实对称矩阵正定、半正定的简易判别.doc

目 录1.引言12.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法12.1 实对称 矩阵的几个定义12.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:12.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。32.3.1 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵.42.3.2 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。52.4 实对称矩阵半正定的几个充分必要条件。52.4.1 二次型，其中，半正定。52.4.2 阶实对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是的正惯性指数等于它的秩。52.4.3 阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。52.4.4 实对称矩阵的所有主子式皆大于或等于零。52.4.5 有实矩阵使，则半正定。52.4.6 阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵合同。53.利用合同变换原理推出的降阶法判别实对称矩阵的正定与半正定。54.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件85.实对称矩阵为正定的充分性的判别法.96.实对称矩阵半正定的一个新依据117.实对称矩阵的一个简单应用13参考文献16致 谢17实对称矩阵正定、半正定的简易判别摘 要：实对称矩阵是矩阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重要应用。为了更好地用实对称矩阵来解决问题， 本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。关键词： 实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite The DiscriminantNumber of classes of the 0701 Wang ChunmiaoTutor: CaoChunjuanAbstract: The real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in advanced algebra has important applications in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussion. Key words: real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple discrimination.21 引言 实对称矩阵正定、半正定的判别问题, 实际上就是二次型函数的正定性、半正定性的判别问题, 因此我们也可把问题转化到判断二次型函数的正定性、半正定性的问题。或者也可以根据其他方法如合同变换等来判别。目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法,方法有繁有易。由于判断一个实对称矩阵为正定、半正定在实际工作中是很有必要。本文将列举一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方法进行证明，并加以举例说明。2 实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法2.1 实对称矩阵的几个定义定义1：设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果有，那么称为正定。定义2：设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果有，那么称为半正定。定义 3：设二次型，其中,若正定或半正定，则称为正定或半正定矩阵。定义4：合同变换的定义：设如果存在非奇异矩阵，使得则称和合同，这种变换称为合同变换。对称矩阵经合同变换后仍为对称矩阵。2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:在实际应用和理论研究中, 判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。到目前为止, 判别一个实对称矩阵=，为正定的充分必要条件有下列四种方法： 的所有特征值都大于0. 的分解存在, 其中 是三角形矩阵, 是 的转置矩阵,=1是 的主对角线元素, 且. 的分解存在, 其中是三角形矩阵, =1 是的主对角线元素, 是以0 为主对角线元素的对角线矩阵。 在不选主元素的高斯消去法中, 的主元素都大于.现举一例如下, 说明上述四种方法的应用。例 判别实对称矩阵=的正定性。解：1. 的特征多项式为=所以的特征值：，都是正数，故是正定的。 2.设= ，则=若令 = ，则有： ， ， ，=-4，=5由此既得，= ， -， ， ， 所以，=这表明的分解存在。3.根据上面求的，易知=所以=这表明的的分解存在，故是正定的。4.因为 =由此可知:第二个行列式的主元素是5 , 第三个行列式的主元素是3 , 第四个行列式的主元素是3 , 即所有主元素都大于0。这就是说, 在不选主元素的高斯消去法中, 主元素都大于0 , 所以是正定的。2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。对于实二次型=是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零。例 判别实二次型 是否正定。解 的矩阵为 它的顺序主子式50， 0， 0因之正定，正定。对于实二次型=是半正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式皆大于或等于零。2.3.1 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵.证明：必要性 由于二次型，其中，若正定，存在非退化线性替换，,把化为规范型其中或。由于是正定二次型，可证 用反证法.若存在某一个或 那么令 则，从而可得这与正定二次型的定义矛盾，从而有 成立。再由充分性 若, 则，其中是可逆阵。令，则因此，任意，则 即证是正定二次型.即有为正定矩阵。2.3.2 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.证明：由于二次型经过非退化线性替换,把化为标准型，由于正定当且仅当是正定的，而是正定的当且仅当即正惯性指数等.2.4 实对称矩阵半正定的几个充分必要条件。2.4.1 二次型，其中，半正定。2.4.2 阶实对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是的正惯性指数等于它的秩。 2.4.3 阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 2.4.4 实对称矩阵的所有主子式皆大于或等于零。