 1 l s 玎 七 当i 歹时 8 i j 0 当i 一歹时 8 i i 8 j j 当i 歹时 s 巧满足线性方程组 c o z 巧 0 v t 一 一 o i a 2 k 例如 若k 是复数域 用字典序 h r j b c d i 当且仅当a c 或a c 且6 d 由j o r d a n 定理知任 方阵都相似于一个唯一的w e y r 矩阵 因此对于上述给定 的几阶矩阵a 必然存在可逆的矩阵p 使得p 一1 a p w 其 w 为w e y r 矩阵 2 3b e l i t s k i i 约化算法 b e l i t s k i i 约化算法是在一定的允许变换下约化任一矩阵剑与其相似的典范形 的有效算法 这可被看作j o r d a n 标准彤理论的推广1 5 1 先给m 一些定义 5 湖北大学硕士学位论文 我们在t 矩阵的元素 或t t 分块矩阵的块 的脚标上定义一个序 称 i j r 或i r 但j 8 取定定义2 1 1 c 中线性方程组的一 个摹础解系 若翰f 是该解系中的自南未 知鼍 则 中矩阵的元素m 称为自由的 否则 称为相关的 分块矩i i 车 m 称为丝 旦分块矩阵 如果该矩阵的第 i 歹 块m i j 是 个n xn 了矩阵 i 若 中矩阵的相应元素m i j 是自由的 则 中分块矩阵的块舰 称为自由 的 设 是一个线性矩阵i 1 题 丝是一个型号向量 e 形堕是一个nx n 分 块矩阵的集合 e 是e 中可逆阵的集合 m 如果对m 作任意e 一相似变换 后相应的块还是尬 也就是说对于任意的s e 记m 7 s m s m 7 中相应的 块心 u m j 相等 则m 的一个块 称为稳定的 这样当i 一歹时 坞 a i 对某 个常数o k 而当i 啪歹时 m i j 0 设 是在分块脚标序下的第一个非稳定自由块 我们可以按照b e l i t s k i i 算 法 给出 在e 一相似变换下的标准形式 矩阵m s s m 7 的第 p q 块是 m 以s l q m p 心一1 s q 一1 q m p q s q q s 即m k s p p 札m 0 1 q 七 s p t m q 或者等价于 t q 一1 m p q 一 吆 膨 一 s r 口 r p 1 r l 由于所有的坞 都是稳定的 上式可以化为 tq 1 一 吆 一 啊研 r p 1 r m 1 假设p q 夕 夕 t 一x t 一 以下三种约化称为b e l i t s k i i 约化算法1 5 1 2 1 6 一 第二二章线性矩阵问题 情形l 正则化 如果定义2 1 1 b 中的方程组刁i 能推出下面的方程 q 1 z 矿口w 一 啊z g 0 r p l r l 那么令吆 0 记作 o 情形2 边约化 如果定义2 1 1 b 中的方程组能够推肖方程 2 而且p 和q 那 么式 1 变为 m p q s q q s p p m k 0 1 其中 岛q 分别是任意的n p 阶和礼 阶可逆矩阵 因而可以适当地选择s 使得 耻s 茹l m m s o q 0 l 0 情形3 圈约化 如果定义2 1 1 b 中的方程组能够推出方程 2 而且p g 那 么式 1 变为 岛口一 吆 0 其中s q s 品是任意的唧阶可逆矩阵 因而可以适当地选择s 使得 m k s 嚣m p q s q q w 1 其巾w 是w e y r 矩阵 为了利用b e l i t s k i i 算法继续约化分块矩阵m 我们必须构造新的约化代 数e 1 e 使得已约化完的子块坛在e 1 一相似下保持不变 i 如果 是正则化 即吆 d 我们可以得到一个新的方程 2 定义 e 1 s e i s 满足定义2 1 1 中的方程组 b 与上面的方程 2 一7 一 湖北大学硕士学位论文 得 令 吣噪鸭 是边批即吆 舳 0 厶0 0 言 k 蛩趸 静是 且磷 碥 肚 s 址啪i 台 0 言卜 小q l i l 如果 是圈约化 即吆 w 是一个w e y r 矩阵 则由方程 w w x 口口知砀 口是一个分块 卜三角矩阵 令 e 1 s x j e i x 越w w x i p 这样每一步约化后 都得到了一个新的约化代数e 1 以及m 1 继续下去 我们 可得到一个约化序列 m e m o e o m 1 e 1 m p 酽 m 0 0 e 由于矩阵m 的阶数有限 而每一步约化都将约化m 的一个新的子矩阵块 所以上 述约化在有限步后必将终止 此时我们得剑一个约化后的矩阵m