（江苏专用）高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.2 古典概型 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.2 古典概型 理 1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的3如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件a包含了其中m个等可能基本事件，那么事件a发生的概率为p(a).4古典概型的概率公式p(a).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件a中基本事件构成集合a，且集合a中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合i，且集合i中元素个数为m，则事件a的概率为.()1从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_答案解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率p.2(2014陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.3(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_答案解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.4(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_答案解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率p1.5从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是_答案解析从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.题型一基本事件与古典概型的判断例1袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型下列试验中，是古典概型的个数为_向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形abcd内，任意抛掷一点p，点p恰与点c重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率答案1解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型的基本事件都不是有限个，不是古典概型符合古典概型的特点，是古典概型问题题型二古典概型的求法例2(1)(2015广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为_答案解析从袋中任取2个球共有c105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有cc50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.(2)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_答案解析基本事件共有c6种，设取出两只球颜色不同为事件a.a包含的基本事件有cccc5种故p(a).(3)(2014四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件a，则事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以p(a).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.引申探究1本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件a，则a包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以p(a).2本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率解基本事件数为cc16种，颜色相同的事件数：cccc6种，所求概率为.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的外部或圆上的概率解由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n6636种等可能结果，为古典概型(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件b，则事件b与“两数均为偶数”为对立事件，记为.事件包含的基本事件数m339.p()，则p(b)1p()，因此，两数中至少有一个奇数的概率为.(2)点(x，y)在圆x2y215的内部记为事件c，则表示“点(x，y)在圆x2y215上或圆的外部”又事件c包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种p(c)，从而p()1p(c)1.点(x，y)在圆x2y215的外部或圆上的概率为.题型三古典概型与统计的综合应用例3从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)由图中数据可知体重的平均值为_ kg；若要从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为_答案64.5解析由频率分布直方图可知，体重在40,50)内的男生人数为0.005101005，同理，体重在50,60)，60,70)，70,80)，80,90内的人数分别为35,30,20,10，所以体重的平均值为 64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内选取的人数分别为126,124,122，则两人体重不在同一组内的概率为.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决(2014山东)海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区abc数量50150100(1)求这6件样品中来自a，b，c各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以a，b，c三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自a，b，c三个地区的样品分别为：a；b1，b2，b3；c1，c2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件d：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件d包含的基本事件有：b1，b2，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共4个所以p(d)，即这2件商品来自相同地区的概率为.六审细节更完善典例(14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率(1)基本事件为取两个球(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解p(2)两球分两次取，且有放回(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)nm2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)计算nm2的概率nm2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)p1(注意细节，p1是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率)nm2的概率为1p1.规范解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,2，1,3,2个因此所求事件的概率p.6分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个8分又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为p1.12分故满足条件nm2的事件的概率为1p11.14分温馨提醒(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4，即两球编号之和小于或等于4等；第(2)问，有先后顺序(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏同时要注意细节，如用列举法，第(1)问写成1,2的形式，表示无序，第(2)问写成(1,2)的形式，表示有序(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件在第(2)问中，由于不能将求事件n90的概率是_答案解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件总共有6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(个)p.5如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_答案解析从九个数中任取三个数的不同取法共有c84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有ccc6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.6有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_答案解析语文、数学只有一科的两本书相邻，有2aaa48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有aaa24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有a120种摆放方法故所求概率为1.7用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_答案解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.8连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件a，则p(a)最大时，m_.答案7解析112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出现次数最多9设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率为.(2)|a|b|，即m2n210，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率为.10某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为63；从中学中抽取的学校数目为62；从大学中抽取的学校数目为61.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件a，则事件a共有基本事件mcc6(种)抽法，又从6所学校任抽取2所有nc15(种)抽法因此，所求事件的概率p.b组专项能力提升(时间：25分钟)11从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_答案解析如图所示，从正六边形abcdef的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e，b、f，c、d，c、e，c、f，d、e，d、f，e、f，共15种若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有a、d，b、e，c、f，共3种，故其概率为.12在二项式()n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为_答案解析注意到二项式()n的展开式的通项是tr1c()nr()r依题意有cc222c21n，即n29n80，(n1)(n8)0(n2)，因此n8，因为二项式()8的展开式的通项是，其展开式中的有理项共有3项，所以所求的概率等于.13一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_答案解析基本事件数为6636，编号之和为4的有：10种，所求概率为.14甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4