2.4.5 有实矩阵使，则半正定。2.4.6 阶对称矩阵是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵合同。3 利用合同变换原理推出的降阶法判别实对称矩阵的正定与半正定。定理： 设是秩为的对称矩阵，则存在非奇异矩阵 使得，其中，定理2： 设任意非零实对称矩阵=，则存在非奇异矩阵，使得=式中，为对角线上的第一个元素。 = =() （=1,2，-1） =证明：设对称，有 =因A非零，故可设，则可进行变换，=式中=证毕。定理3：定理中，正定的充分必要条件是0，正定。证明 1.必要性 令=, , , 有 = 则= = =+,得出，若正定，则要求0,正定.必要性证毕。2. 充分性 += ()()X=得出，只要0，正定，定有正定。充分性证毕。定理4：定理2中半正定的充分必要条件是0，半正定。证明 1. 必要性 重复定理3过程有=+ 因非零, 故必有0(或经合同变换后有0).得出, 若半正定,则要求0，半正定2. 充分性 += 当0 ，半时,也必是半正定.证毕。综合定理3和定理4 得出一个重要结论:一个阶实对称矩阵的正定性和半正定性的判别问题, 可以化成一个常数的正负号与一个阶实对称矩阵的正定性和半正定性的判别问题。运用分块拒阵变换判别以下矩阵属于哪一类矩阵。例 1 判别实对称矩阵=属于哪一类矩阵解 将分成分块矩阵= 式中= = = 判别 = =-=将再分成分块矩阵=式中= = =0 =-=0因0 0 =0, 故正定。 例2 判别=属于哪类矩阵解 =-=1.8 =7.2-因为0 0 0 =0故半正定。4 实对称正定矩阵判别的另一个充分必要条件定理1 是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩, 使得 0, ,= 0 证明：若是正定矩阵,令,则是实正定对称矩阵,由式. 若存在实正定对称矩阵， 使得式成立, 则有 从而由存在知()()=()().故 是规范矩阵. 由与相似及0,得R（）0.由正定,得正定.定理2设, 则是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩阵, 使,且 , = 0.证明:如果是正定矩阵,则 是正定对称矩阵. 令 = ,显然有与= 0.反之,由得 = . 而 =， 故得 , 即=.注意到存在且= + ,其中与分别是的对称分支与反对称分支. 由,得是实正定对称矩阵. 即是实正定矩阵且实正定.5 实对称矩阵为正定的充分性的判别法.我们知道, 当实对称矩阵的阶数很高时, 要完成上述五种方法中的任何一种的计算都不是容易的, 下面介绍一种比较简单的关于实对称矩阵为正定的充分性几的判别法.先讨论正元素对称矩阵: = 的正定性的判别法。记= ，当又记 0=y0 所以的阶顺序主子式：=从第一行提取公因式，从第二行提取公因式，从第行提取公因式得：=再从第一列提取公因式，从第二列提取公因式，从第列提取公因式得：=所以0 ，故是正定的。例. 判别正元素对称矩阵：是正定的。解： 由上述定理可得:=阿由此可知：的非对角线元素均满足：01 又 = , = , =3=0.但是由于一个阶矩阵的主要主子式只有个,由以上定理, 正定矩阵的判据放宽了, 简化了, 但是生正定矩阵的判据仍然较繁。然而, 由于误解, 某些控制理论及数学书籍中, 常把“ 主要主子式” 非负作为半正定矩阵的判据。但是，这种认识是错误的。例 其所有顺序主子式均，但是不定的。那么, 是否有别的办法能简化半正定矩阵的判据呢？有。以下我们给出一个较宽的半正定矩阵的封据。 为证明这个新判据, 先给如下引理：引理1 如果之阶数最高的非奇异主子矩阵为阶, 则。这里，的主子矩阵即为 的主子式所对应的矩阵：=，1，.证明：设=， 则其系数 的所有阶主子式之和，所以 又所有阶主子式皆为，所以式可以写为：=，即至少有重零根。又实对称矩阵皆可对角化，即有对角阵， 、式，必有。引理1证毕。引理2 为半正定矩阵的充分必要条件是 =， 即有, .定理3 为半正定的充分必要条件是其任意一个阶数最高的非奇异主子矩阵为正定矩阵。证明： 设之某一阶数最高的非奇异主子矩 ,有.有合同变换，即有使 .再令,则, 有,这里.由引理1 及合同变换不改变之秩, 必有.如若不然, 即,则至少有中某一元，于是有=，矛盾。 若为正定矩阵，则，.由引理2，为半正定矩阵。同理可证必要性.定理3证毕.推论 1 为半正定的充分必要条件是其任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式0. 显然，当该非奇异主子矩阵的阶数就是时，则为正定的。我们看到，定理3包含了定理2的前一部分，发展了其后一部分。推论 2 为半负定的充分必要条件是一的任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式0.由以上推论，在判定之定性时，并不需要计算所有个主子式，因此在计算机运算或手算中，均可减少运算程序。例 有= 而 = .以下只需计算的主要主子式。有 .为半正定矩阵。 7 实对称矩阵的一个简单应用在实际问题中，经常会遇到求三元以上函数的极值问题，对此可有二次型的正定性加以解决。定义 1 设元函数在的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。记，称为函数在点处的梯度。定义 2 满足的点称为函数的驻点.定义 3 称为函数在点在点处得黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。定理 1 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则定理 2 设函数设元函数在的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。且则：当为正定矩阵时，为的极小值；当为负定矩阵时，为的极大值；当为不定矩阵时，不为的极值。应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，结论就不一定成立。例 求三元函数的极值.解 先求驻点，由 得，所以驻点为.再求黑塞矩阵因为，.所以 ,可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可以用初等方法求得极小值，结果一样.参考文献1 赵国枝,刘志决.实对称矩阵正定半正定性的简易判别J.太原机械学院学报,1991,12(04):89-92.2 孙显奕.关于实对称矩阵正定性的判别法.16-183 王萼芳，石生明.高等代数M.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组：高等教育出版社. 4 叶荫宇.实对称矩阵半正定性的一个新判据J.华中工学院学报，:-5 张世清.半正定矩阵的几个充要条件及其应用J.重庆大学学报，-6 徐 仲，陆 全等.高等代数考研教案M.陕西：西北工业大学出版社，7 矩阵的正定性及其应用论文J.8 詹仕林，詹旭洲.实正定矩阵的若干判据J.安徽大学学报，9 倪凌炜.实正定矩阵的若干判别方法J.湖南师范学院学报，10 朱广化.实对称矩阵的一个初等判别定理J.安徽教育学院学报，致谢时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前