（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第十五章 圆锥曲线与方程 15.3 抛物线讲义.doc

15.3抛物线考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.抛物线的定义和标准方程1.抛物线定义的应用2.求抛物线的标准方程a填空题解答题2.抛物线的性质抛物线的几何性质及简单运用a填空题解答题分析解读抛物线在近年高考中没有单独考查,是命题冷点.若高考出题考查,试题难度也会比较低,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是.答案(1,0)2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案223.(2014湖南,15,5分)如图,正方形abcd和正方形defg的边长分别为a,b(a0)经过c,f两点,则ba=.答案1+2教师用书专用(4)4.(2013广东理,20,14分)已知抛物线c的顶点为原点,其焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322.设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解析(1)依题意,设抛物线c的方程为x2=4cy,由题意易知|0-c-2|2=322且c0,解得c=1.所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)抛物线c的方程为x2=4y,即y=14x2,求导得y=12x.设a(x1,y1),b(x2,y2)其中y1=x124,y2=x224,则切线pa,pb的斜率分别为12x1,12x2,所以切线pa的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-x122+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线pb的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线pa,pb均过点p(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线ab的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1,所以|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程x0x-2y-2y0=0,x2=4y,消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,所以|af|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+x02-2y0+1.又点p(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,所以y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92.所以当y0=-12时,|af|bf|取得最小值,且最小值为92.考点二抛物线的性质1.(2017课标全国文改编,12,5分)过抛物线c:y2=4x的焦点f,且斜率为3的直线交c于点m(m在x轴的上方),l为c的准线,点n在l上且mnl,则m到直线nf的距离为.答案232.(2017课标全国理,16,5分)已知f是抛物线c:y2=8x的焦点,m是c上一点,fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点,则|fn|=.答案63.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10,则m到y轴的距离是.答案94.(2014课标改编,10,5分)设f为抛物线c:y2=3x的焦点,过f且倾斜角为30的直线交c于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为.答案945.(2013江西理,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线x23-y23=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.答案66.(2017北京理,18,14分)已知抛物线c:y2=2px过点p(1,1).过点0,12作直线l与抛物线c交于不同的两点m,n,过点m作x轴的垂线分别与直线op,on交于点a,b,其中o为原点.(1)求抛物线c的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:a为线段bm的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线c:y2=2px过点p(1,1),得p=12.所以抛物线c的方程为y2=x.抛物线c的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线c的交点为m(x1,y1),n(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点p的坐标为(1,1),所以直线op的方程为y=x,点a的坐标为(x1,x1).直线on的方程为y=y2x2x,点b的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故a为线段bm的中点.7.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xoy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点m,交抛物线c:y2=2px(p0)于点p,m关于点p的对称点为n,连结on并延长交c于点h.(1)求|oh|on|;(2)除h以外,直线mh与c是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得m(0,t),pt22p,t.(1分)又n为m关于点p的对称点,故nt2p,t,on的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此h2t2p,2t.(4分)所以n为oh的中点,即|oh|on|=2.(6分)(2)直线mh与c除h以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线mh的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线mh与c只有一个公共点,所以除h以外直线mh与c没有其他公共点.(12分)三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2017江苏泰州姜堰模拟,7)抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点f的距离相等,则点f的坐标为.