节选张顺燕主编的《心灵之花》.doc

节选张顺燕主编的心灵之花面试中的数学归纳法论一道微软面试题的数学思考 在微软的一次面试中，面试官出了一道非常让人意外、非常经典的题目，就是“一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗(不少于一条)。假定有如下条件：一、狗的病不会传染，也不会不治而愈。也就是说病狗的数量一直不会改变；二、狗的主人不能看见自己的狗是否有病，但是狗的主人只有通过别人的狗是否有病才可以看出自己的狗生病了没有；三、一旦主人发现自己的狗肯定是一只病狗，就会在当天开枪打死这 条狗；四、狗必须由他的主人亲自动手开枪杀死。如果他们在一起第一天没有枪声、第二天没有枪声、第三天发出了一片枪声，问有几条狗被打死。” 所有的人面面相觑，都哑然。这是一道什么样的题目呢？几乎都在思考，都在想这是一个什么样的脑筋急转弯?还是一个什么样的智力游戏?很多人面对这个问题就是束手就擒，甚至就直接由此退出了面试。这时开始有人抱怨微软竟然拿这道非常无聊的题目来刁难大家。也许是因为当时太紧张，也许是因为大家的思路没有被打开，不自觉地大家开始了讨论，但是于事无益。几乎没有几个人答出了这道题。很多人都因为这道题目的怪异而思路主要在于想为什么会有这道题?为什么微软的面试官会出这种题?为什么会在微软的面试中出现这种几乎是与微软的世界不相关的把戏?大家惟独没有想清楚的是这道题与微软到底有何干 系?为什么微软出了这道让大家颇为郁闷的题。这其实是一道数学题，一道非常标准的数学推断题。有数学的头脑，有明确的思路，解这道题其实是一件非常简单的事情。 这道题本来是一个很简单的数学归纳法的应用。我们先来审题，将其题设变成我们的语言和思维，这是解题必须的步骤。题设条件解读结果如下：一、肯定有狗生病，也就是说病狗的数量大于零；二、病狗的数量不会发生变化；三、狗的主人只有通过看别人的狗来确定自己的狗生病了没有；四、如果主人发现自己的狗病了，绝对不会当天不杀死它。 下面讲解一下如何得出结果。第一天，大家都没有开枪杀狗，说明一个问题，就是绝对不只一条狗有病。试假设只有一条狗有病，那么就会有一个人看不见病狗，他根据题设中说一定有病狗就可以推断自己的狗是病的，于是第一天就该响起枪声。第一天的结果已经证明了不只一条狗有病，而且不难看出假设只有一条狗有病就一定可以在第一天响起枪声，击毙那一条生病的狗。此时我们不妨大胆猜测一下：第几天开枪就有几条狗是病的。 到了第二天，我们就可以开始验证我们的结论了。试想，如果只有两条病狗，狗的主人必然看不见其他狗生病，于是发现自己的狗是生病的，那么第一天看到一条病狗的人就会在第二天根据如果有一条病狗，那么第一天就会响起枪声，而第一天没有人开枪，则有不少于一条狗有病。再看看发现自己只看见一条狗生病了，那么想来，自己的狗就是一条病狗。于是就会根据上面的方法推断得到自己的狗病了。于是开枪，响起的枪声应该是两声。 但是到了第二天仍然没有枪声，于是到了第三天。第三天的时候响起枪声了。前面已经说了，绝对不是有三条以下的狗有病，否则枪声早就响了。但是，如果是四条狗有病，他们可以判断自己的狗是病的吗？根据前面所讲，每个病狗的主人都看见三条病狗，而每个人都想自己可以看见三条狗有病，由前面的推导谁也不能肯定自己的狗是病的，就不能判断自己是否该开枪打死自己的狗，于是应该不会响起枪声。于是我们判断出了应该是三条狗有病。有人问了，如果第四十九天响起枪声，你是不是也就这样推导 四十九步？当然不必要啊。其实根据数学归纳法的思想，我们只要开动脑筋，根据前面的三步推导的结果的特殊性很容易可以得到一个更加一般的推论只要是符合上述题目条件一到四假设的，无论总共是多少条狗或者无论是哪一天响起了枪声，我们都可以得到是多少条狗倒下。前面已经大胆猜测第几天开枪对应的打死的狗的数目就是几。现在这个答案似乎得到了更加充分的肯 定。但是有的朋友仍然要求我们的答案的绝对正确性，那么我们可以根据归纳总结的方法证明如下：证明： 1第一天的枪响了， 说明有一个人看不见病狗， 但是最少有一条狗有病， 于是得到病狗是自己的， 于是开枪杀死自己的狗。 根据这个结论，我们从数字上得到了规律，于是我们猜测规律，用来寻找方便的解决问题的办法。不妨设第N天开枪，必然就是有N条狗倒下。 2假设，第N天枪响了， 有N条狗是有病的， 而如果第N天没有枪声， 根据小于或等于N的数字n变成n=N，直到n=l的论证，于是得到了答案是第N天没有开枪不可能是少于或等于N条狗生病了， 就说明有多于N条狗有病。 3证明的重点在于第N+1天的情况： 假设第N+1天想起了枪声， 根据第N天没有枪声， 得到了多于N条狗有病； 再假设有多于N+1条狗有病， 根据多于N条狗有病的时候，第N天所有人的人均不能判断自己的狗一定生病， 现在多于N+1条狗生病，那么大家就无法在N+l天确认自己的狗是否生病，无法决定自己是否应该开枪。 我们得到了结论在N+1天也是无法响起枪声的。 于是与题设以及我们的假设中N+1天响起了枪声发生冲突， 冲突的原因在于我们假设了多于N+1条狗有病， 就说明不可能多于N+I条狗生病了， 于是得到证明有N+1条狗有病。 