p 它的每一个子 块都被约化了 且它的子矩阵块只有如下三种形削 三三 或w e y r 矩阵 这 样得到的矩阵m p 称为矩阵m 的典范形 记作m 测 详见文献 5 定义2 3 1l r l 设 m e 如上 m 汹 是m 的典范形 如果 是m 的非仍自 蜮那么 或 w 是一佃觥 称 0 妒 一8 一 第 章线性矩阵问题 三 中的元素 为链环 定理2 3 2i t l 设人是一个有限维k 代数 是南人诱导的线性矩阵问题 m 是r 中任一维数为塑的表示 m 足它的典范形 其维数向量为丝 测 那么下述条件等价 1 m 是不可分解的 2 e 是一个局部代数 3 一d i i i l 照 o o l 即盟 o o 1 1 1 l l f l r 有 f 标都是等价的 4 m o 中的链环数等于 一d i m n 一1 5 若p 丽 0 0 m 贝j j d i m m 1 9 一 湖北大学硕士学位论文 第三章不可分解矩阵的典范形 本文将主要讨论二元外代数对应的线性矩阵问题的所有不可分解矩阵的典 范形 设人是二元外代数 人 后 z y z 2 x y4 y x y 2 取人的 组k 基 妒 y z e 人存这组基下的左正则表示为 则 令 f 砧 fr r a d a i l i z y z u k j 吾 i x y a 彳彩 i y z u k 故m 0 m er a d a 则 形 是二元外代数人对应的线性矩阵问题 其中t 1 2 3 4 17 2 7 3 4 且1 2 3 4 1 7 2 7 3 7 4 7 仟给m 1 n l 取型号向量n m m 扎 兄 中型号向量为丝的表示是 1 i j 4 是m n 矩阵 有时将表示简记为m 如果 譬 蒯 卅中另一个型号向量为丑的标那么它们之间的 1 0 1 f j 0 l u z 可 z l li f u z y 0 z 0 0 z 0 z 叫o o 0 塑 岛 m 一 d 一 m 么 中 那 其 啦 一 叫镌 m j m m o m 态射是满足矩阵方程 第三章不可分解矩阵的典范形 吾导 苫 兰髻7 吾导 矩阵 疹础慨c 础嘲剐张蝴块蹴它 们的每 个子块粕和k j 分别是m m 和n 礼矩阵 1 i 歹 4 下面我们利用b e i t s b 算法约化 兰 即利用公式 吾 r 兰髻7 吾导 约化m 找出m 不可分解时的典范形 其中 叉 xj 重茎 歹 x 7j 7 至 至 m f b兰 可得又m m 7 y 即 xj 菱茎 f 喜喜 j 7 7 喜 x 7j 蚕至 m o l c b a o 一 0 一y又0 m 0 o 0 i i l一 m o 0 0 0 一y x o 由 湖北大学硕士学位论文 由定理2 3 2 知m 1 i 可分解当且仅当m o o 中链环的个数为m 几一1 即 m o o 0 o 0 00 一a 7b 7 c 7 0 o 0 0 000b 7 0 0 0 0 000a 7 0 00 0 0000 0 00 0 0o0o 0 0000000 0 o0 000oo 0 00 0 0000 中a 7 b 7 和c 7 中链环的个数一共为m 礼一1 3 1 对应于型号向量中m n 时的不可分解矩阵 型号向最n n m m m m n 礼 几 r o 当m 佗时 a b c a b 7 c 7 x z u x 7 y 7 z 7 u 7 都为nxn 阶矩阵 引理3 1 1 利用公式 xj 重茎 7 弓吾 i 7 7 喜 x 7j 7 量 约化a b c 贝l j m 中b 7 7 9 i c 7 中每乱 每列链环的个数最多为1 r b 7 f t l c 7 中链环 的总数最多为n 证明约化a 由x 4 4 7 x 7 知 a 7 三厶0 c r 礼一t 时 x 毫1 羔 且x 7 x 誓 设b b 1 b b 4 2 由x b b 7 x 7 知 1 x 岛2 复主 戛雹 x j z l 一1 2 ll i u z y x 第三章不可分解矩阵的典范形 约化玩 由恐风 彤x 知 尾 兰乞1 c r n r 时 尥 专1x 3 2 b x i 髻1 黔 南x b b 7 x 知 由拖l b 4 l x 3 2 8 4 2 l 1 弼2 b 1 x 1 雨i x l b l 2 k l j l r l b i l x i 2 b 2 x 3 1 知 鼠1 0 b i 2 0 约化跣由 玩z 础口一 兰吉 c 您 m 州 1 一魁 x 3 3 l x 