答案(1,0)2.(苏教选21,二,4,10,变式)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程为.答案y2=4x3.(2016江苏扬州中学周测,4)抛物线y=2x2的准线方程为.答案y=-18考点二抛物线的性质4.(2018江苏海安高三阶段测试)抛物线y2=x的准线的方程为.答案x=-145.(2018江苏扬州中学月考)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x22-y28=1的渐近线的距离为.答案2556.(2017江苏淮海中学调研)o为坐标原点,f为抛物线c:y2=42x的焦点,p为c上一点,若pf=42,则pof的面积为.答案237.(2017江苏泰州三校期中联考)已知点a(-2,1),y2=-4x的焦点是f,p是y2=-4x上的点,为使pa+pf取得最小值,p点的坐标是.答案-14,18.(苏教选21,二,4,12,变式)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1,y1),b(x2,y2),则y1y2x1x2的值一定等于.答案-49.(2018江苏姜堰中学高三期中)已知抛物线c:x2=4y,直线l过点(2,1).(1)若直线l与抛物线c只有一个公共点,求直线l的方程;(2)若直线l与抛物线c相交于a,b两点,且抛物线c在a,b两点处的切线的交点在抛物线的准线上,求直线l的方程.解析(1)(2,1)满足x2=4y,点(2,1)在抛物线上,若l与抛物线c只有一个公共点,则l与对称轴平行或与抛物线相切,当ly轴时,方程为x=2.当l与抛物线相切时,由y=x24,得y=x2,抛物线在(2,1)处的切线斜率k=22=1,切线方程为y=x-1.直线l的方程为x=2或y=x-1.(2)易知点(2,1)为直线l与抛物线c的交点,设a(2,1),则抛物线在a处的切线为y=x-1,与准线y=-1的交点为(0,-1),则过点b的切线也与准线交于点(0,-1),设bm,m24,m2,则抛物线在点b处的切线方程为y-m24=m2(x-m).易知点(0,-1)在此切线上,-1-m24=m2(0-m),解得m=-2,b(-2,1),直线l的方程为y=1.b组20162018年模拟提升题组(满分:35分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2016江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,abc的三个顶点都在抛物线上,并且abc的重心是抛物线的焦点,bc边所在的直线方程为4x+y-20=0,则抛物线的方程为.答案y2=16x二、解答题(共30分)2.(2017江苏连云港白塔中学期中)已知抛物线y2=4x,过点m(0,2)的直线l与该抛物线交于a,b两点,且直线l与x轴交于点c.(1)求证:ma,mc,mb成等比数列;(2)设ma=ac,mb=bc,求证:+为定值.证明(1)易知,直线l的斜率存在,且不为0.设直线l的方程为y=kx+2(k0),则c-2k,0.由y=kx+2,y2=4x得k2x2+(4k-4)x+4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-4k-4k2,x1x2=4k2 ,mamb=1+k2|x1-0|1+k2|x2-0|=4(1+k2)k2,而mc2=1+k2-2k-02=4(1+k2)k2,mc2=mamb0,即ma,mc,mb成等比数列.(2)由ma=ac,mb=bc得(x1,y1-2)=-2k-x1,-y1,(x2,y2-2)=-2k-x2,-y2,=-kx1kx1+2,=-kx2kx2+2,+=-2k2x1x2-2k(x1+x2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4.将(1)中代入得+=-1,故+为定值.3.(2016江苏扬州期末,18)某隧道设计为双向四车道,车道总宽20米,要求通行车辆限高4.5米,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示,建立平面直角坐标系xoy.(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,使得隧道口截面面积最小?隧道口截面面积公式为s=23lh解析(1)设抛物线的方程为:y=-ax2(a0),因为抛物线过点10,-32,-32=-a100,所以a=3200,y=-3200x2.令y=-6,解得:x=20,所以隧道设计的拱宽l是40米.(2)因为抛物线最大拱高为h米,所以抛物线过点10,-h-92,代入抛物线方程得:a=h-92100,所以y=-h-92100x2.令y=-h,则-h-92100x2=-h,解得:x2=100hh-92,则l22=100hh-92,h=92l2l2-400,h6,92l2l2-4006,即20l40,s=23lh=23l92l2l2-400=3l3l2-400(20l40),s=9l2(l2-400)-3l32l(l2-400)2=3l2(l2-1 200)(l2-400)2=3l2(l+203)(l-203)(l2-400)2,当20l203时,s0;当2030,即s在(20,203)上单调递减,在(203,40上单调递增,s在l=203时取得最小值,此时l=203,h=274.答:当拱高为274米,拱宽为203米时,隧道口截面面积最小.c组20162018年模拟方法题组方法1求抛物线方程的方法1.(2016福建厦门质检)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a、b,交其准线l于点c,若bc=2bf,且af=3,则此抛物线的方程为.答案y2=3x2.如图,已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边oa与ob的长分别为1和8,则抛物线的方程为.答案y2=455x方法2抛物线定义的理解3.(2017南京、盐城二模,8)在平面直角坐标系xoy中,抛物线y2=6x的焦点为f,准线为l,p为抛物线上一点,pal,a为垂足.若直线af的斜率k=-3,则线段pf的长为.答案64.(2016江苏东海中学期中)已知抛物线y2=8x的焦点为f,抛物线的准线与x轴的交点为k,点a在抛物线上且ak=2af,则afk的面积为.答案8方法3抛物线的最值问题5.如图,已知抛物线c的顶点为o(0,0),焦点为f(0,1).(1)求抛物线c的方程;(2)过点f作直线交抛物线c于a,b两点.若直线ao,bo分别交直线l:y=x-2于m,n两点,求mn的最小值.解析(1)由题意可设抛物线c的方程为x2=2py(p0),因为焦点为f(0,1),所以p2=1,所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y消去y