综上，在第几天开枪就会有几条狗有病被杀得以证明。 在数学的世界里，我们有很多不同的思想方法，比如说，我们常常遇到的统筹的思想方法；我们也常常需要根据一些已知的东西推断一些未知的东西，这就用到我们所讲的总结法；而为了证明判断的正确，我们又用到了归纳法来证明。数学的思想方法无处不在，很多的事物与规律都与数学的思想方法直接或者间接地相关。在未来，科技更加发达，我们的头脑中必定需要有更多的数学的思维出现；为了在社会中生存，为了在竞争中取胜，综合地培养自己的能力时也需要不断地培养数学的思维。 我们的生活中，也常常会用到数学的思想方法，也常常会思考一些数学问题。我们在思考这些方法的同时，也得到了进步。在我们的学习工作中，不仅要把数学学好，还要把数学的精髓学到手，这就是了解和掌握数学的思想方法。并且还要加强自己应用的能力，因为熟练的应用，可以直接为我们的生活和学习工作带来意想不到的好处和方便。甚至在一次重要的权威面试中，直接关系到自己一辈子的发展的，也就是这么一个简单的数学归纳法。 本文写于匆忙之中，试想在一周之内要上交七篇论文，且又多为资料众多需要考查的类型，其质量可想而知。但是接到张顺燕教授的任务后的那个苦恼不已的晚上却听到了一个很不错的题材，就是微软的面试官给出的这道题目。忙乎差不多一个夜晚，整理了各种信息，与同学们分析了好一阵，终于执笔将此文的雏形写出，但是又因为时间关系，没有修改，甚至错别字到处都是，也没有按照数学模型的论文格式，甚至都没有涉及到使用数学的语言，所以终究也不是一篇好论文。 但是，张教授却选择本文要出书，我确实兴奋不已。也许确实此文写得简单易懂还颇有新味吧。修改前我想到要用严格的数学方法和证明来将本文章论证等趋于完美，经过提炼推导过程以标准的数学语言给予表达。但是又一想，反而不妥，此书系为所有爱好数学的朋友所编，读书者不一定是我们数学界内的人士，写得满是数学符号恐怕不如就这样叙述性的讨论。我荣幸可以有朋友读到这篇文章，我也希望此文可以激起大家的思考，激发大家的数学灵感，培养数学思维，但是我的推断也有不明朗或不严密的地方甚至可能出现推导中的错误和叙述上的纰漏，望各位友人批评指正。浅论数学、文学与音乐中复调形式美的一致性 数学、文学、音乐常常以某种形式的默契向人们昭示世界的对称，宇宙的神秘与魅力。让我们来看下面一串看似无法解释，而实际上却深刻暗示了我们要讨论的数学、文学与音乐三者之间神秘关系的问题： 我写完一篇小说，而恰恰其中的字词、句法或者标点的排列组合刚好适合于证明一道数学题，我是在计算还是在创作? 用所有表示声音的字词按照某种规律排列，并且配备合适的节奏，然后将它演奏，它是不是可以称之为音乐?还仅仅是一篇文章？ 如果我们引用适当的一个排列组合公式，而其中每个数字代表着一个不同的音符，然后我们加入另几个数学公式的节奏进行排列，然后进行演奏，如果悦耳的话，这是不是音乐?或者我们却恰恰是在做一个方程，我们是不是在编曲? 我们将标点、文字、词汇、句子通过某种数学方法进行排列，而恰好讲述了一个故事或者是一首诗。我们是不是在创作？ 文学的梁祝与音乐的梁祝中间的区别与共通性是什么?如果我有足够优秀的电脑能将音乐的某个最细微的颤动翻译成文字或者将文字翻译成音乐，我是在作文还是在谱曲？文字以同样的可能在音符上体现，是数学还是音乐？或者就按着数学的规则对音符进行排列，这更接近现在的谱曲吗？ 种种的问题，使得人们对宇宙的一致性产生了浓厚的兴趣。众多的研究在深入地开展，不同学科之间的神秘共性是研究所关心的问题。我们还不敢断言，宇宙是否存在惟一的一条普遍真理，能够用来解释人们关于世界的所有疑问，使得任何学科的划分都是多余的。那么，我们只能从现实的现象出发，去探询这样的问题。在这些现实存在的现象之中，最为明显并且极具代表性的要属数学、文学与音乐领域存在的一致性，特别是它们各自具有的复调形式美的一致性。 复调形式本是音乐领域中的一个基本概念，指的是两个或几个旋律的同时结合。运用复调形式，可以丰富音乐形象，加强音乐发展的气势和声部的独立性，造成前呼后应、此起彼落的效果。同样，在数学与文学领域，也存在这种要素的多重组和，与音乐的复调有着异曲同工之妙。在这里，我们更为广义地定义复调形式，即两个或多个组成要素按照一定的逻辑与结构构成有规律的、彼此照应的和谐的整体结构。这种形式因其具有的呼应性与和谐性而 成为一种美学形式。无论在音乐、文学、数学领域，我们都能感受到这种美的存在。数学家研究数的时候，同文学家创作诗歌、散文、小说，作曲家创作曲子时一样，需要有自己的语言，一套表情达意的体系。如同文学需要文学语言，音乐需要音乐语言一样，数学也需要数学语言。而无论在音乐语言、文学语言抑或数学语言中我们都可以找到这种具有复调形式的美的存在。 音乐中复调的例子不胜枚举。古典意义上的音乐，只是典型的单一主旋律，音乐的美感来自和谐。但是，在现代的音乐美学中，和谐不再是美学的最高追求。现代哲学打破了古典哲学的决定论的宏大结构，而认为，在工业时代和后工业时代，人的灵魂被撕裂开来，存在着人与人、人与自我、人与社会、人与自然的普遍分裂。