3 j 3 j 2 n x 1 x 0 1 意 由x b b 7 x 7 知 南尥3 l 台2 4 恐2 3 2 耳1 2 弼1 2 呸3 x 1 2 e 4 x 3 3 1x 1 1 8 2 2 x 1 2 8 2 4 x 2 2 1 k b 1 1 弼1 2 彩1 x 1 2 斟2 x 3 3 1 知 磁4 仍 影2 0 一1 3 一 liiij 沈 翰殇墨 心 磁托o 1 j j 科o 0 f 一 l i j 逻 2 既k o 蜀0 0 f 一 l 2 e晚踟跏 2 既k o 现o 0 fi 一 ll j 2 3 3 x x x 2 3 恐弱 磁0 0 一 l 2 4 既毋k o 岛晚o o o 0 d k o 0 n 毋巩o o o j 一 llllllllij 毖 毖 诒 鼹 娼 x x x x x 沈 勉 弛 勰0如如 o n 您 h 杨妇恐o o o o o h 0 o 0 0 j 一 l 一 2 2 1 虬 拢 m 船 如 u 殂 n 霸糍噩 墨拖o o 耐o o o 一 i f 2 4 既谚k o 磁 0 o o o 谚k 0 0 u 眩 耳研0 0 o ji ll ll ii l iiilt l 湖北大学硕士学位论文 约化b 阵 x 3 3 1 8 1 1 2 b x i 知 b 2 吉 c r 3 m i n r 2 礼一7 一r 1 目t d f x 3 3 1 8 2 3 b i l 2 弼1 1 b 3 x 1 1 和x l l b l l l 4 x 1 2 8 1 1 2 b i l l x i ln 丁知b 2 3 的前r 3 行不f l b l l l 的后r 3 列经正则化后为0 此时 b 7 耳1 1 1 dd 垦1 d 0 j l r d0d 0 0 d 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 由x b b x 7 知 b 3 1 的约化方程茭t j x 3 3 1 3 8 2 3 1 琶3 1 x 1 1 则b 3 1 三l 4 c 心 m i n c r 2 一 r 一嘲 时 易知岛t 的后r t 列经正则化后为 b 中其余子块的约化如此类推 若约化后b i l l l 中链环的个数为r 5 o r 5 m i n r r 2 n r r l 一您 那 么由x c y b z a 一a 7 2 7 b y 7 c 7 x 7 知 c 7 q j 链环的个数为r 6 0 r 6 m i n n r 一7 1 一r 2 n r r 1 一r 3 一他 可见约化后b 7 和c 中每行每列链环的个数最多为1 且b 7 和c 7 中链环的总数 最多为几 a 7 0 或a 7 厶时经证明可得相同的结论 证毕 定班心设 苫 镌是c 卅上的一仰可分解矩阵 如果几 1 则 1 4 谚o r 0 o k 0 0 西d d d k 0 0 0 0 0 0 0 第三章不可分解矩阵的典范形 m o o 00 000 一a b 7c 00 0 0 000b 7 00 00 0 00a 7 0 0 00o000 000 00 000 oo o o 0ooo 0 00000o0 000 0 00o0 其中a 7 0 b 7 0 c 7 1 或a 7 0 b 7 1 c 7 d 或a 1 b 7 入 c 7 0 证明约化a 由x a a 7 x 7 知 a 7 0 或a 7 1 1 a 7 o 时 约化b f h x b b 7 x 7 知 b 7 0 或b 7 1 1 a 7 0 b 7 0 时 约化c 得x c x 7 要使m 不可分解 m 一 中链环 的个数必须为1 因此c 7 1 2 a 7 0 b 7 l 时 要使m 不可分解 m o 中链环的个数必须为1 因 此c 7 中不能出现链环 约化c 由x c y y 7 c 7 x 知 c o 2 a 7 1 时 要使m 不可分解 m o o 中链环的个数必须为1 因此b 7 c 7 中不能 出现链环 约化b 由x b b 7 x 知 b 7 x b x 一1 入 约化c 由x c a y z 一z 7 a y 7 c 7 x 知 c 7 0 证毕 引理3 1 3 设 三苫 镌是 上的一个不可分解矩阵 如果咒 2 则a n 1 或a 7 厶 证明由x a a 7 x 7 知 a 7 三厶0 c r n 约化b 和c 可以得到 b 7 和c 7 中链环的总数为f 0 l 礼 