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第十二章全等三角形 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学 上册 12 1全等三角形 1 下列各组图形的形状与大小有什么特点 思考 他们能完全重合吗 观察 2 每组的两个图形有什么特点 完全重合 观察 3 形状 大小相同的图形放在一起能够完全重合 能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 概念 4 形状不同 观察 5 大小不同 观察 6 下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形 它们有什么特点 思考 A C B D E 7 下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形 它们有什么特点 思考 A B C D A D E 8 下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形 它们有什么特点 思考 B D C 一个三角形经过平移 旋转 翻折后所得到的三角形与原三角形全等 9 全等 用符号 表示 图中的 ABC和 DEF全等 记作 ABC DEF读作 ABC全等于 DEF 全等三角形的表示 你能否直接从记作 ABC DEF中判断出所有的对应顶点 对应边和对应角 10 两个全等三角形的位置变化了 对应边 对应角的大小有没有变化 由此你能得到什么结论 寻找各图中两个全等三角形的对应元素 观察与思考 E A D C B F 11 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 如图 ABC DFE AB DF BC FE AC DE 几何语言 ABC DFE A D B F C E 图形语言 全等三角形的性质 12 A B C D E F ACB DEF AB DF CB EF AC DE A D CBA F C DEF 先写出全等式 再指出它们的对应边和对应角 探究交流 13 A B C D ABC ABD AB AB BC BD AC AD BAC BAD ABC ABD C D 规律一 有公共边的 公共边是对应边 先写出全等式 再指出它们的对应边和对应角 探究交流 14 A C D B AOC BOD AO BO AC BD OC OD A B C D AOC BOD 规律二 有对顶角的 对顶角是对应角 o 先写出全等式 再指出它们的对应边和对应角 探究交流 15 A B C D E ABC ADE AB AD AC AE BC DE A A B D ACB AED 规律三 有公共角的 公共角是对应角 先写出全等式 再指出它们的对应边和对应角 探究交流 16 先写出全等式 再指出它们的对应边和对应角 ABC FDE AB FD AC FE BC DE A F B D ACB FED 规律五 一对最大的角是对应角一对最小的角是对应角 A B C F D E 规律四 一对最长的边是对应边一对最短的边是对应边 探究交流 17 3 有公共角的 公共角一定是对应角 4 对应角所对的边是对应边 对应边所对的角是对应角 5 在两个全等三角形中最长边对最长边 最短边对最短边 最大角对最大角 最小角对最小角 1 有公共边的 公共边一定是对应边 2 有对顶角的 对顶角一定是对应角 规律 18 找出下列全等三角形的对应边 对应角 ABD CBD 课堂练习 19 找出下列全等三角形的对应边 对应角 AOD COD 课堂练习 20 找出下列全等三角形的对应边 对应角 ABC ADE 课堂练习 21 找出下列全等三角形的对应边 对应角 ADE CBF 课堂练习 22 找出下列全等三角形的对应边 对应角 ABN ACM ABM ACN 课堂练习 23 找出下列全等三角形的对应边 对应角 AOB DOC ABC DCB O 课堂练习 24 如图 ABD EBC 2 如果AB 3cm BC 5cm 求BE BD的长 BE 3cm BD 5cm 解 ABD EBC AB EB BC BD AB 3cm BC 5cm 1 请找出对应边和对应角 AB与EB BCBD ADEC A BEC D C ABD EBC 课堂练习 25 如图 EFG NMH 2 如果EF 2 1cm EH 1 1cm HN 3 3cm 求NM HG的长 HG EG HG 3 3 1 1 2 2 解 EFG NMH NM EF 2 1 EG HN 3 3 1 请找出对应边和对应角 课堂练习 26 ABD ACE 若 ADB 100 B 30 说出 ACE中各角的大小 解 ABD ACE AEC ADB 1000 C B 300 又 A AEC C 180 A 1800 AEC C 1800 1000 300 500 课堂练习 27 如图 已知 AOC BOD求证 AC BD 能力提高 28 互相重合的角叫做 互相重合的边叫做 其中 互相重合的顶点叫做 2 叫全等三角形 1 能够重合的两个图形叫做 全等形 4 全等三角形的和相等 对应边 对应角 对应顶点 课堂小结 能够完全重合的两个三角形 3 全等 用符号 来表示 读作 对应边 对应角 5 书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上 全等于 29 12 2 1三角形全等的判定 SSS 30 知识回顾 1 什么叫全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 2 全等三角形有什么性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 31 知识回顾 即 三条边对应相等 三个角对应相等的两个三角形全等 六个条件 可得到什么结论 32 与满足上述六个条件中的一部分是否能保证与全等呢 问题 一个条件可以吗 两个条件可以吗 33 一个条件可以吗 有一条边相等的两个三角形 不一定全等 探究活动 2 有一个角相等的两个三角形 