大学物理第9章《真空中的静电场》习题解答.pdf

9 9 9 9 5 5 5 5 一无限长均匀带电细棒被弯成如一无限长均匀带电细棒被弯成如习题习题 9 9 9 9 5 5 5 5 图所示的对称形状 试问图所示的对称形状 试问 为何值时为何值时 圆心圆心O O O O点处的场强为零 点处的场强为零 解解 设电荷线密度为设电荷线密度为 先计算圆弧的电荷在圆心产生的场先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 强 强 在圆弧上取一弧元在圆弧上取一弧元d d d ds s s s R R R Rd d d d 所带的电量为所带的电量为 d d d dq q q q d d d ds s s s 在圆心处产生的场强的大小为在圆心处产生的场强的大小为 22 00 dd dd 44 qs Ek rRR 由于弧是对称的 场强只剩由于弧是对称的 场强只剩x x x x分量 取分量 取x x x x轴方向为正 场强为轴方向为正 场强为 d d d dE E E Ex x x x d d d dE E E Ecoscoscoscos 总场强为总场强为 2 2 0 2 cosd 4 x E R 2 2 0 2 sin 4R 0 sin 22R 方向沿着方向沿着x x x x轴正向 轴正向 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强 根据上一题的公式根据上一题的公式 可可得得半无限长带电直线在延长上半无限长带电直线在延长上O O O O点产生的场点产生的场 强大小为强大小为 0 4 E R 由于两根半无限长带电直线对称放置 它们在由于两根半无限长带电直线对称放置 它们在O O O O点产生的合场强为点产生的合场强为 0 2coscos 222 x EE R 方向沿着方向沿着x x x x轴负向轴负向 当当O O O O点合场强为零时 必有点合场强为零时 必有 xx EE 可得 可得tantantantan 2 2 2 2 1 1 1 1 因此因此 2 2 2 2 4 4 4 4 所以所以 2 2 2 2 9 9 9 9 6 6 6 6 一宽为一宽为b b b b的无限长均匀带电平面薄板 其电荷密度为的无限长均匀带电平面薄板 其电荷密度为 如 如习题习题 9 9 9 9 6 6 6 6 图所示图所示 试试 求求 平板所在平面内 离薄板边缘距离为平板所在平面内 离薄板边缘距离为a的的P点处的场强 点处的场强 R O R O x d dE O E E x R P b a Ox dx y 解 解 建立坐标系 在平面薄板上取一宽度为建立坐标系 在平面薄板上取一宽度为 d d d dx x x x的带电直线 电荷的线密度为的带电直线 电荷的线密度为 d d d d d d d dx x x x 根据直线带电线的场强公式根据直线带电线的场强公式 0 2 E r 得带电直线在得带电直线在P P P P点产生的场强为点产生的场强为 00 dd d 22 2 x E rbax 其方向沿其方向沿x x x x轴正向 轴正向 由于每条无限长直线在由于每条无限长直线在P P P P点的产生的场强方向相同 所以总场强为点的产生的场强方向相同 所以总场强为 2 0 2 1 d 2 2 b b Ex bax 2 0 2 ln 2 2 b b bax 0 ln 1 2 b a 场强方向沿场强方向沿x x x x轴正向 轴正向 9 9 9 9 7 7 7 7 有一半径为有一半径为r的半球面的半球面 均匀地带有电荷均匀地带有电荷 电荷面密度为电荷面密度为 求球心处的电求球心处的电 场强度 场强度 解解 如 图 所 示 在 球 面 上 任 取 一 面 元如 图 所 示 在 球 面 上 任 取 一 面 元 ddsind 2 rS 其上带电量为 其上带电量为 ddsindd 2 rSq 电荷元电荷元qd在球心处产生在球心处产生 的场强的大小为的场强的大小为 2 2 0 2 0 ddsin 4 1d 4 1 d r r r q E 方向如图 由对称性分析可知 球心处场强方向竖直方向如图 由对称性分析可知 球心处场强方向竖直 向下 其大小为向下 其大小为 0 2 0 2 0 0 4 dcossin 4 dcosd EEE z 9 9 9 9 9 9 9 9 面电荷密度为面电荷密度为 的均匀无限大带电平板 以平板上的一点的均匀无限大带电平板 以平板上的一点O O O O为中心 为中心 R R R R为半径作为半径作 一半球面 如习题一半球面 如习题 9 9 9 9 9 9 9 9 图所示 求通过此半球面的电通量 图所示 求通过此半球面的电通量 R O 解 