2014年国庆高中物理竞赛力、热专题班知识点梳理3

2014年国庆高中物理竞赛力、热专题班 知识点梳理 （第三次） 资料说明 本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。本班型导学共由4份书面资料构成。 （2014 年国庆集中培训课程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-19-3 2014-9-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程知识点梳理 2014年国庆高中物理竞赛力、热专题班知识点梳理 (力学部分3) 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 振动和波 . 5 1. 简谐运动 . 5 2. 机械波 . 7 例题选讲 . 9 北京清北学堂教育科技有限公司 第2页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 知识框架 振动和波 简谐运动 机械波 北京清北学堂教育科技有限公司 第3页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 重点难点 振动和波部分重点掌握简谐运动的形成条件、位移与速度方程以及周期表达式，还应了解机械波的干涉特性。 北京清北学堂教育科技有限公司 第4页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 知识梳理 一、 振动和波 1. 简谐运动 （1） 简谐运动的定义 定义：F kx= 谐振子的加速度：kxam= （2） 简谐运动的方程 回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。 依据：22cosxF mA mx= 对于一个给定的匀速圆周运动，m、是恒定不变的，可以令：2mk = 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从下图不难得出： 位移方程：cos( )xA t= + 速度方程：sin( )vAt =+ 加速度方程：2cos( )a At =+ 相关名词：t+称相位，称初相。 运动学参量的相互关系：2ax= 2200()vAx= + 00tanvx= （3） 简谐运动的合成 1) 同方向、同频率振动合成 北京清北学堂教育科技有限公司 第5页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 两个振动11 1cos( )xA t= +和22 2cos( )xA t= + 合成，可令合振动 cos( )x A wt = +，由于12xx x= +，解得 221 2 12 2 12 cos( )A A A AA = + ，1 12 21 12 2sin sincos cosAAarctgAA+=+ 显然，当212k =时（0, 1, 2,k = ），合振幅A最大，当21(2 1)k = +时（0, 1, 2,k = ），合振幅最小。 2) 方向垂直、同频率振动合成 当质点同时参与两个垂直的振动11cos( )xA t= +和22cos( )yA t= +时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为 22221 21221 2 122 cos( ) sin ( )x y xyA A AA + = 显然，当212k =时（0, 1, 2,k = ），有21AyxA=，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当21(2 1)k = +时（0, 1, 2,k = ），有2222121xyAA+=，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当21取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。 3) 同方向、同振幅、频率相近的振动合成 令11cos( )xA t= +和22cos( )xA t= +，由于合运动12xx x= +， 得：21 21(2 cos ) cos( )22xA t t = +。合运动是振动，但不是简谐运动，称为角频率为122+的“拍”现象。 （4） 简谐运动的周期 由式得：km = ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 2mTk= （5） 简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即22 2111222E mv kx kA=+= 注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的 北京清北学堂教育科技有限公司 第6页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。 2. 机械波 （1） 波的产生和传播 产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） （2） 机械波的描述 1) 波动图象和振动图象的联系 2) 波动方程 如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为cos( )yA t= +，波的传播速度为v，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是 cos( 2 ) cos ( ) xxyA t A tv = + = + 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个()yx的正弦函数，在xy坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称cos ( ) xyA tv= +为波动方程。 （3） 波的干涉 1) 波的叠加 几列波在同一介质中传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。 2) 波的干涉 两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如下图所示，我们用1S和2S表示两个波源，p表示空间任意一点。 当振源的振动方向相同时，令振源1S的振动方程为11cosyA t= ，振源2S的振动方程为22cosyA t=，则在空间p点（距1S为1r ，距2S为2r），两振源引起的分振动分别是： 111cos ( )ryA tv= 222cos ( )ryA tv= P点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（11rv = ，22rv =），且初 北京清北学堂教育科技有限公司 第7页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 相差21()rrv= 。根据前面已经做过的讨论，有21rrk=时（0, 1, 2,k = ），P点振动加强，振幅为12AA+ ；21(2 1)2rr k= 时（0, 1, 2,k = ），P点振动削弱，振幅为12AA。 北京清北学堂教育科技有限公司 第8页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 例题选讲 例1一简谐运动的系统如图所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，m1、m2及弹簧的劲度系数k已知。求m2上下振动的周期。 解： 设某一时刻弹簧伸长x，绳上张力是FT。 