湖南省高考数学冲刺卷（3）文（含解析）.doc

2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z满足（zi）（2i）=5则z=（）a22ib2+2ic22id2+2i2集合u=0，1，2，3，4，a=1，2，b=xz|x25x+40，则u（ab）=（）a0，1，3，4b1，2，3c0，4d03阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）ak3bk4ck5dk64设sn是等比数列an的前n项和，若=3，则=（）a2bcdl或25有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=sinyx+y=或x=y；p2：xr，sin2+cos2=1；p3：x，yr，cos（xy）=cosxcosy；p4：x0， =cosx其中真命题是（）ap1，p2bp2，p3cp1，p4dp2，p46若实数x，y满足不等式组，且z=y2x的最小值等于2，则实数m的值等于（）a1b1c2d27如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）a8b16c32d648若（，），则3cos2=sin（），则sin2的值为（）abcd9如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：x=t（0ta）经过原点o向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）abcd10在直角坐标系xoy中，设p是曲线c：xy=1（x0）上任意一点，l是曲线c在点p处的切线，且l交坐标轴于a，b两点，则下列结论正确的是（）aoab的面积为定值2boab的面积有最小值为3coab的面积有最大值为4doab的面积的取值范围是3，411已知 f1，f2分别是双曲线=1（a0，b0）的左，右焦点，点p在双曲线的右支上，且（o为坐标原点），若|，则该双曲线的离心率为（）a +bc +d12设函数f（x）是定义在r上的偶函数，对任意xr，都有f（x）=f（x+4），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6）内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）a（，0）b（，2c，2）d，2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函f（x）=，则f（f（）=14已知|=1，|=2，aob=， =+，则=15某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是16如图，在abc中，sin=，ab=2，点d在线段ac上，且ad=2dc，bd=，则cosc=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an中，a1=1，an+1=（nn*）（1）求证：是等比数列，并求an的通项公式an；（2）数列bn满足bn=（3n1），数列bn的前n项和为tn，若不等式（1）对一切nn*恒成立，求的取值范围18某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数api监测数据，统计结果如下：api0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300（300，350空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数2459433（）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数api的平均值；（）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失s（单位：元）与空气质量指数api（记为w）的关系式为：s=若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失s大于200元且不超过600元的概率19在三棱锥sabc中，sa底面abc，abc=90，且sa=ab，点m是sb的中点，ansc且交sc于点n（1）求证：sc平面amn；（2）当ab=bc=1时，求三棱锥msan的体积20已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2（）求双曲线c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与双曲线c相交于a，b两点（a，b均异于左、右顶点），且以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1（e为自然对数的底数） 上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的 最小值请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（几何证明选讲选做题）已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc（1）求证：fb=fc；（2）若ab是abc外接圆的直径，eac=120，bc=3，求ad的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数）曲线c的极坐标方程为=2直线l与曲线c交于a，b两点，与y轴交于点 p（1）求曲线c的直角坐标方程；（2）求的值选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|x+3|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式f（x）kx+1在x3，1上恒成立，求实数k的取值范围2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z满足（zi）（2i）=5则z=（）a22ib2+2ic22id2+2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可【解答】解：（zi）（2i）=5zi=z=+i=+i=+i=2+2i故选d2集合u=0，1，2，3，4，a=1，2，b=xz|x25x+40，则u（ab）=（）a0，1，3，4b1，2，3c0，4d0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合b中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出b，求出a与b的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】解：集合b中的不等式x25x+40，变形得：（x1）（x4）0，解得：1x4，b=2，3，a=1，2，ab=1，2，3，集合u=0，1，2，3，4，（ab）=0，4故选：c3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）ak3bk4ck5dk6【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当s=0，k=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=1，k=2，当s=1，k=2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=6，k=3，当s=6，k=9时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=21，k=4，当s=21，k=4时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，s=58，k=5，当s=58，k=