从而m 中链环的个数为7 f 要使m 不可 分解 必须使得r l 2 n 一1 则 n 一1 2 7 n 证毕 镌是c 卅上的一个不可分解矩刚 一1 5 0 0 殴 4 3理定 um k2 其中 或 m o 湖北大学硕士学位论文 a 三 b 7 1 t c a 7 1 t b 7 入 证哪m 三 1 矩阵口和c 被划分成分块矩阵 中b 1 a 都是 n 一1 1 阶矩阵 i c d 是1 1 阶矩阵 反 a 都是1 n 1 阶矩阵 由x c y b z a 一a z b 7 y 7 c 7 x 7 知 c 中除岛外其余子块经正则 化后均为仍 即c 7 曼三 约化b 由x b b 7 x 7 知 1 6 0 0 0 00 一a 7b 7 c 7 00 0 0 0o0b 7 o 0 o 0 00oa 7 0 0 o 0 0000 0 0 0 00000 0 0 0 0 00o0 0 0 0 0 0000 0 00 000o0 二 c 溉 弼墨q q 岛 1 u十 墨o a q 嘴 删 i x c 肘 卜 卜 夕 托恐岛 川 噩o b b 鼽 厂 j e卜 堤 i i i 确 x 如 晰 第三幸不可分解矩阵的典范形 茗1 x 已3 b b 3 1b 岛4 复复 誓 1 若岛 b 4 b 1 经边约化后均为0 那么 1 羔 言 暑言 茗 誓 约化b 2 i 主1 x l b 2 彤x l 知 b x 1 8 2 x i 1 胍 其 w 1 足w e y r 矩阵 舳 f0 肌1 00 此时g 恐 x 没有乖新分块 那么由x c y b z a 一a z b 7 y 7 c 7 x 7 知 g 的约化方程为x 3 岛 q 捌 得q o 或c i 1 i j j b 7 和g 7 中链环的个 数分别最多为n 一2 和1 从向 m o o 中链环的个数最多为7 1 一1 n 一2 l 2 n 一2 此时m 是可分解的 2 若b 3 风 b 1 约化后不全为0 或仍 由x c y b z a 一a 7 2 7 b 7 y 7 c 7 x 7 知 c 中子块岛经正则化后为0 即c 7 o 要使m 不可分解 则b 7 中链环 的个数必须为2 n 一1 一 n 一1 n 即b 7 巾每行每列链环的个数为1 约化玩 得恐b a 耳x 1 1 鹾 1 且x a x i 时 则 葛1 咒x 3 b 1 1b b 4 2 b i 盖 妻 f 扫x 3 8 4 x l 影x l 和x l b l x 2 b i 托知 髟 d 且弼 0 b o n x 2 0 则 茗1 三 呈b 2 呈 言 约化岛 x l b 2 e x l 知 b x l b 2 x 1 1 其中 是w 色y r 矩阵 i l t 时b 7 中链环的个数最多为1 n 一2 n 一1 因此m 是可分解的 2 尾 o 时 则 1 7 湖北大学硕士学位论文 茗1 笔 乞1 玩b 2 弼弼 l o x 约化玩 得弱b 4 或x 1 要使m 不可分解 则b 7 中链环的个数必须 t j n n 一1 即b 中每行每列链环的个数为1 所以耳 由x b b 7 x 7 知 x l lx 1 2 i 1 0 x 3 i f 00 块 m 篓 易知b 巾子块b 1 3 b 2 3 经正则化后均为0 因此约化b 时只需考虑子 b i l b a 2 l 的约化 对f b l lb 1 2 1 进行约化 则 b 2 1b 2 2 b 2 ab 2 2 薯1x 磁1 2 b 岛l lb 1 2 戛 复 髻1 妻 b l lb 1 2 1 的约化方法类似于f b l b 2 l 的约化 每一步约化后b 都被 b 2 1b 2 2 b 3b 4 划分成新的分块矩阵 经过有限步约化 可以得到b 7 0 i 0 1 为2亿一1一礼 n l 即b7 a 二 证毕 一1 8 2 4 b b 1 b o 研磁l耳磁o耳呸o 一 illlj 岛玩1岛岛 玩玩o j lii ii iiilf 埒 船 3 托 第三章不可分解矩阵的典范形 3 2 对应于型号向量中m n 时的不可分解矩阵 型号向量堕 m m m m 几 n n n 当m n 时 a b c a 7 b 7 c 都为m n 阶矩阵 x y z u 都为mxm 阶矩阵 x 7 y 7 z 7 u 7 都为几 几阶矩阵 引理3 3 1 利用公式 引 x 0 0 ff 拢 m b b o 了 x f l i一 l 矽 o 8 0 0 a o d liiilij 