分析m1：11Tkx m g F m a+ = 分析m2：2222TaF mg m= 消去FT：212 12 2 (2 )2mkx m g m g a m+ = +， 假设振子平衡时弹簧伸长0x，此时m1、m2的加速度为零，则有02 122k x mg mg= 设m1偏离平衡位置的位移为x，则0xxx= + 20 12 12 ( ) 2 (2 )2mk x x mg mg a m + + = + 将21022mg mgxk=代入式，可得212 (2 )2mkx a m= + 21()4mF k x am= + 所以这个振子系统的等效质量是214mm +，周期为12424mmTk+= 简析：本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其振动周期。 例2. 如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球BA用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图试求任意时刻两球的坐标 北京清北学堂教育科技有限公司 第9页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 解： 对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离 llC32= （1） 故A、B到质心C的距离分别为 llllBA3132=（2） 若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系数为kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自然长度为lB0，劲度系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点若连接A、B的自然长度为l0，根据题意有 ( ) mgllk 20= （3） 由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为 00003132llllBA= （4） 当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA和CB的长度分别为 llllBA3132= （5） 弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为 ( ) ( )0032llkllkfAAAAA= ( ) ( )0031llkllkfBBBBB= 但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有 ( )0llkfffBA= （5） 由此得 kkkkBA323= （6） 相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即( ) 00 =Ax；B的坐标( ) lxB=0由（1）式，可知此时质心C的坐标为 ( ) lxC320 =（7） 在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力( )gmm 2+故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标 22213221)0()( gtlgtxtxCC+=+= （8） 由于质心作加速运动，质心系是非惯性系在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用若在质心系中取一坐标轴xO ，原点O与质心C固连，取竖直向下为xO 轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为Bx时，弹簧CB作用于B的弹性力( )0BBBBlxkf = 当0BBlx 时，方向竖直向上此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上作用于B的合力( ) mgmglxkFBBBB+=0 由（3）、（4）式得 =kmglxkFBBB231 （9） 北京清北学堂教育科技有限公司 第10页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 令=kmglxXBB231 （10），有 BBBXkF = （11） 当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标 =kmglxB2310 （12） XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率 mkmkBBB23= （13） 离开平衡位置的位移 ( )BBBBtAX += cos （14） AB为振幅，B为初相位在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置0Bx的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅0BBBxlA =由（5）式、（12）式得 kmgkmgllAB32)2(3131= （15） 因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故0=B由此得 = tmkkmgXB23cos32 （16） 由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标 ( )+= tmkkmgkmgltxB23cos32)2(31 （17） 在地面参考系的坐标 ( ) ( ) ( )txtxtxBCB+= （18） 得 ( )+= tmkkmggtltxB23cos132212 （19） 同理，当小球A在质心系中的坐标为Ax时，注意到Ax是负的，这时，弹簧CA的伸长量为 +=+=+kmglxlxlxAAAA2323200 当0AAlx +为负时，弹力向下，为正，当0AAlx +为正时，弹力向上，为负，故有 +=kmglxkfAAA232 作用于A的合力为 +=kmglxkFAAA232 令 +=kmglxXAA232 ， 有 AAAXkF = 北京清北学堂教育科技有限公司 第11页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 当XA=0，作用于A的合力FB = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标 =kmglxA2320 （20） XA为A离开其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率 mkmkAA23= （21） 离开平衡位置的位置( )AAAAtAX += cos AA为振幅，A为初相位在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A离开质心C的距离为lA，A的平衡位置离开质心的距离为0Ax故此时A离开平衡位置的距离即为振幅AA， kmgkmgllxlAAAA34232320= 而此时AAAX =，故=A 由此得= tmkkmgXA23cos34 （22） 在时刻t，A在地面参考系中的坐标 ( ) ( )20221 2 2 4 3cos32 3 314 31 cos (23)23 2A C AAmg mg kx t x t x X l gt l tk kmmg kgt tkm= +=+ =+ 解法二： 当A球相对于地面参考系的坐标为x时，弹簧CA的伸长量为xlxC032，A所受的合力为+= xlxkmgFCA 03223 其加速度为 += xlxkmgaCA 03223 )1( 其相对于质心的加速度为=0032233223lxxkmxlxkmgaaCCAA 其中032lxxC表示A球相对于其平衡位置的位移，在相互平动的两个参考系中，相对位移与参考系无关 上式表明，相对质心，A球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向也就是说，A球相对质心作简谐振动 同理可证 北京清北学堂教育科技有限公司 第12页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 =3320lxxkmgFCB +=3230lxxmkgaCB )2( 其相对于质心的加速度为 =03223lxxkmaCB )3( 其中+30lxxC表示B球相对于其平衡位置的位移，相对质心，B球的加速