5时，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为k4，故选：b4设sn是等比数列an的前n项和，若=3，则=（）a2bcdl或2【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的前n项和公式求解【解答】解：sn是等比数列an的前n项和， =3，=1+q2=3，q2=2，=故选：b5有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=sinyx+y=或x=y；p2：xr，sin2+cos2=1；p3：x，yr，cos（xy）=cosxcosy；p4：x0， =cosx其中真命题是（）ap1，p2bp2，p3cp1，p4dp2，p4【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4【解答】解：p1：若sinx=sinyx+y=+2k或x=y+2k，kz，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：xr，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，yr，cos（xy）=cosxcosy+sinxsiny，与cosxcosy不一定相等，故错误；p4：x0， =|cosx|=cosx，故正确故选：d6若实数x，y满足不等式组，且z=y2x的最小值等于2，则实数m的值等于（）a1b1c2d2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=y2x的最小值等于2，结合数形结合即可得到结论【解答】解：由z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点a时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为2，即y2x=2，由，解得，即a（1，0），点a也在直线x+y+m=0上，则m=1，故选：a7如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）a8b16c32d64【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：r=2，故外接球的表面积s=4r2=32，故选：c8若（，），则3cos2=sin（），则sin2的值为（）abcd【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可【解答】解：3cos2=sin（），可得3cos2=（cossin），3（cos2sin2）=（cossin），（，），sincos0，上式化为：sin+cos=，两边平方可得1+sin2=sin2=故选：d9如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：x=t（0ta）经过原点o向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）abcd【考点】函数的图象【分析】直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可【解答】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项a、b、d，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反选项c，后面是直线增加，不满足题意；故选：c、10在直角坐标系xoy中，设p是曲线c：xy=1（x0）上任意一点，l是曲线c在点p处的切线，且l交坐标轴于a，b两点，则下列结论正确的是（）aoab的面积为定值2boab的面积有最小值为3coab的面积有最大值为4doab的面积的取值范围是3，4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设p（a，），求出曲线c在点p处的切线方程，再计算面积，即可得出结论【解答】解：由题意，y=（x0），则y=设p（a，），则曲线c在点p处的切线方程为y=（xa），x=0可得y=；y=0可得x=2a，oab的面积为=2，即定值2，故选：a11已知 f1，f2分别是双曲线=1（a0，b0）的左，右焦点，点p在双曲线的右支上，且（o为坐标原点），若|，则该双曲线的离心率为（）a +bc +d【考点】双曲线的简单性质【分析】利用，可得，设=x，则=，利用勾股定理，求出x=c，由双曲线的定义可得xx=2a，代入即可得出结论【解答】解：（o为坐标原点），设=x，则=，x2+2x2=4c2，x=c，由双曲线的定义可得xx=2a，（1）c=2a，e=+故选：a12设函数f（x）是定义在r上的偶函数，对任意xr，都有f（x）=f（x+4），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6）内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）a（，0）b（，2c，2）d，2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由f（x）=f（x+4），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论【解答】解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，当x2，0时，f（x）=（）x1，若x0，2，则x2，0，则f（x）=（）x1=2x1，f（x）是偶函数，f（x）=（）x1=2x1=f（x），即f（x）=2x1，x0，2，由f（x）loga（x+2）=0得f（x）=loga（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a1时，在区间（2，6）要使方程f（x）loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，即，解得a2，故a的取值范围是（，2，故选：b二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知函f（x）=，则f（f（）=【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质【分析】利用分段函数直接进行求值即可【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（）=f（2）=故答案为：14已知|=1，|=2，aob=， =+，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积运算，进行计算即可【解答】解：因为|=1，|=2，aob=，且=+，所以=（+）=+=12+12cos=故答案为：15某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是0.7【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，由此利用对立事件的概率公式能求出检测出至少有一听不合格饮料的概率【解答】解：至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，检测出至少有一听不合格饮料的概率：p=1=0.7故答案为：0.716如图，在abc中，sin=，ab=2，点d在线段ac上，且ad=2dc，bd=，则cosc=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用二倍角的余弦函数公式即可求出cosabc的值，设bc=a，ac=3b，由ad=2dc得到ad=2b，dc=b，在三角形abc中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，在三角形abd和三角形dbc中，利用余弦定理分别表示出cosadb和cosbdc，由于两角互补，得到cosadb等于cosbdc，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，求出a，b即可得到结论【解答】解：因为sin=，所以cosabc=12sin2=12（）2=12=，在abc中，设bc=a，ac=3b，由余弦定理可得：在abd和dbc中，由余弦定理可得：，因为cosadb=cosbdc，所以有=，所以3b2a2=6 