辽宁省葫芦岛八中高一数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1下列语句中是命题的是（）a|x+a|b0nc集合与简易逻辑d真子集2集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要3若p：xr，sinx1，则（）ap：xr，sinx1bp：xr，sinx1cp：xr，sinx1dp：xr，sinx14设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称则下列判断正确的是（）ap为真bq为假cpq为假dpq为真5命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）a0b1c2d46椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）a1b1cd7若双曲线=1上点p到点（5，0）的距离为15，则点p到点（5，0）的距离为（）a7b23c5或25d7或238顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（2，3）的抛物线方程是（）ay2=xbx2=ycy2=x或x2=ydy2=x或x2=y9直线ab过抛物线y2=x的焦点f，与抛物线相交于a、b两点，且|ab|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）a1bcd210f1、f2是双曲线c的两个焦点，p是c上一点，且f1pf2是等腰直角三角形，则双曲线c的离心率为（）a1+b2+c3d3+11椭圆的两个焦点为f1、f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则p到f2的距离为（）abcd412已知f1、f2是椭圆的两个焦点，满足=0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）a（0，1）b（0，c（0，）d，1）二填空题（每题5分，共20分）13给定下列命题：若k0，则方程x2+2xk=0有实数根；若x+y8，则x2或y6；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题其中真命题的序号是14与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为15设f1、f2是椭圆+=1的两个焦点，p是椭圆上一点，且|pf1|：|pf2|=2：1，则pf1f2的面积等于16若不论k为何值，直线y=k（x2）+b与曲线x2y2=1总有公共点，则b的取值范围是三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足；命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）与椭圆共焦点且过点（2，1）（2）过点（1，1），（2，）19已知f1，f2是椭圆+=1的两个焦点，p是椭圆上任一点（1）若f1pf2=，求f1pf2的面积；（2）求|pf1|pf2|的最大值20已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）点m（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证： =0；（3）求f1mf2面积21已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b，已知点a的坐标为（a，0），点q（0，y0）在线段ab的垂直平分线上，且，求y0的值22已知椭圆e： +=1（ab0）的半焦距为c，原点o到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c（）求椭圆e的离心率；（）如图，ab是圆m：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆e经过a、b两点，求椭圆e的方程2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1下列语句中是命题的是（）a|x+a|b0nc集合与简易逻辑d真子集【考点】四种命题【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成【解答】解：a、c、d只是对一件事情的叙述，故不是命题故选：b【点评】本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题2集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：集合a=1，a，b=1，2，3，若“a=3”，则“ab”，是充分条件，若“ab”，则a不一定是3，不是必要条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合问题，是一道基础题3若p：xr，sinx1，则（）ap：xr，sinx1bp：xr，sinx1cp：xr，sinx1dp：xr，sinx1【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以若p：xr，sinx1，则p：xr，sinx1故选：a【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称则下列判断正确的是（）ap为真bq为假cpq为假dpq为真【考点】复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=k对称，kz，故q是假命题结合复合命题的判断规则知：q为真命题，pq为假命题，pq为是假命题故选c【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大5命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）a0b1c2d4【考点】四种命题间的逆否关系【专题】函数的性质及应用【分析】分别写出四种命题，判断其真假，即可得到结论【解答】解：原命题“对于正数a，若a1，则lga0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lga0，则a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lga0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga0，则a1”是真命题故选d【点评】本题考查四种命题，考查命题真假的判断，属于基础题6椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）a1b1cd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题；数形结合法【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到 