1 c b a o b o 0 么0 0 fj ili l l i l u z y x z o x 了x x fff i i 一 湖北大学硕士学位论文 约化a b c 贝j j m 中b 和c 7 中每行每列链环的个数最多为1 且b 7 和c 7 中链环 的总数最多为n 引理3 3 1 的证明方法类似于引理3 1 1 的证明 引理3 3 2 如果 兰苫 镌足c 卅卜的一个不可分解矩鲫帅 删 证明由x a a 7 x 7 知 a 7 b 7 和c 7 巾链环的总数为z 0 l n 约化b 和c 口j 以得到 的个数为7 f 要使m 不 可分解 必须使得r z m n 一1 凶为f n 所以m 一1 r 佗 m 一1 则r f n m 一1 证毕 其中 定理3 a 3 如果 三苫 镌是c 形卅上的一个不可分解矩阵 则 m a 厂1 三 b r呈 享 c d 一2 2 一 燃 骶 链 巾 夕m 厶0 而 0 0 从 厂一 啦 0 0000 一a 7j e 7 7c 7 0 0 000o0b 0 o 0000oa 00 000000 0 0 000000 0 0 0 0 0000 0 0000o00 0 00000o0 块 第三章 不可分解矩阵的典范形 日 x 7 x 时 矩阵b 和c 被划分成分 其中b 1 c l 都是1 n 阶矩阵 b 2 岛都 是礼 n 阶矩阵 由x c y b z a 一a z 7 b 7 y c 7 x 7 知 c 中所有子块经正则化后均 为0 即c o 要使m 不可分解 则b 7 中链环的个数必须为仇 n 一1 一n n 即b 中每列链环的个数为1 约化b 由x b b 7 x 7 知 尥x 2 b b 2 1 喾 x 矧p s b l 得x 3 8 1 拶i 1 1 b i o 时 约化岛 由誓1 8 2 b i x l 知 垦 x 1 易x f l 眠 其 中既是w e y r 矩阵 则 警 此时b 中链环的个数最多为n 一1 因此m 是可分解的 c 2 b i j 时 x t 3 且x t 专1 妻兰 因此约化b 时只需考虑子 x 岛1 2 笔 乏 x 一2 3 2 3 f 弱 夕 q g x i c x 一 l 2 1 跏州励西 一 如 证 阵 l x o 一 尥 t lj墨o l j 2 2 磁磁 2 2 磁彤o 一 岛岛1 2 2 岛玩o 一 i lj 杨渤恐 2 拖o 0 0 m 0 湖北大学硕士学位论文 的约化方法类似于 的约化 每一步约化后b 都被划分成新 的分块矩阵 经过有限步约化 可以得到b 7 证毕 3 4 不可分解矩阵的典范形 由定理3 1 2 定理3 1 4 定理3 2 3 和定理3 3 3 就可以得n 元外代数所有彳i 可分解矩阵的典范形 定理3 4 设a 是二元外代数 是人所对应的线性矩阵问题 则 的所有不可分解矩阵的典范形为 1 m n l 时 m o o a 7 0 b 7 0 c 7 1 或a 7 0 b 7 1 c 7 仍 或a 7 l b 7 a c 7 d 其巾a 7 b 7 c 7 都是1 1j 1 r 矩阵 一2 4 一 俎 嬲 b b 懦d 愧d n l j i i i 一 o 0 000 一a 7b 7c 7 0 00 0o00b 7 0 00 0000a 7 0 00 00o00 0 00 00000 000 00000 o 00 00 000 o 00 000oo 2 m n 2 时 或 第三章不可分解矩阵的典范形 a 7 三 b 7 1 c a 7 1 b 7 a 0 肚i l 弘 1 其中a 7 b 7 c 7 都足 n 一1 几阶矩阵 4 m 咒时 a 1 i 兰 b 厂 其中a 7 b 7 c 7 都是 n 1 xn 阶矩阵 2 5 一 l c 仍 o 仍 l i c 7 仍 0 d l i 1 o l i c 0 j 湖北大学硕士学位论文 参考文献 1 a u s l a n d e rm r e i t e ni s m a l os o r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i na l g e b f a s m c a m b r i d g es t u d i e si na d v a n c e dm a t h e m a t i c s c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s 