人在自我意识和潜意识里，有着多重的构造。所以古典美学中的单一的旋律就无法表现现代人的心灵深度。于是10世纪初出现了无调性音乐。用迷乱的音响组合表现人的复杂的灵魂世界。著名的作曲家巴赫的协奏曲比较接近于现代协奏曲，堪称复调音乐的大师。如a小调小提琴协奏曲，共分三个乐章：第一乐章，a小调，24拍子，虽然没有速度指示，但一般都以快板演奏；第二乐章，行板，C大调，44拍子，是本曲中最著名的乐章，体现出巴赫艺术特征中严肃的一面；第三乐章，甚快板，a小调，98拍子。我们从中可以感受到巴赫复调音乐的精致巧妙的手法。 同样，文学艺术中也存在这种复调的美，而且形式多样。例如，现代小说创作中流行一时的复调小说。一个作家，作为一个叙述者，也就是一个讲故事的人，就不再是一个全知全能的上帝，可以把一个故事讲述得非常完整，因为他自己的灵魂深处也可能是割裂的，在他的人物设计和情节讲述中，无意识地把自己的内心的矛盾在故事中流露出来，因此也就把自己表露得更加深刻。复调小说，其实，就是作者自己多个人格的对话。泡沫之恋可以被看作复调小说的代表。小说中爱不爱，自爱爱别人，漂泊安定，现实理想的旋律回环交错构成了一种复调。而主人公的性格：超越年龄的沧桑感和冷静与实际的岁数应该具有的天真、纯洁、浪漫、幻想，又构成了一个多重的调性。 数学语言中的复调是我想重点讨论的内容。数学之所以可以成为一门足以指导人类行为以及其他一切学科的重要科学，与它贯通人类认知的性质是分不开的。数学是美的科学，对称的科学。作为这样一门学科，不容置疑地，复调美也广泛存在着。代数与几何的并存与互补，其实就是复调在数学中存在的一个有力证明。16世纪，著名的法国数学家韦达引进了符号体系，代数与几何开始结合起来，构成了经典的数学复调。虽然按照我们今天的标准， 这个体系是非常笨拙的，收效甚微，可是这个体系，恰恰被法国人费马和笛卡儿利用，作子把代数与几何合为一体，即我们今天称之为解析几何的尝试。笛卡儿改造了韦达的符号体系。韦达的体系有许多不必要的复杂规定和条件，笛卡儿把它们都删除了：以求直接和简便。自此，解析几何学产生了。解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，”解析几何融合了代数与几何的特点，代数与几何以各自的优势，既独立存在又相互补充，使得解析几何以一种复调的形式发挥着完美的作用。 那么，音乐、文学、数学中的复调是否讲的是性质相同的一种美学形式呢？下面，我们以音乐中的对位，文学中的转喻与数学中的高阶的例子来看复调形式在三个领域中的一致性。在文学技巧里，转喻这种将比喻再次比喻的方法是一种复调。比如：在“团扇那好像月亮鱼如甸玉般光泽的表皮似的纸面”中，一层喻是“团扇那好像月亮鱼表皮似的纸面”，二层喻嵌在里面：“如甸玉般光泽的”。可见，比喻是可以有阶层累积的。同样，在数学里，我们也可以发现，泛函也具备这种阶层结构，它通过对函数的函数进行逻辑运算，达到一阶算术里许多无法达到的成果。回到文学中，假设当n阶层转喻构建出来后，为了语言阅读上的流畅与节奏，我会很自然地把一些可有可无的喻词及喻体等给抽取掉，因为当意象元素多了以后，有些意象之间是可以通过并置等空间关系给确定下来的，它们不一定非要通过严格的 谓词结构语法来表明彼此的先后顺序，这也会导致阅读时产生的审美快感不是单线的而是复调的。在数学中，计算n阶层的泛函时，同一层的函数可以暂作一个整体，具体的函数也可以被暂时忽略。这就在数学中，形成了多层级的复调结构。在音乐里，这叫对位。这就是文学、数学、音乐领域中复调形式的一致性。I生物学与数学 前 言 生物学与数学显然是有联系的，现在已没人否认这种观点了。 物学的美在于复杂，它是用自然界中最简单的原理形成的最复杂的表象。数学的美在于简单，它是人类从复杂的自然现象中抽象出的最简单的思维。这二者之间必然存在联系。找到这种联系对两门学科来讲意义重大。作者试图从生物学的角度探讨数学与生物学之间乃至各门学科之间的相互联系。文章从数学在生物学中所做的工作写起(一些生物学对数学的影响也附在这个部分)，对这些工作做出评价，并最终上升到哲学的高度去寻找联系。 这篇文章有一定的开创性，如在此文之前还没有人对生物数学各分支的产生、发展与研究方向做出过综合阐述，至少作者没有查到此类书籍。但鉴于作者仅是大学一年级的学生，对数学与生物学都存在认识不足，某些观点可能会有不周和矛盾之处。作者几乎没有进行生物学研究的经验，因此提出的设想和建议(如普遍建立模型的设想)很可能并不具有现实意义。但文中提出的观点至少都是作者独立思考的结果。 作者在准备此文时进行了大量的阅读，远远超过文后开列的参考书目，鉴于部分参考书的观点在文中并无体现，在此就不全部列出了。 以下便是作者对此题目的一点浅薄的认识，望师长批评指正。 一、数学在生物学中做了哪些工作理论上讲，我们应该先讨论世界观的问题，因为方法论是受世界观来指导的。但在科学发展的过程中，并不是先形成一个清晰的观念而后才开始工作的。事实上，我们总是先做了什么，并在总结经验的过程中形成认识，再用这种认识指导以后的工作，这才是科学发展的真实过程。