不等式证明大的.doc

2011 年 7 月 1 日不等式证明方法的分述数学与应用数学101班：杨达铭 指导教师：刘利华（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘要：不等式证明具有很强的系统性，而且无论是在数学研究或是现实生活中都有极为广泛的应用，其客观性以及条理性对于解决问题拥有着无可替代的做用，不等式的证明需要发散的思维，清楚的条理，在已知结论的前提下对问题进行探索，所以不等式的证明具有它自身独特的魅力，给予更强的思索空间，并伴随社会科学的高速发展问题也愈显复杂，其内在空间有待于开发。关键词:讨论,分析,条件, 客观伴随着社会科学的高速发展，不等式已超脱了数值大小上的比较，或是简简单单的数学符号，它已经化为了一系列解决问题的思维和系统，对于不等式解决方法的总结势必将有助于理解掌握。比较法、分析法、数形结合、反证法、穷举法、归纳法、公式定理证明法等等，方法的选择取决于问题的固有特征，我们需要锻炼对各自特征的明确区分能力，以便于在最短的时间内寻找到，最优的解决办法。1比较法大致可分为做差比较与做商比较两类，做差比较即将比较双方进行减法运算，通过对单个综合式的正负判断，从而达到其比较大小的最终目的，此法客观明了，而难点多在综合式正负判断上，其中分解因式、配凑以及基础函数图像等将有助于我们去分析解决此类问题；而做商比较法与前者相辅相成，比较双方进行除法运算只是判断目标不再是正负而是“1”这个分界点，采用做商比较法的前提条件甚多，所以我们需尤其注意，比如除数是否为零，当比值出现负数时讨论究竟是除式为负、被除式为负，或是需进行详细的条件讨论，以免忽略使用条件而匆匆采用做商比较法出现知名的错误。简例1 判断X3-2 与 3X2-3X+7 大小做差：X3-2-3X2+3X-7X3-3X2+3X-9 即 (X-1)3-8 的数值正负得到X3时 X3-2 大于 3X2-3X+7X3时 反之2分析法从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；3数形结合所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系。简例2 判断X2 与 2X-1 大小关系我们只需在同一坐标轴上画出两式图像，求出数值相等时所对应的自变量的值即可判断其大小情况，如此明了且快速的给予判断，提高了答案的准确性。4归纳法归纳法即在变量复制的基础上由前至后，从一个简单的特例与一个无条件使用的关系式从而抽象推广至所有数值，此类方法无需逐项验证却能够达到其目的，也是不等式证明式不可或缺的利刃。简例3当n大于等于6的时候 n3 n!n=6时， 63=2166!=720 636!，不等式成立。假设当n=k(k为自然数，且k6)时，不等式成立，即k3(k+1)k3(k+1)!-(k+1)3(k+1)k3-k3-3k2-3k-1=k4-3k2-3k-1=(k4-1)-3k(k+1)=(k2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1)=(k+1)(k2+1)(k-1)-3k=(k+1)(k3-k2+k-1-3k)=(k+1)(k3-k2-2k-1)=(k+1)(k3-2k2+k2-2k-1)=(k+1)k2(k-2)+k(k-2)-1=(k+1)k(k-2)(k+1)-1k6 k-24 k+17 k(k-2)(k+1)6*4*71k(k-2)(k+1)-10 k+10(k+1)k(k-2)(k+1)-10 (k+1)!-(k+1)30(k+1)3(k+1)! 不等式同样成立。综上，n6时，不等式n3n!恒成立。并且在不断学习的过程中，我们已经接触过许多定理或是公式，它们是解题的标杆，借助它们如：中值定理证明，极值定理，泰勒公式，柯西中值定理，幂级数展开式等等都是可以应用在不等式证明的过程中 以上对于不等式证明的方法只是从些许侧面角度上对其进行了简述，总而言之，不等式证明具有很强的系统性，而且无论是在数学研究或是现实生活中都有极为广泛的应用，其客观性以及条理性对于解决问题拥有着无可替代的做用，不等式的证明需要发散的思维，清楚的条理，在已知结论的前提下对问题进行探索，所以不等式的证明具有它自身独特的魅力，给予更强的思索空间，并伴随社会科学的高速发展问题也愈显复杂，