不一定全等 结论 有一个条件相等不能保证两个三角形全等 34 有两个条件对应相等不能保证三角形全等 不一定全等 有两个角对应相等的两个三角形 两个条件可以吗 3 有一个角和一条边对应相等的两个三角形 2 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 不一定全等 结论 探究活动 35 三个条件呢 探究活动 三个角 2 三条边 3 两边一角 4 两角一边 如果给出三个条件画三角形 你能说出有哪几种可能的情况 36 结论 三个内角对应相等的三角形不一定全等 探究活动 有三个角对应相等的两个三角形 三个条件呢 37 若已知一个三角形的三条边 你能画出这个三角形吗 画一个三角形 使它的三边长分别为4cm 5cm 7cm 三边对应相等的两个三角形会全等吗 画法 1 画线段AB 4cm 2 分别以A B为圆心 5cm 7cm长为半径作圆弧 交于点C 3 连结AB AC ABC就是所求的三角形 动手试一试 探究活动 38 三边相等的两个三角形会全等吗 画法 动手试一试 探究活动 39 结论 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 用上面的结论可以判定两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理过程 叫做证明三角形全等 40 三边对应相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 SSS 如何用符号语言来表达呢 结论 A B C 41 ABC ADC SSS 例1已知 如图 AB AD BC CD 求证 ABC ADC AC AC AB AD BC CD 证明 在 ABC和 ADC中 已知 已知 公共边 判断两个三角形全等的推理过程 叫做证明三角形全等 分析 要证明 ABC ADC 首先看这两个三角形的三条边是否对应相等 结论 从这题的证明中可以看出 证明是由已知出发 经过一步步的推理 最后推出结论正确的过程 42 归纳 准备条件 证全等时要用的间接条件要先证好 三角形全等书写三步骤 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论 证明的书写步骤 43 例2如图 ABC是一个钢架 AB AC AD是连接点A与BC中点D的支架 求证 ABD ACD A B C D 应用迁移 巩固提高 1 2 BAD CAD 2 由 1 得 ABD ACD BAD CAD 全等三角形对应角相等 44 工人师傅常用角尺平分一个任意角 做法如下 如图 AOB是一个任意角 在边OA OB上分别取OM ON 移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与M N重合 过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线 为什么 练习 课本P8 全等三角形对应角相等 已知 已知 公共边 45 例3 已知 BAC 如图 用直尺和圆规作 BAC的平分线AD 并说出该作法正确的理由 46 小明做了一个如图所示的风筝 他想去验证 BAC与 DAC是否相等 但手头却只有一把足够长的尺子 你能帮助他想个方法吗 说明你这样做的理由 思 考 47 如图 AB AC AE AD BD CE 求证 AEB ADC 证明 BD CE BD ED CE ED 即BE CD 练一练 48 思 考 已知AC FE BC DE 点A D B F在一条直线上 AD FB 要用 边边边 证明 ABC FDE 除了已知中的AC FE BC DE以外 还应该有什么条件 怎样才能得到这个条件 解 要证明 ABC FDE 还应该有AB DF这个条件 AD FB AD DB FB DB即AB FD 49 思 考 已知AC FE BC DE 点A D B F在一条直线上 AD FB 要用 边边边 证明 ABC FDE 除了已知中的AC FE BC DE以外 还应该有什么条件 怎样才能得到这个条件 50 练习1 如图 AB AC BD CD BH CH 图中有几组全等的三角形 它们全等的条件是什么 解 有三组 在 ABH和 ACH中 AB AC BH CH AH AH ABH ACH SSS 在 ABD和 ACD中 AB AC BD CD AD AD ABD ACD SSS 在 DBH和 DCH中 BD CD BH CH DH DH DBH DCH SSS 51 2 如图 D F是线段BC上的两点 AB CE AF DE 要使 ABF ECD 还需要条件 BC BC DCB BF DC 或BD FC A B C D 练习2 解 ABC DCB理由如下 AB DCAC DB ABC SSS 1 如图 AB CD AC BD ABC和 DCB是否全等 试说明理由 A E BDFC 52 练习3 如图 在四边形ABCD中 AB CD AD CB 求证 A C 证明 在 ABD和 CDB中 AB CD AD CB BD DB ABD CDB SSS 已知 已知 公共边 A C 全等三角形的对应角相等 你能说明AB CD AD BC吗 53 解 E F分别是AB CD的中点 又 AB CD AE CF 在 ADE与 CBF中 DE ADE CBF AE ABCF CD 补充练习 如图 已知AB CD AD CB E F分别是AB CD的中点 且DE BF 说出下列判断成立的理由 ADE CBF A C 线段中点的定义 BF AD AE CF SSS ADE CBF 全等三角形对应角相等 已知 CB A C 54 例 如图 已知AB DE AC DF 要说明 ABC DEF 还需增加一个什么条件 同步练习 55 请同学们谈谈本节课的收获与体会 本节课你学到了什么 发现了什么 有什么收获 还存在什么没有解决的问题 56 小结 2 三边对应相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 SSS 1 知道三角形三条边的长度怎样画三角形 3 初步学会理解证明的思路 应用 边边边 