因此我们不妨先看一看数学在生物学中做了哪些工作，有了一定的了解之后，再寻找它们之间的联系。1数学在生物学中的直接应用非常有趣的是，虽然数学与生物学是自然科学中两个最古老的分支，使它们结合在一起的却是一门20世纪40年代才刚刚产生的新兴学科。由于生命现象的复杂性和随机性，把数学这种定量的逻辑的科学应用其中，需要大量的随机数字与工作量惊人的计算，众多的数学家与生物学家做了种种尝试，都没能找到很好的解决办法。直到60年前计算机的诞生，才在鸿沟上真正架起了一座交流与沟通的桥梁。随着近几十年计算机技术的广泛应用与蓬 勃发展，数学在生物学中的应用也进入了一个前所未有的爆发式的增长阶段。 20世纪后20年中，数学在生物学中的直接应用从最早的、单一的生物统计学扩展成为生物数学这样一门较为成熟与完备的学科。它主要通过建立数学模型来描述与检验生物学中的一些问题。从方法论的角度来看，它又包括了三个重要的分支学科：生物统计、生物动力系统和生物控制论。生物统计学是数理统计在生物学研究中的应用。它是用数理由统计的原理和方法来分析和解释生物界各种现象和试验调查资料的科学。比起生物数学的另外两个分支来，生物统计的产生要早得多。1870年英国遗传学家Calton(18221911)在进行人种特性研究，分析父母与子女变异，探索其遗传规律时提出了相关与回归的概念，生物统计学才真正诞生。从那时到现在已经经过了130多个年头。这期间有许多科学家在这方面做出了突出的贡献，如 PCMabeilinrobis对作物抽样调查，AWatcl对序贯抽样，Finney对毒理统计，KMather对生统遗传学，FYates对田间实验设计等，都做出了不凡的成绩。生物统计学在发展的过程中又产生更多的分支学科，包括生统遗传学(群体遗传学)、生态统计学、生物分类统计学和毒理统计学。 20世纪20年代初，Lotla和Voterrla几乎同时分别把动力学的方法用在分子化学反应系统和海洋渔业生态系统上。而生物动力系统成为一门独立的学科是在20世纪70年代中后期。它对生物学中数学模型的建立起了重大的作用。生物动力系统同样产生了许多分支学科。细胞动力学研究细胞的相互作用和细胞的生长规律。化学反应动力学研究分子间的化学反应。种群动力学研究生态学中种群与环境的相互作用，种群与种群相互作用的动力学规律。另外，微生物培养技术，种群遗传基因频率的变化，生物进化论规律，人类神经网络等均可用动力学方法来描述。 生物控制论是应用控制论和信息论的原理，研究生物体活动的自动调整过程以及信息的传递、加工和储存的学科。控制论产生的标志一般被认为是1948年维纳(NWiener)的著作控制论(Cybernetics)的发表。其应用于生物学领域应稍晚于这个时间。至今为止，控制论的概念与方法已广泛渗透到生物学的许多方面，人们应用电子计算机及各种自动化仪器设备研究生理生化过程，如血压、体温、呼吸调节系统；模拟神经细胞，神经网络，神经系统以及内分泌系统；分析视觉、听觉信息处理过程；探讨人脑的学习、记忆、联想的功能；处理各种感受器官的信息传递与肌肉运动系统的控制问题。生物控制论作用最突出的表现是在神经控制系统，特别是生物反馈系统上。2数学在生物学中的间接应用 我们不难发现，生物数学在生物学中的应用已相当广泛，但仍有一定的局限性。无论是生物统计学，还是生物动力系统和生物控制论，生物数学所关注的问题总是集中在生物学中蕴涵数量变化规律的方面，基本上没有脱离开生态学、生理学和遗传学的范畴。而这些问题本身某种程度上说就是数的问题。数学家们所做的只是从生物学家们积累的大量实验数据中找出规律，并把具有生物意义的现象抽象为数学模型。然而，并不是所有的生物学问题都具有明确的数量关系，对于那些不具有明确的数量关系或者并不是直接针对数量变化的问题，数学是否就束手无策了呢？我们知道生物学家非常关注的另一些问题，比如“酶的催化作用是怎样达成的?”“高尔基体到底有怎样的功能?”像这样的问题听起来与数学一点关系也没有，是否数学陪伴我们前行的路程也就到此为止了呢?值得注意的是，数学不仅通过生物数学直接地来解决生物学中的问题，它还作为物理学与化学研究必不可少的工具间接地参与了生物学方面的工作。量子物理与量子化学的诞生给近代生物学的发展带来了无法估量的巨大影响，可以说没有量子理论的支持，分子生物学与近代细胞学根本就无从产生和发展。我的这种说法并非有意夸大其他学科在生物学中的作用，作为分子生物学诞生标志的DNA分子双螺旋结构的建立就是很好的例证。有5位科学家在这个著名的模型的建立过程中做出了决定性的贡献，他们是结构化学家鲍林，物理学家威尔金斯，物理化学家弗兰克林，物理学家克里克和生物学家沃森。我们注意到他们之中只有一位是真正的生物学家，而事实上沃森之所以会转向研究DNA的结构，还是受启发于另一位物理学家薛定谔的著作生命是什么。我们必须承认在分子生物学和近代细胞学发展的早期乃至现在，物理学家与化学家们做出了非常巨大的贡献，他们构建了许多物质或机制的物理或化学模型，这些模型在生物学研究中意义重大，而他们在构建这些模型的过程中无一没有使用强大的数学工具。 