设想在平板下面补一个半球面 与上面的半球面合成一个球面 球面内包含的电解 设想在平板下面补一个半球面 与上面的半球面合成一个球面 球面内包含的电 荷为荷为 q q q q R2R2R2R2 通过球面的电通量为通过球面的电通量为 e e e e q q q q 0 0 0 0 通过半球面的电通量为通过半球面的电通量为 e e e e e e e e 2 2 2 2 R2R2R2R2 2 2 2 2 0 0 0 0 9 9 9 9 10101010 两无限长同轴圆柱面 半径分别为两无限长同轴圆柱面 半径分别为R R R R1 1 1 1和和R R R R2 2 2 2 R R R R2 2 2 2 R R R R1 1 1 1 带有等量异号电荷 单位 带有等量异号电荷 单位 长度的电量分别为长度的电量分别为 和和 求 求 1 1 1 1 r r r r R R R R1 1 1 1 2 2 2 2 R R R R1 1 1 1 r r r r R R R R2 2 2 2处各点的场强 处各点的场强 解 由于电荷分布具有轴对称性 所以电场分布也具有轴对称性 解 由于电荷分布具有轴对称性 所以电场分布也具有轴对称性 1 1 1 1 在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面 由于高斯内没有电荷 所以 在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面 由于高斯内没有电荷 所以 E E E E 0 0 0 0 r r r r R R R R1 1 1 1 2 2 2 2 在两个圆柱之间做一长度为 在两个圆柱之间做一长度为l l l l 半径为 半径为r r r r的同轴圆柱形高斯面 高斯的同轴圆柱形高斯面 高斯 面内包含的电荷为面内包含的电荷为q q q q l 穿过高斯面的电通量为穿过高斯面的电通量为 SS e rlEEdSSdE 2 根据高斯定理根据高斯定理 e e e e q q q q 0 0 0 0 所以 所以 0 2 E r R R R R1 1 1 1 r r r r R R R R2 2 2 2 9 9 1212 一个均匀带电圆盘 半径为一个均匀带电圆盘 半径为R 电荷面密度为 电荷面密度为 求 求 1 1 轴线上任一点的电势 用轴线上任一点的电势 用x表示该点至圆盘中心的距离表示该点至圆盘中心的距离 2 2 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布 解 如图所示 将均匀带电圆盘视为一系列连续分解 如图所示 将均匀带电圆盘视为一系列连续分 布的同心带电细圆环所组成布的同心带电细圆环所组成 距距O点点r处取一宽为处取一宽为dr的的 细圆环细圆环 其带电量为其带电量为rdrddq 2S dq在在P点点 处产生的电势为处产生的电势为 22 1 222 1 2 00 1d12d d 4 4 qr r V rxrx 所以 整个带电圆盘在所以 整个带电圆盘在P点产生的电势为点产生的电势为 22 22 1 2 0 00 2d d 4 2 R r r VVRxx rx 轴线上的场强分布为轴线上的场强分布为 1 2d d 22 0 xR x x V Ex 9 9 9 9 20202020 电量电量q q q q均匀分布在长为均匀分布在长为 2 2 2 2L L L L的细直线上 试求 的细直线上 试求 1 1 1 1 带电直线延长线上离中点为 带电直线延长线上离中点为r r r r处的电势 处的电势 2 2 2 2 带电直线中垂线上离中点为 带电直线中垂线上离中点为r r r r处的电势 处的电势 3 3 3 3 由电势梯度算出上述两点的场强 由电势梯度算出上述两点的场强 解 电荷的线密度为解 电荷的线密度为 q q q q 2 2 2 2L L L L 1 1 1 1 建立坐标系 在细线上取一线元 建立坐标系 在细线上取一线元 d d d dl l l l 所带的电量为 所带的电量为 d d d dq q q q d d d dl l l l 根据点电荷的电势公式 它在根据点电荷的电势公式 它在P P P P1 1 1 1点产生的电势为点产生的电势为 1 0 1d d 4 l U rl 总电势为总电势为 1 0 d 4 L L l U rl 0 ln 4 L lL rl 0 ln 8 qrL LrL 2 2 2 2 建立坐标系 在细线上取一线元 建立坐标系 在细线上取一线元 d d d dl l l l 所带的电量为 所带的电量为 d d d dq q q q d d d dl l l l 在线的垂直平分线 在线的垂直平分线 上的上的P P P P2 