c2的值等于4，解方程求出k【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即 x2 +=1，焦点坐标为（0，2），c2=4，1=4，k=1，故选 b【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值7若双曲线=1上点p到点（5，0）的距离为15，则点p到点（5，0）的距离为（）a7b23c5或25d7或23【考点】双曲线的定义【专题】计算题【分析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果【解答】解：双曲线=1，2a=8，（5，0）（5，0）是两个焦点，点p在双曲线上，|pf1|pf2|=8，点p到点（5，0）的距离为15，则点p到点（5，0）是15+8=23或158=7故选d【点评】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值8顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（2，3）的抛物线方程是（）ay2=xbx2=ycy2=x或x2=ydy2=x或x2=y【考点】抛物线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=2px和x2=2py，然后将m点坐标代入即可求出抛物线标准方程【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （2，3），设它的标准方程为y2=2px（p0）9=4p，解得p=，y2=x（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （2，3），设它的标准方程为x2=2py（p0）4=6p，解得：p=x2=y抛物线方程是y2=x或x2=y故选：d【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题9直线ab过抛物线y2=x的焦点f，与抛物线相交于a、b两点，且|ab|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）a1bcd2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解答】解：f是抛物线y2=x的焦点f（）准线方程x=，设a（x1，y1），b（x2，y2）|ab|=|af|+|bf|=3解得，线段ab的中点横坐标为 线段ab的中点到y轴的距离为故选b【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离10f1、f2是双曲线c的两个焦点，p是c上一点，且f1pf2是等腰直角三角形，则双曲线c的离心率为（）a1+b2+c3d3+【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先由f1pf2是等腰直角三角形得|f1f2|=|pf2|，再把等量关系转化为用a，c来表示即可求双曲线c的离心率【解答】解：由pf1f2为等腰直角三角形，又|pf1|pf2|，故必有|f1f2|=|pf2|，即2c=，从而得c22aca2=0，即e22e1=0，解之得e=1，e1，e=1+故选：a【点评】本题是对双曲线性质中离心率的考查求离心率，只要找到a，c之间的等量关系即可求是基础题11椭圆的两个焦点为f1、f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则p到f2的距离为（）abcd4【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出p点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设f点的坐标为（，0）所以点p的坐标为（，），所以=根据椭圆的定义可得，所以故选c【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义12已知f1、f2是椭圆的两个焦点，满足=0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）a（0，1）b（0，c（0，）d，1）【考点】椭圆的应用【专题】计算题【分析】由=0知m点的轨迹是以原点o为圆心，半焦距c为半径的圆又m点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，m点的轨迹是以原点o为圆心，半焦距c为半径的圆又m点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：c【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答二填空题（每题5分，共20分）13给定下列命题：若k0，则方程x2+2xk=0有实数根；若x+y8，则x2或y6；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题其中真命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】只需求，由原命题和逆否命题同真假，可判断逆否命题的真假，按要求写出命题再进行判断【解答】解：=44（k）=4+4k0，是真命题其逆否命题为真，故是真命题逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题否命题：“若xy0，则x、y都不为零”是真命题故答案为：【点评】本题考查四种命题及真假判断，属基本题14与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为过点（2，2），=3所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法15设f1、f2是椭圆+=1的两个焦点，p是椭圆上一点，且|pf1|：|pf2|=2：1，则pf1f2的面积等于4【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】根据椭圆方程，得a=3，椭圆的焦点为f1（，0），f2（，0）由椭圆的定义结合|pf1|：|pf2|=2：1，得|pf1|=4，|pf2|=2，结合勾股定理的逆定理得pf1f2是以p为直角顶点的直角三角形，由此不难得到pf1f2的面积【解答】解：椭圆的方程为，a=3，b=2，c=得椭圆的焦点为f1（，0），f2（，0），|pf1|+|pf2|=2a=6，且|pf1|：|pf2|=2：1|pf1|=4，|pf2|=2可得|pf1|2+|pf2|2=20=|f1f2|2，因此，pf1f2是以p为直角顶点的直角三角形，得pf1f2的面积s=|pf1|pf2|=4故答案为：4【点评】本题给出椭圆的两条焦半径的比值，求焦点三