3生物学对数学的影响 生物学在受惠于数学的同时，对数学也不是毫无回报的。 我们习惯于从力学的角度理解数学中的抽象概念，当我们换一个角度，从生物学的角度来思考数学概念的具体意义时，也许会收到意想不到的效果。当我们从生态学中著名的自然生长方程的角度重新来理解自然对数的底e的时候，就会发现自然是何等的奇妙与伟大。也许我们还不能像物理学那样为数学的公式与概念找到普遍的相应解释，但生物学至少提供了一种新的认识的方法。 近半个世纪以来，生物学家开始更加关注生命现象中精确的量的问题，生物学也不再是只依靠实验的科学，它的作用被越来越多的其他科学家所认识。生物学的飞速发展为数学带来新的时代。数学家开始通过生物学家的眼睛看世界，从而其兴趣由机械的静止的现象转向自然界中动态的微妙的过程。生物学中积累的大量实验数据为他们提供了丰富的研究材料，而未解决的难题更对他们提出了富有价值的挑战。同数学家在生物领域取得成绩一样，也有生物学家在数学领域做出了重大的贡献。如澳大利亚生物学家RobertMMay于1976年在自然杂志上发表文章“具有极复杂的动力学的简单数学模型”，文中得到“简单确定论数学模型也可以产生看似随机的行为”的结论，从而推动了混沌学的发展。生物学还在更深层的意义上影响过数学的发展，关于这种影响我将在文章的第三部分进行讨论。 二、应该如何评价数学在生物学中的作用 从文章的第一部分我们已经看到，无论是直接的还是间接的，数学通过建立模型已在生物学领域做了大量的工作，现在是我们对这些工作做出评价的时候了。 1模型的重要意义 数学在生物学中最主要的任务就是建立模型，这些数学、物理和化学模型的建立能够解决生物学中的许多问题。生物学的很多理论是建立在假说的基础上的，我们需要模型来描述我们的理论，当一个模糊的概念被准确的模型表达出来的时候，它才具有一个科学的假说必不可少的三条性质。 首先，也是最重要的，是可预测性。我们研究生命现象并不是只要提出假说，解释一些已知的事实就可以了，我们要从有限的经验中总结出自然的规律来，从而去预测未知的世界。只有当假说被表述为模型时，我们的预测才具有了确定的标准，才可能是科学的和准确的。 其次是可检验性。当理论被表述为准确的模型时，我们就可以做更多的实验，得到更多的数据，并把数据代回到模型中去，检验理论的正确性。根据对代入结果的分析，我们可以推翻错误的假说，修正不完善的假说，坚定正确的假说。这对生物学理论体系的构建有着深刻的意义。 最后是可统一性。生物学中的很多假说只是使用了不同的表述方法，它们事实上是可以统一的或至少在部分上是可以统一的。许多生物学家花很多的时间为看似相左的理论争论，甚至争吵，而事实上这些理论的本质也许是一致的。如果我们能把理论表述为准确的模型，那么，我们就可以从数学和逻辑上推证各种理论的内在联系，从而能省去许多浪费在文字游戏与无谓的争吵上的时间，这是大有益处的。 2模型建立过程中的三个问题 诚然，数学在生物学中的作用是巨大的，但并不是无可怀疑的。我在为做这篇论文而进行思考时便有过一些怀疑，相信别的人也会有类似的疑问。我没有对各类疑问进行调查，在此谨讨论我本人提出的三个主要的问题以及我所做出的尝试性的回答。 问题一：我们从模型中得到的结论是否是可靠的? 这是一个可怕的问题，如果答案是否定的，我们前面的一切讨论将变得毫无意义。好在答案是肯定的。 我们的模型与自然界的真实之间确实存在差别，但如果我们的理论与推证过程本身是正确的话，由模型得到的结果也应当是正确的。这里“正确”的含义并不是点点吻合，实际上这是一个极限的过程，我们取n个值与模型进行比较，n越大综合结论与模型越接近，当时，我们的结论应恰与模型相符。应该承认，生物学本身研究的就是偶然中的必然规律，想得到一个涵盖一切可能的规律，我们能得到的结论将只有无序。 事实上，真正应该提出的问题不是可靠性而是依赖性。我们刚才讨论的大前提是假设已知理论是正确的，现实意义上讲，这个大前提并不存在。我们无法肯定任何一个理论是绝对正确的，这就带来一些麻烦，我们必须分析不符合模型的点到底是不规则点还是理论存在缺陷。通常人们更愿意把这些点当作不规则点来处理，因为这样更简单，对较成熟的理论来讲，这确实也是大多数的情况。但不能忘记的是我们得出理论与模型的过程，即我们是从少量的事实概括普遍的规律，我们的概括是不完全的。因此模型并不可以依赖，只有使模型逼近事实的道理，而没有强使事实逼近模型的道理。 问题二：生命现象是复杂的，生物学问题更强调体系与环境的关系，模型的简单化、理想化是否有悖生物学的基本属性? 这仍是一个能推翻我们前面一切结论的问题。 确实，生命现象是复杂的，种群与环境，种群与种群，种群与个体，个体与个体，个体内的各级系统、器官、组织、细胞乃至细胞内的各级结构之间都存在着相当微妙的联系。一个生命科学工作者如果割裂地看问题，他就犯了致命的错误。而且，生命现象中存在着太多的偶然，这就像混沌学中的“蝴蝶效应”，忽略了最微小的影响因素也会带来结果的根本不同。但是我们别无选择，我们必须把体系从环境中分离出来，假设一些条件是静止不变的，否则，面对错综复杂的现象我们将无从下手，而且我们所期待得到的结论本身就是简单化和理想化的，像自然中的真实现象一样复杂的理论对我们毫无用处。 