2 2 2点产生的电势为点产生的电势为 2 22 1 2 0 d d 4 l U rl 积分得积分得 2 221 2 0 1 d 4 L L Ul rl 22 0 ln 4 L lL rll 22 22 0 ln 8 qrLL L rLL 22 0 ln 4 qrLL Lr 3 3 3 3 P P P P1 1 1 1点的场强大小为点的场强大小为 1 1 U E r ox dl y L r L P1 l o l x dl LL y r P2 0 11 8 q L rLrL 22 0 1 4 q rL 方向沿着方向沿着x x x x轴正向 轴正向 P P P P2 2 2 2点的场强为点的场强为 2 2 U E r 2222 0 1 4 qr L r rLrLL 22 0 1 4 q r rL 方向沿着方向沿着y y y y轴正向 轴正向 9 9 9 9 21212121 如如习题习题 9 9 9 9 21212121 图所示图所示 一个均匀带电一个均匀带电 内内 外半径分别为外半径分别为R R R R1 1 1 1和和R R R R2 2 2 2的均匀带电球的均匀带电球 壳 所带电荷体密度为壳 所带电荷体密度为 试计算 试计算 1 1 1 1 A A A A B B B B两点的电势 两点的电势 2 2 2 2 利用电势梯度求 利用电势梯度求A A A A B B B B两点的场强 两点的场强 解解 1 1 1 1 A A A A点在球壳的空腔内点在球壳的空腔内 空腔内的电势处处相等空腔内的电势处处相等 因此因此A A A A 点的电势就等于球心点的电势就等于球心O O O O点的电势 点的电势 在半径为在半径为r r r r的球壳处取一厚度为的球壳处取一厚度为 d d d dr r r r的薄壳 其体积为的薄壳 其体积为 d d d dV V V V 4 4 4 4 r r r r2 2 2 2d d d dr r r r 包含的电量为包含的电量为 d d d dq q q q d d d dV V V V 4 4 4 4 r r r r2 2 2 2d d d dr r r r 在球心处产生的电势为在球心处产生的电势为 00 d dd 4 O q Ur r r 球心处的总电势为球心处的总电势为 2 1 22 21 00 d 2 R O R Ur rRR 这就是这就是A A A A点的电势点的电势U U U UA A A A 过过B B B B点作一球面 点作一球面 B B B B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的 球面外的电荷在球面外的电荷在B B B B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势 根据上面的推导可点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势 根据上面的推导可 得得 22 12 0 2 B URr 球面内的电荷球面内的电荷在在B B B B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在在B B B B点点 A O R1 B R2 rA rB O R1 R2 r dr O R1 R2 rB B 产生的电势 球壳在球面内的体积为产生的电势 球壳在球面内的体积为 33 1 4 3 B VrR 包含的电量为包含的电量为Q Q Q Q V V V V 这些电荷集中在球心时在这些电荷集中在球心时在B B B B点产生的电势为点产生的电势为 33 21 00 43 B BB Q UrR rr B B B B点的电势为点的电势为 U U U UB B B B U U U U1 1 1 1 U U U U2 2 2 2 3 22 1 2 0 32 6 B B R Rr r 2 2 2 2 A A A A点的场强为点的场强为 0 A A A U E r B B B B点的场强为点的场强为 3 1 2 0 3 B BB BB UR Er rr 讨论讨论 过空腔中过空腔中A A A A点作一半径为点作一半径为r r r r的同心球形高斯面的同心球形高斯面 由于面内没有电荷由于面内没有电荷 根据高斯定理根据高斯定理 可得空腔中可得空腔中A A A A点场强为点场强为 E E E E 0 0 0 0 r r r r R R R R1 1 1 1 过球壳中过球壳中B B B B点作一半径为点作一半径为r r r r的同心球形高斯面 面内球壳的体积为的同心球形高斯面 面内球壳的体积为 33 1 4 3 VrR 包含的电量为包含的电量为q q q q V V V V 根据高