证明两个三角形全等 57 作业 1 练习题 选做 2 笔记补充完整 58 Over 59 12 2 2三角形全等的判定 SAS 60 我们学过哪几种判定三角形全等的方法 1 全等三角形概念 三条边对应相等 三个角对应相等 2 全等三角形判定条件 一 三边对应相等的两个三角形全等 简称 边边边 或 SSS 61 问题 如图有一池塘 要测池塘两端A B的距离 可无法直接达到 因此这两点的距离无法直接量出 你能想出办法来吗 A B 62 A B C E D 在平地上取一个可直接到达A和B的点C 连结AC并延长至D使CD CA 延长BC并延长至E使CE CB 连结ED 那么量出DE的长 就是A B的距离 为什么 63 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A 64 1 画 MA N A 2 在射线AM AN上分别取A B AB A C AC 3 连接B C 得 A B C 已知 ABC是任意一个三角形 画 A B C 使 A A A B AB A C AC 画法 65 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS S 边A 角 66 1 在下列图中找出全等三角形 练习一 67 2 在下列推理中填写需要补充的条件 使结论成立 1 如图 在 AOB和 DOC中 AO DO 已知 BO CO 已知 AOB DOC AOB DOC 对顶角相等 SAS C A B D O 68 2020 1 8 69 例1 已知 如图 AC AD CAB DAB 求证 ACB ADB A B C D 证明 ACB ADB这两个条件够吗 70 例1 已知 如图 AC AD CAB DAB 求证 ACB ADB A B C D 证明 ACB ADB 这两个条件够吗 还要什么条件呢 71 例1 已知 如图 AC AD CAB DAB 求证 ACB ADB A B C D 证明 ACB ADB 这两个条件够吗 还要什么条件呢 还要一条边 72 例1 已知 如图 AC AD CAB DAB 求证 ACB ADB A B C D 证明 在 ACB和 ADB中 AC AD 已知 CAB DAB 已知 AB AB 公共边 ACB ADB SAS 73 A B C E D 在平地上取一个可直接到达A和B的点C 连结AC并延长至D使CD CA 延长BC并延长至E使CE CB 连结ED 那么量出DE的长 就是A B的距离 为什么 回到初始问题 74 证明三角形全等的步骤 1 写出在哪两个三角形中证明全等 注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 2 按边 角 边的顺序列出三个条件 用大括号合在一起 3 证明全等后要有推理的依据 75 练习 3 已知 如图 AB ACAD AE 求证 ABE ACD 证明 在 ABE和 ACD中 AB AC 已知 AE AD 已知 A A 公共角 ABE ACD SAS 76 4 如图 己知AD BC AE CF AD BC E 都在直线 上 试说明 77 思考题 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等 动手画一画 78 课堂小结 1 边角边公理 有两边和它们的 对应相等的两个三角形全等 SAS 夹角 2 边角边公理的应用中所用到的数学方法 证明线段 或角相等 证明线段 或角 所在的两个三角形全等 转化 79 1 若AB AC 则添加什么条件可得 ABD ACD ABD ACD AD AD AB AC BAD CAD S A S 拓展 80 2 已知如图 点D在AB上 点E在AC上 BE与CD交于点O ABE ACD S A S AB AC A A AE AD 要证 ABE ACD需添加什么条件 81 2 已知如图 点D在AB上 点E在AC上 BE与CD交于点O S A S OB OC BOD COE OD OE 要证 BOD COE需添加什么条件 BOD COE 82 3 如图 要证 ACB ADB 至少选用哪些条件才可以 A B C D ACB ADB S A S 证得 ACB ADB AB AB CAB DAB AC AD 83 3 如图 要证 ACB ADB 至少选用哪些条件可 A B C D ACB ADB S A S 证得 ACB ADB AB AB CBA DBA BC BD 84 作业 1 练习题 选做 2 笔记补充完整 85 Over 86 3 角边角 12 2 3 4三角形全等的判定 义务教育课程标准 4 角角边 87 回顾 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 AB DE B EBC EF ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 88 如图 小明不慎将一块三角形模具打碎为两块 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去 就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以 带哪块去合适 你能说明其中理由吗 议一议 怎么办 可以帮帮我吗 89 90 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等 这两个三角形一定全等吗 这时应该有两种不同的情况 1 两个角及两角的夹边 2 两个角及其中一角的对边 问题导入 91 如图 已知两个角和一条线段 以这两个角为内角 以这条线段为两个角的夹边 画一个三角形 做一做 把你画的三角形与其他同学画的进行比较 所有的三角形都全等吗 92 全等三角形的判定方法2 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 在 ABC和 A B C 中 A A AB A B B B ASA 93 例题 如图 ABC DCB ACB DBC 试说明 ABC DCB 解 ABC DCB ACB DBC 已知 又 