这种传统的和经典的研究方法有它的消极作用，我们要做的是抵抗它的消极作用而不是放弃它。因此每一个结论都必须在环境中还原。这就像是我们在登一座高塔，我们逐级攀登并站在不同的层面上俯瞰，当爬至最高层时，我们已经把能影响一个基本问题的所有因素都包含进去了，并从不同的高度认识了这个问题在整体联系中的地位和意义。这样一来，每一个基本问题的研究都会产生一个理论体系，这需要大量的工作，却能够使我们更准确和全面的认识自然，因而决不是没有意义的。 问题三：我们在构建模型时更多考虑的是大多数，而忽略了少数的例外，对生命来说，任何个体的意义可以忽略吗? 这与其说是一个科学问题还不如说是一个哲学问题，因为这个问题很难在科学上找到令人满意的答案。假设一种治疗肺炎的方法，有效率高达80(实在是很高了)，它通常对人是无害的，只有百万分之一的可能性(实在是很低了)会害人，而危害的后果又十分严重。公平地说这简直是一种绝妙的疗法，妙到现实中并不存在，每个医生都会毫不犹豫的选择这种疗法，而那可能受害的病者与家庭所要承受的痛苦会毫不犹豫的被忽略，不管这痛苦对个体来说是百万分之一还是100。我们在把概率统计应用于生命科学时总是遇到这样的问题，问题的答案其实非常确定，也相当科学，却很令人难过。应该说生命科学工作者不是上帝，既是不幸又是幸运，他不能像上帝一样找到完美的答案，却也比高高云层中的上帝更贴近众生的苦与乐，上帝只有创造完美的能力，而他有的是创造完美的欲望。 3总体评价总体来说模型的建立还不成熟，数学与生物学的融合还处在最初的阶段，其中还有很多待解决的问题。生物学中应用的还仅是数学中一些基本原理，并不能反映数学的最新进展。数学家所了解的生物学也停留在一个比较浅显的层面，还不了解生物学的最高成就。但两个学科间的隔阂不能阻止它们越来越紧密的联系在一起，我们必将看到科学家们更广泛的合作，而两个学科也将达到共同的新的繁荣。三、数学与生物学之间乃至各门科学之间的哲学联系现在让我们更上一层楼，从历史与哲学的角度，看一看数学与生物学之间，乃至各个学科之间到底是怎样的关系。在此我并不想记述整个科学史，我们只要关注一下20世纪初的重大变革，就会对各个学科在哲学上的相互作用有所了解。17世纪后半期，牛顿经典力学的建立为自然哲学带来了机械论。不可否认，经典力学的美曾经打动了无数科学家，而它最初一二百年的飞速发展也给人留下了深刻的印象。17世纪末的变革成了科学辉煌的代表，机械论的观点也被大多数科学家所接受。生物学家们也像数学与物理学家们一样，非常希望用机械论的观点来指导他们的研究，但机械论的观点在生物学中并不像在数学与物理学中那样有效。事实上，机械论的许多观点是与生命现象相矛盾的，生物学界一直没有完全接受机械论。在19世纪，细胞学说，达尔文的进化论，孟德尔的遗传定律相继建立，生物学界逐渐形成了自己的一套世界观。在此后的一段时间内，我们提起自然哲学指的就是数学与物理学中的哲学，生物哲学被从整个的自然哲学体系中孤立了出来，只有生物学家应用它并了解它的意义。 当历史时钟的指针指到20世纪初，经典力学的大厦开始动摇时，生物哲学突然站到了众多科学家的面前，人们猛然意识到机械论与生命现象的矛盾。“重大的打击来自以进化论为代表的生命科学的进展。无疑，以时间中的演进为特点的生命有机体作为自然界的一部分无论在本体论、认识论，还是方法论上都是机械论框架中难以容纳的。”生物学以其蓬勃的发展与量子力学一起推动了我们对科学、对世界的从新认识。这之中也包括了对数学的从新认识。“欧氏几何中的命题并非总是康德所谓的先验判断，而是按照演绎方法应用和检验的归纳推理，因此，必须认为形式科学(逻辑、数学、几何学、运动学)像物理科学和生物科学一样，也是实验的和经验的。就是演绎本身，也只是归纳过程的必要补充，事实上是归纳过程的必然部分。”我们对世界的认识逐渐接近自然的真实，我们开始意识到自然界中的各种现象像生命现象一样，是相关联的，整体的，逐渐生成的，随机的和不可逆的。新的自然哲学形成了，并被用来指导科学的发展，老的学科被注入新的活力，各学科逐渐融合，新的边缘学科纷纷产生，科学界呈现出强大的生命力与全新的景象。在这次变革中，各学科的相互作用得到了极好的体现。 在文章的最后，我要用生物学的语言来总结数学与生物学之间乃至各门科学之间的相互关系。科学中的各门分支共同起源于人类对自然的最初的蒙昧认识，它们沿着不同的进化路线发展，各自产生更多的分支，并逐渐接近现象的本质。这些进化的过程绝不是平行进化，互不干扰的关系，它们在自身完善的过程中不断向外发出信号，并对外来信号的刺激进行反馈和调整。随着时间的发展，这些进化主线之间形成了复杂的适应关系，以至于我们想把任何一条线路独自捡出都无法做到。这些线路中的任意一条发生微小的变化，都会给其他线路带来深远的影响，而一条路线的快速演进也会带来其他各学科的大发展，从而构成科学界的整体繁荣。数学与生物学的关系在这一点上并无例外。数学的学习 这个学期我选修了张顺燕老师的“数学的精神、方法和应用”这门课。