由可得a=3，b=1，即bc=3，ac=3则cosc=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an中，a1=1，an+1=（nn*）（1）求证：是等比数列，并求an的通项公式an；（2）数列bn满足bn=（3n1），数列bn的前n项和为tn，若不等式（1）对一切nn*恒成立，求的取值范围【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定【分析】（1）由数列an中，a1=1，an+1=（nn*），可得=1+变形为，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可知：bn，利用“错位相减法”即可得出tn，利用不等式（1），通过对n分为偶数与奇数讨论即可【解答】解：（1）由数列an中，a1=1，an+1=（nn*），可得=1+，是首项为，公比为3的等比数列，化为（2）由（1）可知： =，tn=+，两式相减得=（1）n+=4若n为偶数，则，3若n为奇数，则，2，解得2综上可得2318某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数api监测数据，统计结果如下：api0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300（300，350空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数2459433（）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数api的平均值；（）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失s（单位：元）与空气质量指数api（记为w）的关系式为：s=若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失s大于200元且不超过600元的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用【分析】（）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30天空气质量指数api的平均值；（）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失s大于200元且不超过600元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论【解答】解：（）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数api的平均值为 252+754+1255+1759+2254+2753+3253=；（）由分段函数的表达式可知，若经济损失s大于200元且不超过600元，则得2004w400600，即6004w1000，解得150w250，此时对应的天数为9+4=13，则对应的概率p=19在三棱锥sabc中，sa底面abc，abc=90，且sa=ab，点m是sb的中点，ansc且交sc于点n（1）求证：sc平面amn；（2）当ab=bc=1时，求三棱锥msan的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）依题意，可证得cb平面sab，从而可证cbam；由sa=ab，点m是sb的中点可证得amsb，而cbsb=b，从而am平面scbamsc，进一步可证sc平面amn，利用面面垂直的判断定理即可证得结论（2）利用（1）的结果，通过数据关系，求出am，mn，sn，然后求出棱锥的体积【解答】解：（1）证明：sa平面abc，sacbabc直角三角形，cbab，且saab=a，cb平面sab，cbamsa=ab，m为sb的中点，amsb，且cbsb=b，am平面scb，amsc又scan，且anam=a，sc平面amn（2）由（1）可知amn=snm=sna=90，sa=ab=bc=1，am=sm=mb=，sc=，mn=sn=sc平面amn，三棱锥msan的体积： =20已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2（）求双曲线c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与双曲线c相交于a，b两点（a，b均异于左、右顶点），且以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立，得（14k2）x28mkx4（m2+1）=0，以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d（2，0），kadkbd=1，即，代入即可求解【解答】解：（）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，双曲线的标准方程为（）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立，得（14k2）x28mkx4（m2+1）=0，有，以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d（2，0），kadkbd=1，即，y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，3m216mk+20k2=0解得m=2k或m=当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（，0），经检验符合已知条件故直线l过定点，定点坐标为（，0）21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1（e为自然对数的底数） 上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的 最小值【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，根据函数单调性求得函数f（x）的最大值，由f（x）maxm，即可求得m的取值范围；（2）求得g（x）的导函数g（x），求得函数的单调性与最值，从而求得p的最小值【解答】解：（1），且当x0时，在0，e1上有f（x）0，f（x）=（1+x）22ln（1+x）在0，e1上单调递增，得，因为关于x的不等式f（x）m0在0，e1（e为自然对数的底数） 上有实数解，f（x）maxm，即me22，所以实数m的取值范围是（，e22（2）g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x），在（1，0）上g（x）0，在（0，+），g（x）0，g（x）min=g（0）=0，x的方程g（x）=p至少有一个解，p0，p最小值为0请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（几何证明选讲选做题）已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc（1）求证：fb=fc；（2）若ab是abc外接圆的直径，eac=120，bc=3，求ad的长【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理【分析】（1）证明fb=fc，即证fbc=fcb，利用ad平分eac，四边形a