1 9 9 5 2 r o i t e ra v k l e i n e rm m r e p r e s e n t a t i o n so fd i f f e r e n t i a lg r a d e dc a t e g o r i e s m l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s s p r i n g e r v e r l a g b e r l i n 19 7 5 316 3 3 9 3 c r a w l e y b o e v e y m w o nt a m ea l g e b r a sa n db o c s e s j p r o c l o n d o nm a t h s o c 19 8 8 5 6 3 4 5l 4 8 3 4 c r a w l e y b o e v e yw w m a t r i xp r o b l e m sa n dd r o z d st h e o r e m j i n b a l c e r z y k s e ta l e d s t o p i c si na l g e b r a b a n a c hc e n t e rp u b l i c a t i o n s p w n p o l i s hs c i e n t i f i cp u b l i s h e r s w a r s a w 19 9 0 2 6 1 19 9 2 2 2 5 s e r g e i c h u kv v c a n o n i c a lm a t r i c e sf o rl i n e a rm a t r i xp r o b l e m s j l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 0 317 1 3 5 3 1 0 2 6 b r t i s t l et s e r g e i c h u kv v e s t i m a t eo ft h en u m b e ro fo n e p a r a m e t e rf a m i l i e s o fm o d u l e so v e rat a m ea l g e b r a j l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 3 3 6 5 1 5 11 5 1 3 3 7 徐运阁 张英伯 不可分解性与链环数 j 中国科学 a 辑 2 0 0 1 3 l 5 3 8 5 3 9 l 8 z e n gx i a n g y o n g z h a n gy i n g b o ac o r r e s p o n d e n c eo fa l m o s ts p l i ts e q u e n c eb e t w e e ns o m ec a t e g o r i e s j c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a 2 0 0 1 2 9 2 5 5 7 5 8 2 9 r o j t e ra v m a t r i xp r o b l e m sa n dr e p r e s e n t a t i o n so fb o c s s m i n d l a bv g a b r i e le e d s r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yi l n m8 31 s p r i n g e r v e r l a g b e r l i n l9 8 0 2 8 8 3 2 4 1 0 m a d s e ni t o m e h a v ej f r o mc a l c u l u st oc o h o m o l o g y d er h a mc o h o m o l o g y a n dc h a r a c t e r i s t i cc l a s s e s m c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s 19 9 7 2 6 参考文献 11 e i s e n b u dd p