通过一个学期的学习，收获不小。不仅仅是在具体数学知识方面的增长，更重要的是对数学有了更深刻的理解。老师启发我们在有限的课堂学习之外，进行无限的思考。 数学真是一门奇妙的学科。她可以很高深，一道题叫几代数学家熬白头发；她可以很通俗，不识字的文盲也不至于是个“数盲”。小孩学会说话后，父母就开始教着数数了。那简单的“1，2，3，”，如同数学的种子，被播种到孩子的头脑中；而这颗种子日后是否能伴随着孩子的成长逐渐生根、发芽、长叶，甚至开花结果，除了孩子自身的资质，就要看孩子长大以后所接受的教育了。 也许，高等数学是否有必要在文科学生中普及，这个问题还存在争议；但是初等数学的重要性想必已被普遍承认，在学校接受教育的学生都必须学习初等数学。初等数学比较简单，是数学的基础。其教育目的之一是使学生掌握一些最基本的数学方法，学会在某些场合下应用数学工具以解决生活或工作中遇到的实际问题。但是这些远非教授初等数学的全部目的。成功的初等数学将引领学生进入数学殿堂，在学生面前展示数学的无穷魅力，激起学生学习数学的热情和动力。 数学是如此有魅力，她迷住了世界上最智慧的头脑去探索她无穷的奥秘；她惹得古往今来多少人为之憔悴，为之衣带渐宽而悔意全无。当深入数学的内核，领略其中的神奇与精微，灵魂即被数学之美所摄，和数学融为一体；此时对数学的爱是最内在、最持久，最坚定的。而在普通的数学学习中，反复做题如同做智力游戏；孩子对玩具的喜爱是难以持久的。对数学的兴趣在解开一道难题后可能增加，在一次失败的考试之后又可能减少。 回顾自己接受的初等数学教育的过程，觉得初等数学教育中存在着缺陷，还停留在教授数学知识、介绍数学工具的阶段。我们学习的数学方法越来越复杂，而对数学思想的了解却至多只能算是“管中窥豹”。在上这门课的过程中，我才逐渐认识到，方法可以很简单，但其中却可能蕴涵极其深刻的思想。老师在授课过程中给了我们很多这方面的例子。如“百鸡问题”、“一笔画问题”，小学时就接触了，但当时只把它们当作一般的智力题，做过就忘了。经过老师的点播，真有醍醐灌顶之感。回顾过去的学习，犹如游宝山而空手归，懊恼不已。过去眼中简单的初等数学开始变得奥妙妙穷；离开的茅草屋经老师的点金棒轻轻一触，幻化成宫殿一阙。 埋在课本和习题之中，就如同埋头走路，虽然一步步走得踏实，却不知道道路通向何方。学习了一些数学定理公式之后反复做题，和工匠机械地使用工具做活无异。这样做的结果，当然能使学生牢记定理公式；但是只做到这一点却有如“只见树木，不见森林”。在我看来，定理公式还只是较表面的东西，是智慧的外化；而教育的终破目的应该是引导学生通过定理公式的学习、透过这些表面的东西，看到前后更为深刻、更具内涵的数学思想，亦即定理公式所折射出的数学家的智慧。方法是流，思想是源。推倒遮蔽视线蒙蔽心智的习题书堆，从书桌前站起身，去寻找数学之源发出的光辉。 数学的应用越来越广泛，越来越深入，甚至渗入到社会科学领域内。正所谓“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”，数学无处不在。我认为数学的应用可以分为两个层次：数学方法的应用和数学思想的应用。方法的应用层次较低，思想的应用层次较高。数学思想的引入往往标志着一个新学科的诞生或是学科发展的一个新阶段；引入思想是本质的进步，之后才是具体数学方法上的操作。不是每个人都要成为数学家，这没有必要，也不可能。社会需要各行各业的人才，人有各式各样的兴趣。但是数学的学习却无疑是必需的、不可或缺的。一个人掌握了数学工具，具备了数学思维，他的素质才可能全面；一门学科，引入了数学方法、数学思想，才算得上是科学的学科。数学今论一、谈流变：感性经验主义与儒家文化双重包围下的古代数学数学思想的产生，在我国首先出自先秦史官。金文的“史”在许慎的说文解字中释为：“史，从又从中，中，无过也；又，手也。”王国维考据后，认为“中”指的是简册。他们的见解虽有不同，但都表达了对史官职能的看法。上古的史掌天文、历法、卜祝、修史，是文化的掌握者和致用者，卜辞、周易这两部书的作者据推测应该是他们，从中可以看出数学思想在周期循环及推算中的粗浅使用。随着统一趋势的不断加强，以礼乐教化为核心的儒家文化渐趋上风，数学与巫、医、卜、筮一齐被归入数术、方技之流，沦为阴阳家之专利与儒法壁垒分明；焚书坑儒后，在纵横捭阖中吃尽苦头的士人，被统治者的功利策略所引诱，一心只读圣贤书。隋代创立的科举制，各代沿袭，但重点科目只是时文策论(这与农耕社会尚“同”不尚变的统治心态有关)，数术更边缘化，掌握的人寥寥可数，带有明显的工具性特征，数学在萌芽状态长久徘徊，没有向现代学科意识迈进的征兆。数术处于那个伦理道德理论占绝对地位的社会，为何还能艰难存活呢？原因有三：一是农耕社会对农业的依赖性强，不可避免地要涉及天时、历法、地利、人事，其中伴有数的运算。二是卜筮之风在人们精神生活中长期存在。儒家虽专注于人本，但还是相信鬼神于冥冥之中。孔子虽不语“怪，力，乱，神”，但敬畏感还是有的。三是数术纯系实用科学，在宗法制社会不参与权力斗争，显出中立调和的姿态。