（新课标）高考数学大一轮复习 圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题课时作业 理.DOC

课时作业62圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题1已知椭圆c过点m，点f(，0)是椭圆的左焦点，点p，q是椭圆c上的两个动点，且|pf|，|mf|，|qf|成等差数列(1)求椭圆c的标准方程；(2)求证：线段pq的垂直平分线经过一个定点a.解：(1)设椭圆c的方程为1(ab0)，由已知，得解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设p(x1，y1)，q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为1，可知|pf|2x1，同理|qf|2x2，|mf|2，2|mf|pf|qf|，24(x1x2)，x1x22.()当x1x2时，由得xx2(yy)0，.设线段pq的中点为n(1，n)，由kpq，得线段pq的中垂线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一定点a.()当x1x2时，p，q或p，q，线段pq的中垂线是x轴，也过点a.综上，线段pq的中垂线过定点a.2已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点(2，)(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形abcd的顶点在椭圆上，且对角线ac，bd过原点o，若kackbd.求证：四边形abcd的面积为定值解：(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：设直线ab的方程为ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根与系数的关系得kackbd，y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.设原点到直线ab的距离为d，则saob|ab|d|x2x1|2，s四边形abcd4saob8，即四边形abcd的面积为定值3在平面直角坐标系xoy中，动点p到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点p的轨迹为曲线c，直线l过点e(1，0)且与曲线c交于a，b两点(1)求曲线c的轨迹方程；(2)aob的面积是否存在最大值，若存在，求出aob的面积的最大值；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以(，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆故曲线c的轨迹方程为y21.(2)aob的面积存在最大值因为直线l过点e(1,0)，所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中y1y2.解得y1，y2.则|y2y1|.因为saob|oe|y1y2|.设t，t，g(t)t，则g(t)1，故当t时，g(t)0恒成立，则g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t)g().所以saob，当且仅当m0时取等号所以saob的最大值为.1(2014新课标全国卷)已知点a(0，2)，椭圆e：1(ab0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程解：(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d.所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当opq的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.2已知椭圆1(ab0)经过点m(，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程(2)已知点p(，0)，若a，b为已知椭圆上两动点，且满足2，试问直线ab是否恒过定点？若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由解：(1)由题意得，因为椭圆经过点m(，1)，所以1.又a2b2c2，由，解得a28，b2c24.所以椭圆方程为1.(2)当直线ab与x轴不垂直时，设直线的方程为ykxm，代入1，消去y整理得(2k21)x24kmx2m280.由0，得8k24m20，(*)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，(k21)(km)8