资料 练习题 真题 2013考研搜集 专业课 微观十八讲 十八讲答案 06

第六讲 生产函数 1 平新乔 微观经济学十八讲 答案 EatingNoodles clcsedr2004 第六讲第六讲 生产函数与规模报酬生产函数与规模报酬 1 生产函数为1816 2 LKLQ 工人工资为8 w 产品价格为1 p 计算 1 1 短期内2 K 最优劳动投入是多少 解 短期内生产函数为 18162 2 LLQS S表示短期 厂家的问题是 L S L 0 max 其中 1882 2 LLwLLpQL SS 解决这个问题的劳动最优投入量L 满足一阶条件 084 L dL d S 因此 2 L 0 L 因此符合约束条件 即 最优劳动投入为 2 1 2 最大平均产量的劳动投入为多少 此时的最大平均产量是多少 解 这个问题可以表述为 L LQS L max 0 其中 S Q同 1 1 解决这个问题的劳动投入量L 满足一阶条件 0 18 2 2 LL Q dL d S 即 第六讲 生产函数 2 3 L 即 人均产量最大的劳动投入为 3 此时的最大平均产量为 3 10 2 确定下列函数是不是齐次函数 如果是 规模报酬情况如何 2 1 33 yxyxyxf 解 因为0 t 使得对 Rr yxfttytxf r 在 2 R上都不成立 所 以 它不是齐次函数 比如2 t时 0282428 22 2 33 yxyxyxfyxf rrrr 恒成立的条件是 Rr 使得 02428 rr 即 48 而48 是不可能的 因此对 Rr 22 2yxfyxf r 在 2 R上都不成立 这就证明了前面的结论 2 2 2 1 32 xyyxyxf 解 因为对0 t 都有 yxftxyttytxtytxf 32 1 2 1 所以它是一 次齐次函数 规模报酬不变 2 3 2 1 34 5 ywxwyxf 解 因为对0 t 都有 3 2 wyxfttwtytxf 因此 它是齐次函数 当 1 t时 有 wyxtftwtytxft 令 LKtftLtKf 有 tLtKKLtttLtKKLt 32 2 1 1032 2 1 10 即 对1 t 有 00 t 因此0 0 时 该生产函数呈现规模报酬不变 4 2 证明在规模报酬不变的情况下 该函数呈现出边际生产力递减而且边际生产力函 数是零次齐次的 解 对 LKKLLKf 32 2 1 1 有K的边际生产力 2 2 1 1 2 1 K L K f KLMPK 则 KLMPKtKtLMPK 即函数对K的边际生产力函数是零次齐次的 又0 4 1 d d 2 1 2 3 1 2 2 LK K f 即K的边际生产力递减 同样可以得到L的边际生产力函数一次齐次和递减 5 判断下列结论是否正确 并说明理由 5 1 边际产出大于零 则总产量将随着投入的增加而上升 平均产量则不一定上升 答 边际产出大于零 即多增加一个单位的投入 总产出的增量为正 即总产量 将随着投入的增加而上升 如果多增加一个单位的投入 总产量的增量高于平均 产量 那么平均产量在增加该单位的投入后将上升 但是 也可能出现总产量增 量在为正的同时低于平均产量的情况 因为平均产量严格大于零 那么平均产 量在增加该单位的投入将上升 5 2 如果生产是有效率的 生产的可能性边界一定是外凸的 答 假设一个经济生产的产品包括 1 q 2 q 利用唯一的生产要素x 生产可能 性边界可以表述为 21 q qhx 范围经济生产有效率 必然有联合经营所需要素投入低于分别经营要素投入量总 和 即 如果 2121 1 1 qqhqq 是有效率的生产 必有 2121 1 1 00 qqhqhqh 如果生产可能性边界是外凸的 必然有 2121 00 qqhqhqh 这样在生 产可能性边界上必然存在一个最高效率的生产线 但是 考虑下面的图 绿线是等要素投入线 橙线表示两种产出的 消费者 边际替代率 尽管 A 点是有效率的 但是 它所在的生产可能性边界不是外凸的 它是一个凹 第六讲 生产函数 5 集 即 生产有效率并不是一定意味着生产可能性边界外凸 6 假定一家企业的生产函数为 3 1 Ly 产出品价格3 p 工资率4 w 固定资本成 本为 2 6 1 求最优要素投入量 L 解 企业利润 2 3 1 wLpLL 最大化的一阶条件是 0 3 1 d d 3 2 wpL L L 代入3 p 4 w 解得 8 1 L 又 0 9 2 d d 3 5 2 2 pL L L 因此函数在 8 1 L取得最大值 即最优要素投入量为 8 1 6 2 最优供给量 解 当 8 1 L时 产出 2 1 y 6 3 计算这家企业的利润量 解 12 3 1 LwpLL 6 4 这家企业应不应关闭 答 应该 因为它无法取得非负的利润 7 证明 若某家企业的生产函数为 AL 10 所以 L是p的增函数 又生产函数是 L的增函数 所以供给量随产 品价格p上升而上升 7 2 q随工资率w上升而下降 证明 从 1 1 w pA L知 L是w的减函数 又生产函数是 L的增函数 因 此q随工资率w上升而下降 8 已知一家企业的生产函数为 4 1 2 1 4 LKLKF 产品价格为 1 工资率为 4 1 利率为 2 1 固定资本成本为k 8 1 求KL 的最优比率 解 企业利润 kKLLKLK 2 1 4 1 4 4 1 2 1 最大化的一阶条件为 0 2 1 22 1 2 4 1 2 1 K F LK K LK 0 4 1 44 1 4 3 2 1 L F LK L LK 即有 4 1 2 1 4 2 L F K F 