BC为公共边且对应相等 ABD ACD A S A 94 思考 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形是否全等 95 全等三角形的判定方法3 如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 在 ABC和 A B C 中 A A BC B C B B AAS 96 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS ASA 97 练习1 根据题目条件 判别下面的两个三角形是否全等 并说明理由 不全等 因为BC虽然是公共边 但不是对应边 98 2 要使下列各对三角形全等 需要增加什么条件 1 2 99 3 如图 已知AB与CD相交于O A D CO BO 说明 AOC与 DOB全等的理由 利用A A S定理说明 100 4 已知 如图 ABC A B C AD A D 分别是 ABC和 A B C 的高 试说明AD A D 并用一句话说出你的发现 思考题 全等三角形对应边上的高也相等 101 5 ABC是等腰三角形 AD BE分别是 A B的角平分线 ABD和 BAE全等吗 试说明理由 ABC是等腰三角形 AC BC A B 又 AD BE分别是 A B的角平分线 解 BAD A ABE B BAD ABE ABD BAE A S A 思考题 102 1 如图 AB AC B C 那么 ABE和 ACD全等吗 为什么 试一试 ASA ABE ACD 已知 AB AC B C A A 公共角 在 ABE与 ACD中 说明 答 ABE ACD 已知 103 2 如图 AD AE B C 那么BE和CD相等么 为什么 全等三角形对应边相等 BE CD AAS ABE ACD 已知 AE AD B C A A 公共角 在 ABE与 ACD中 说明 答 BE CD 已知 104 小结 本节课我们主要学习了有关全等三角形的 两角一边 识别方法 有两种情况 1 两个角及两角的夹边 ASA 2 两个角及其中一角的对边 AAS 都能够用来识别三角形全等 105 到目前为此 我们共学了几种识别三角形全等的方法 106 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等 边角边 107 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 角边角 108 如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 角角边 109 作业 1 练习题 选做 2 笔记补充完整 110 Over 111 直角三角形全等的条件 HL 112 回顾 2 我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些 AB AC BC A B ACB SSS SAS ASA AAS DEDFEF D DEF F 113 回顾与练习 1 判定两个三角形全等方法 SSS ASA AAS SAS 2 如图 Rt ABC中 直角边 斜边 BC AC AB 3 如图 AB BE于C DE BE于E 1 若 A D AB DE 则 ABC与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 全等 ASA 114 2 若 A D BC EF 则 ABC与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 AAS 全等 3 若AB DE BC EF 则 ABC与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 全等 SAS 4 若AB DE BC EF AC DF则 ABC与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 全等 SSS 115 1 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是 A带 去B带 去C带 去D带 和 去 想一想 c 116 2 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等 这两个直角三角形全等吗 117 画一画 任意画一个Rt ACB 使 C 90 再画一个Rt A C B 使 C C B C BC A B AB 1 你能试着画出来吗 与小组交流一下 作法 1 画 MC N 90 2 在射线C M上取B C BC3 以B 为圆心 AB为半径画弧 交射线C N于点A 4 连接A B A C B 就是所作三角形 2 把画好的Rt A C B 剪下 放到Rt ACB上 它们全等吗 你能发现什么规律 118 如图 ABC中 C是直角 斜边 直角边 直角边 直角三角形用Rt 表示 119 学习目标 1 理解直角三角形全等的判定方法 斜边直角边 2 熟练运用 HL 定理证明执教三角形全等 3 熟练运用 HL 定理解决有关问题 120 做一做 用尺规作图法 做一个Rt ABC 使 C 90 斜边AB 10cm 一直角边CB 6cm 剪下这个三角形 和其他同学所作的三角形进行比较 它们能重合吗 想一想 怎样画呢 121 按照下面的步骤做一做 作 MCN 90 在射线CM上截取线段CB 6cm 以点B为圆心 以10cm为半径画弧 交射线CN于点A 连接AB 122 两个直角三角形全等的判定 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边公理 或 HL 用符号语言表达为 在Rt ACB和Rt DFE中 AB DFAC DF Rt ACB Rt DFE HL 注意 使用HL判定时 必须先得出两个直角三角形 然后再证明斜边和一直角边分别对应相等 123 任意画出一个Rt ABC 使 C 90 再画一个Rt A B C 使 C 90o B C BC A B AB 它们全等吗 即使斜边和一条直角边对应相等 124 AB DE