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题16若不论k为何值，直线y=k（x2）+b与曲线x2y2=1总有公共点，则b的取值范围是，【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把y=k（x2）+b代入x2y2=1得（1k2）x22k（b2k）x（b2k）21=0，=4k2（b2k）2+4（1k2）（b2k）2+1=43（k2b）2+b2+14b2，不论k取何值，0，所以1，由此能求出b的取值范围【解答】解：把y=k（x2）+b代入x2y2=1得（1k2）x22k（b2k）x（b2k）21=0，=4k2（b2k）2+4（1k2）（b2k）2+1=43（k2b）2+b2+14b2=1，因为不论k取何值，直线y=k（x2）+b与曲线x2y2=1总有公共点，所以0，所以1，所以b的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查直线与双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的合理运用三、解答题（共6小题，满分70分）17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足；命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据命题p是命题q的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：设a=x|x24ax+3a20，a0=x|ax3a，a0时：a=x|3axab=x|=x|2x3，若命题p是命题q的充分不必要条件，则由题意可得ab，或，解得：a3，故实数a的取值范围为：，3【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查集合的包含关系，是一道基础题18求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）与椭圆共焦点且过点（2，1）（2）过点（1，1），（2，）【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先求出c，再利用双曲线与椭圆共焦点且过点（2，1），建立方程，求出a，b即可求出双曲线的标准方程；（2）利用待定系数法，设出方程，代入点的坐标，即可得出结论【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），c=，双曲线与椭圆共焦点且过点（2，1）=1，a=，b=1，双曲线的标准方程为=1；（2）设双曲线方程为mx2ny2=1（mn0），双曲线过点（1，1），（2，），m=2，n=1，双曲线的标准方程为=1【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力属于中档题19已知f1，f2是椭圆+=1的两个焦点，p是椭圆上任一点（1）若f1pf2=，求f1pf2的面积；（2）求|pf1|pf2|的最大值【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设|pf1|=m，|pf2|=n，利用余弦定理可求得mn=的值，最后利用三角形面积公式求解即可得出结论（2）利用椭圆定义知|pf1|+|pf2|为定值20，再利用均值定理求积|pf1|pf2|的最大值即可【解答】解：（1）设|pf1|=m，|pf2|=n，则根据椭圆的定义可得m+n=20在f1pf2中，f1pf2=60，所以根据余弦定理可得：m2+n22mncos60=144从而（m+n）23mn=144，所以mn=，所以sf1pf2=mnsin60=（2）根据椭圆的定义可得m+n=20，所以mn=100，当且仅当m=n时等号成立故|pf1|pf2|的最大值为100【点评】本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法20已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）点m（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证： =0；（3）求f1mf2面积【考点】双曲线的标准方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；双曲线的简单性质【专题】计算题；证明题【分析】（1）双曲线方程为x2y2=，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程，（2）先求出的解析式，把点m（3，m）代入双曲线，可得出=0，（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积【解答】解：（1）e=，可设双曲线方程为x2y2=过点（4，），1610=，即=6双曲线方程为x2y2=6（2）证明： =（32，m），=（23，m），=（3+2）（32）+m2=3+m2，m点在双曲线上，9m2=6，即m23=0，=0（3）f1mf2的底|f1f2|=4，由（2）知m=f1mf2的高h=|m|=，sf1mf2=6【点评】本题考查双曲线的标准方程、2个向量的数量积、双曲线的性质21已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b，已知点a的坐标为（a，0），点q（0，y0）在线段ab的垂直平分线上，且，求y0的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题【分析】（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得（2）由（1）可求得a点的坐标，设出点b的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点b的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|ab|进而求得k，则直线的斜率可得设线段ab的中点为m，当k=0时点b的坐标是（2，0），线段ab的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0；当k0时，可表示出线段ab的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得【解答】解：（1）由e=，得3a2=4c2再由c2=a2b2，解得a=2b由题意可知，即ab=2解方程组得a=2，b=1所以椭圆的方程为（2）由（）可知点a的坐标是（2，0）设点b的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k则直线l的方程为y=k（x+2）于是a、b两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0由，得从而所以设线段ab的中点为m，则m的坐标为