不过这也不可避免地造成了古代数学的弊端，即一，以农耕社会的需求为发展导引，偏于实用主义，因而不具备自成体系发展的主动意识。二，专注于一时一事的解决，多为经验影响的结果，零散而具象。三，没有出现专门的学科术语、符号，更不具备完整意义上的演绎推理。四，纵观祖冲之，刘徽等人，他们都不是专职的数学研究者，致仕隐退后才将对数学的爱好落实，本身对数术价值有所怀疑。再一方面，政府给予的重视不够，造成数学发展人才匮乏。当时的权威人士对数学的贬损引起了普遍的鄙视，数学的周遭环境、人文关怀不足，始终处于孤立与相对自足的状态，哲学终极关怀、美学情韵、文学想象都未参与数学的研究，旨趣因之低下，除附丽于简单的农事商贸上，数学的影响面很小。二、现实困境 历史回溯至19世纪六七十年代，一场轰轰烈烈的洋务运动给沉寂的中国带来了文明之学，数学也作为一门独立学科在各学堂安营扎寨。一个多世纪以来，我们在西学基础上演进创新，取得了丰硕的成果，但这仅是“用”的层面，中学之“体”还扎根于大脑。一方面，西方数学庞大的运算体系和五花八门的符号吓走了惯于顿悟式思维的国人，但朴素数学观并未转变。另一方面，数学教育中“术数致用”的遗毒还在蔓延，数学即学即抛，成为升学考试的敲门砖。再之，象牙塔式的专职研究所获得的浓缩理论不能转化为实际效益，仅作为科研、成果见诸报端，其与知识经济的隔膜造成自身资金周转不畅，人员纷纷跳槽，学科内部研究方向日益失衡，出现纯数学与应用数学孰优孰劣的纷争。它的发展和存在严重依赖于外界政策导向、财物支援，致使无法掌握自己的命运。最后，便是数学与生物、信息等新兴科学日益紧密结合，它自身的科学特色和人文内蕴完全被遮蔽，数学的“感染力”、“表现力”不足，常让人疑心基础学科本身只能作为供人攀登的梯子，不能自动升级。 循着以上一条数学发展在中国的不太稳健的路，我的忧思迭起，数学要发展，自力更生是关键，还需要经济政策的多向调节，面对实际来解决问题。三、数学的魅力在哪里? 有人赞誉它是科学王冠上的明珠，有人说它是理性与智慧的完美结合，人类思想之精粹。数学以严谨的逻辑，详实的推理，牢固地站在真理的大舞台之上，不因时光流转，世事变迁而摇摆。它用符号化的语言来阐述自然规律，这本身也是一种对宇宙人生的独特领悟，既有总揽全局式高瞻远瞩，也有向细节深处进军的不屈不挠。从常量数学到变量数学的划时代演进，也是应人文科学对“恒常”和“变化”的响应，数学家们的艰辛探索，充满了与宗教、愚昧、世俗偏见的抗争，也昭显了浩然正气，而学界的一次次论争及数学危机的爆发，也都经历了情理和裁决的剧痛，才能在不断否定原来的基础上前进。同时，数学证明的形式美催生了逻辑(后者也直也相应指导了数学)，它的凝炼客观与文学语言的浮华绚丽形成了鲜明的对比。数学美学着眼处不仅限于形式问题，还有它的神韵，因为它曾对人类心灵史的塑造具有不可磨灭的贡献，它使人类理性精神不断加强，对自身的能力不断觉悟。 在此强调数学的内蕴，并不意味着忽视它的外在功用，古希腊人掌握了这门神奇的技艺，具有了对自身存在的强大信心，从而引发了对宿命的抗争，伟大的悲剧意识和悲剧作品如普罗米修斯、安提戈涅正是在这种情形下诞生的，也因之成就了“崇高”的美学。西方第二、三次工业革命也是在数学的技术支持与理性感召下诞生的，可惜当今国人对数学的认识不够，非但意识不到其基础作用，更谈不上数学背后的人文精神渗透。 回顾历史，文艺复兴这一重大史实，是自然科学(数学)与宗教人文的互动引发的，古希腊、古罗马的理性精神(亚里士多德为代表的)被提倡，人们才不惮于罗马教廷的神权威慑，以己之力叩问宇宙。试想如果单凭数学独当一面，“文艺复兴”是否能名副其实？各门学科在互相支援中发现了彼此的亲和力，也找出了不同的意趣，因而在文艺复兴后，有了较为清晰明确的学科划分，但遗憾的是我们在引进西方数学理论时仅着眼于这一学科界限，看不到数学背后其他学科的合力作用，简单地视数学为一门工具课，或是锻炼思维的智力游戏，脱离了高尚的认知追求，数学形式成为枯燥、冗繁的象征，使得我们平常人对数学敬而远之，研究者或是得不到“底气”支持，或是囿于狭隘的研究范畴，无法施展才华，惟恐越出数学学科范围的“禁门”。而近年来数学的研究再次表明，数学是人脑对客观世界的一种认识，既是认识，就不能全然摒弃一切感性的方面，毕竟我们的数学家还是凭着人类的正常情感去从事研究的；感情亦包括想象力、预见性，一个就事论事，没有超越实证胆识的数学家，很难说其有什么大的创见。相应地，一门过于自恋的学科，没有“雅”“俗”整合的勇气，单沉溺于人为设置的陈套中，逍遥于学科交叉这股既成趋势之外，在其前进过程中，必然会缺乏灵感及竞争互动的观念。四、数学融艺术气质与科学效用于一身 2000年第一季度世界经济观察报告指出：“作为科技主要素之一，科学环境反映一国对基础科学研究的重视和由此带来的重大科学突破，崇尚科学的社会氛围对国际竞争力有长远、稳定、起基础性的推进作用，其内在机理概括为在基础科学技术科学应用开发生产推广，以各国科技史看，基础与应用研究应据各国自身情况取得最佳平衡，片面强调应用将不利于长远技术的进步、应用与推广，使之成为无源之水，是急功近利的短期行为， 相反片面强调基础研究也将影响科