即1 1 最优为KL 8 2 求L与K的最优量 解 由上一问的解 可以得到 FLK 代入 4 1 2 1 4 LKLKF 有 4 3 4FF 解得256 F 因此256 LK 9 某公司有甲 乙 丙三分公司 每个分公司都生产X和Y两种产品 下面是三个分公 司用其全部资源可生产的X和Y的最大产量 解 具体数据在书上 要说明的是 这道题对生产集没有任何限制 甚至没有说明生 产集的连续性 因此 这个生产可能性边际曲线甚至可能不存在 10 在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入 每小时可获得的海蚶总量q由下式给出 Lq100 第六讲 生产函数 7 其中 L是每小时的劳动投入 10 1 用图表示出q与L的关系 刻度不知道怎么标 10 2 落日湾中劳动的平均生产力为多少 用图表示这一关系并表明随着劳动投入的 增加 L AP下降 平均生产力为 LL q APL 100 见图上的虚线 它们的斜率表示平均生产力 随着L的增加 这些虚线的斜率减 小 说明随着劳动投入的增加 L AP减小 10 3 证明落日湾的劳动边际产出为 L MPL 50 用图表示这一关系 并证明对于所有的L值 LL APMP 请解释它 解 Lq100 对L求导 得 L MPL 50 边际产出用暗红色虚线标出 在图中 任一点上代表该点上平均产出的斜线斜率 均大于该点上边际产出的直线的斜率 因为在每一个劳动投入水平上 额外增加 的一个劳动力 所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力多生产的都少 所以 它自然也少于所有劳动力产出量的平均值 11 某公司使用两种类型的除草机割草 小型除草机具有 24 英寸刀片并适用于具有较多树 木与障碍物的草坪 大型的除草机恰为小型除草机的两倍大并适用于操作时不太困难得 空旷场地 两种生产函数的情况如下 L单位 1 q 单位 100 第六讲 生产函数 8 每小时产出 平方英尺 资本投入 劳动投入 大型除草机 8 000 2 1 小型除草机 4 000 1 1 11 1 对应第一种生产函数 图示出4000 q平方英尺的等产量线 如果这些要素没 有浪费地结合起来 则需要使用多少K与L 解 如上图所示 这些要素没有浪费地结合起来 需要使用 1 的资本投入K和 0 5 的劳动投入L 他们需要工作半小时 这道题之所以这样解 很多是自己猜的 我假设资本投入和劳动投入具有列昂惕 夫形式 是因为我认为除草时 两个人用一台机器不会比一个人快多少 而 4000 平方英尺资本和劳动用量都是一半 也是因为我认为前 4000 英尺和后 4000 英尺 耗费的资本和劳动是一样多的 11 2 对应第二种生产函数 回答 1 中的问题 解 如下图所示 这些要素没有浪费的结合 需要使用 1 的资本投入K 和 1 的劳动投入L 他们需要工作一小时 11 3 如果 4000 平方英尺中的一半由第一种生产函数完成 一半由第二种生产函数完 成 则K与L应如何无浪费地配合 如果 3 4 的草坪由第一种生产函数完成 而 1 1 资本投入 劳动投入 资本投入 劳动投入 1 5 0 第六讲 生产函数 9 1 4 的草坪由第二种生产函数完成 则K与L应如何配合 解 大除草机工作 0 25 小时完成 2000 平方英尺的除草任务 无浪费的组合需要 0 25 的L和5 0的K 小除草机 0 5 小时完成 2000 平方英尺 无浪费的组合需要 0 5 的L和 0 5 的K 因此 总共需要 0 75 的L和 1 的K的组合 同理 在第二种情况下 总共需要 0 875 的L和 1 的K的组合 11 4 在你考虑 3 中问题的基础上 画出4000 q平方英尺的联合生产函数的等产量 线 解 如下图所示 12 假定 KLq 10 10 K MP 0 L MP 0 2 2 K q 0 2 2 K MP 而 01 2 2 2 KL K q 因为10 则 K MP必为负数 这意味 着生产应该在何处进行呢 一个企业能够在 L AP递增的点进行生产吗 证明 在等式两边同除以K 得 LK f L K f L q 其中 L q APL LL fMP KK fMP 因此有 LLK APMP K L MP 因此当 LL APMP 时 K MP必为负 这说明生产应当在边际产出大于平均产出的地方 进行 也就是 不应当在平均产出达到最低点前进行 这也是最后一个问的答案 一个 企业不能在 L AP递增的点进行生产 14 再次运用欧拉定理证明 对于只有两种投入K和L的一个规模报酬不变的生产函数 KL f必定为正 解释这一结论 证明 在LfKfq LK 两边对L求一阶偏导数 有 LLKLL fKff 即 LLLKL ff K f 1 其中 L f大于零 LL f小于零 因此 KL f为正 函数的规模报酬不变 这说明产出与有效率的要素总投入量具有线性关系 但是对各个 生产要素 同等要素投入增量的边际产出却呈现递减的趋势 这说明一个要素的边际生 产能力会受另一个要素投入量提高而提高 15 生产函数形式如下 2 1 2 1 LKq 15 1 劳动和资本的平均生产力是多少 解 2 1 L K APL 2 1 K L APK 15 2 图示当K等于 100 时的 L AP曲线 第六讲 生产函数 11 解 这里没有办法标出点 word 技术问题 边际产出为红线 15 3 证明 LL APMP 2 1 KK APMP 2 1 运用这一信息 加一个 L MP函数到 2 图中 这一曲线有